第37讲数列的综合应用（讲）（教师版）.docx

第37讲数列的综合应用（讲）思维导图题型1：数列在数学文化与实际问题中的应用数列的综合应用k 题型2:数列中的新定义问题题型3:数列与函数、不等式的综合问题题型归纳题型1数列在数学文化与实际问题中的应用【例11】（2020北辰区二模）我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（）A.180里B.170里C.160里D.150里【分析】设该人第天走可里路，则q）是公比为;的等比数列，利用等比数列前项和公式求解.【解答】解：设该人第天走。”里路，则,是公比为;的等比数列，由题意得Se = 315,解得4=160.故选：C【例1-2（2020春河池期末）九章算术一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺,第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为（）A.18B.19C.20D.21【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且o2+g+/=15,57=28,利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解：由题意可知，每H所织数量构成等差数列，且6+%+4=15,S7=28,设公差为d,由%+6+6=15,得3g=15,:.a5=5,由$=28,得7q=28,二.4=4,则d=4一4=1，.20=5+15J=5+15×1=20.故选：C.【跟踪训练1-1】（2020春河南期末）公元1202年意大利数学家列昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,L2,3,5,8,13,21,34,55,即q=%=l,an=n-1+n,2(n.3,nV*).此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记=2"53-q4+2）（wN*）,数列的前项和为S.,则§2侬=（）【分析】直接利用关系式的变换求出数列为等比数列.进一步利用等比数列的前项和公式求出结果.解答解：由题Q知：晒=2.%+2：-47凡3=2/"+2(q+24.1)一可/=_2,%-arla*2%-a*一由于4=一2,所以么=（一2）”，3H=空二33故选：C.【跟踪训练1-2（2020春永州期末）中国占代数学著作算法统宗中有这样一格问题：”一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（）A.64里B.32里C.16里D.8里【分析】由题意利用等比数列的求和公式，求得结果.【解答】解：这个人每天走的路程成等比数列4,公比为q=g,6天共走了126里路.4。-B则有126=¢-,求得4=64,1-2故选：A.【跟踪训I练1-3（2020春安徽期末）我国古代数学名著九章算术有如下问题：“今有浦生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.浦生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺.莞生长1日，长为1尺.浦的生长逐日减半.莞的生长逐日增加1倍.问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是（）A.4尺B.5尺C.3尺D.6尺【分析】设浦每日生长的尺数为数列七,则%为等比数列，且4=3,公比g=；.设莞每日生长的尺3（1一/）×（-2n）数为数列包,则2为等比数列，且伪=1,公比d=2.当浦、莞长度相等时，有1），12求出2”=6,由此能求出浦、莞长度相等时，浦的长度.【解答】解：设浦每日生长的尺数为数列6,则%为等比数列，且q=3,公比g=g.设莞每日生长的尺数为数列也,则2为等比数列，且4=1,公比d=2.当浦、莞长度相等时，有"=i（"2"）,1-11-22解得2”=6或2"=1（舍），3。-JJ二.浦、莞长度相等时，浦的长度是2_=6（1-4）=5（尺）.1-162故选：B.【名师指导】1 .解决数列与数学文化相交汇问题的关键会脱去数学文化的背景，读懂题意由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型.利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前F项和的公式2 .解答数列应用题需过好“四关”I审题关|4存如而证材科以五,°.dO7S!I域模关H转化成数列问题,并分消数列是等差数列:11!还是等比数列I求解关H-杀面铉"死间逅I还原关H蒋所至而结巢隹成到变标间速审题型2数列中的新定义问题【例2-1(2020春宿州期末)对于数列可,定义7；=4+3%+3"&为叫的“最优值”,现已知n数列q的“最优值”T户,记数列g的前项和为s“，则藕=()A.2019B.2020C.2021D.2022【分析】由已知可得4+3/+3”-%=小3”，得到几.2时,有q+34+3"-2q=(-1)3”1,两式相减可得q=2+1(.，验证=1时，4=3适合上式，川得数列a,J是公基为2的等差数列，求其前2020项的和，则答案可求.【解答】解：34+3a2+3”"l,且骞=3"，n:.OJ+3a2+.+3"Tan=3",当儿.2时，有+3%+3""q-=(/7-1).3"-',两式相减可得：3"T吗=小3"-5-l)3"T=(2+l)3”T./.an=2n+1(.2).当=1时，01=3适合上式.an=2+l.则数列4是以3为首项，以2为公差的等差数列._(3+2X2020÷1)×2020_9m9乂20202I2U22X2U2U可得则2也=2022.2020故选：D.qQwN*,夕为非零常数），则称“”为“差等比【例2-2】（2020春武邑县校级期末）定义：若限一%数列”.已知在“差等比数列”%中，4=1,6=2，%=4,则%2o-刈9的值是（）A. 22019B. 220,8C. 22017D. 220,6【分析】“差等比数歹J''的性质得氏*=2,由此推导出.2o-%）9=（%-q）2刘，a2-a【解答】解：.在“差等比数列”q中，q=l,a2=2,0,=4,4-2af-Cll2-1.-=(-)×2三=2三.故选：B.【跟踪训练2-1】（2020重庆模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：LL2,3,5,8,13,21,在数学上，斐波那契数列”定义如下：al=a2=ta”=,+（".3,"Z）.随着的增大，巴I-越来%越逼近黄金分割书丑0.618,故此数列也称黄金分割数列，而以外“、”为长和宽的长方形称为“最美长方形”，己知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可.【解答】解：设该长方形的长为X厘米，则宽为0.618x;故有：0.618f=336平方分米=33600平方厘米：.x=233厘米：故选：B.【跟踪训练2-2】（2020香坊区校级二模）有限数列A=q,k，,叫,S”为其前项和，定义S+邑+S”为A的“凯森和”,如有504项的数列4,小，的“凯森和”为2020,则有505项的n数列2,%,生，的“凯森和”为（）A.2014B.2016C.2018D.2020【分析】本题根据根据“凯森和''的定义，分别写出两个数列的“凯森和''的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项.【解答】解：由题意，可知对于504项的数列4，«，根据“凯森和'的定义，有S+昆+Ss(mC+(。+a?)+(4+/+m)C八r八=ZvZv，504504则ax+(4+2).+(1+a2+.+«)=2020×504,对于505项的数列2,%，的，根据“凯森和”的定义，有Sl÷S-,÷.+SsoS2+(2+4)+(2+4+,)+(2+4+u-f+5(M)505505_2505+q+(4+/)+(4+4+。如)505_2×505+220×504505=2018.故选：C.【名师指导】1 .新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迂移，达到灵活解题的目的.2 .新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.题型3数列与函数、不等式的综合问题【例3-1】(2020春资阳期末)记数列4前项和为，若1,%,S.成等差数列，且数列包)(4+T)(凡+2-1)的前项和7；对任意的都有7>2l+1.0恒成立，则;I的取值范围为()A.(co,B.(co,C.(co,-D.(00,1626【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围.【解答】解：数列/前项和为S,若1,ati,SZI成等差数列，所以2&=1+S.，当=1时，4=1.当儿.2时，2z=l+S,，一得2“一2=%,整理得出=2(常数)，an-所以数列(q)是以1为首项，2为公比的等比数列.所以q=2".所以2(an+l-l)K+2-1)(2m-l)(2w+,-l)2n-l2+,-1则北=1+F47：=1N“3372,f-I2+,-12rt+,-1由于对任意的N*都仃7；-22+1.O恒成M,所以1+L.2恒成立.即区+1)*2Q当=1时，区+1)*=7；+1=所以2.2/1,解得2.4,36所以a(-CO,-.6故选：C.【例32】(2020春河南期末)已知数列“的前项和为S.,4=1,当.2时，满足见,S,成等比数列.(I)求证：数列'为等差数列，并求数列4的通项公式；Sn(II)求证：a；+2域+知+fia：+IV；.【分析】(I)先利用=s0-S,1代入题中变形整理得到-!一=2,即可证明数列为等差数列且S.S.1S_n-ln求出Sn，再次利用q=SbSnT即可得数列4的通项公式；裂项相消法求和即可把靖+2嫉+3+na；+i求出来，进而证明a；+知+3a：+匕】V；.(II)先结合(I)把表示出来变形即得到-=-一：一1,再利用(2 +1)2(2-1)2 2l(2n-l)2 (2 + 1-【解答】解:(I)由题意知25：=q(21-l),即2S：=(S“Sz)(2S“l)=2S：2S“Sl-S“+，整理得:2S"S”t=S“t-S”，两边同时除以S,工T得:-=2,又因为1='=1,-2所以!是以1为首项，2为公差的等差数列，则当儿.2时，an =Sn-S,Il=2n-l2n-3(2-1)(2-3)当=1时，q=l,(2 一 1)(2 - 3),.2(H) na-+l=(2+ 1)2(2-1)2 2 (2n-l)2 (2w + l)，因此 a； + 2片 + 3a： + + M+(2/2-1)2 (2+ I)?Iri11111=17=<-»2(2+I):22(2?+I)22故0,2+23+3%+.+Ha1+J<【跟踪训练3-1】（2020春宣城期末）若数列仅“的通项公式为4=答，则满足可瑞的最小的的值为（）A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012【分析】根据通项公式直接解不等式即可.【解答】解：*=",2n1011/1+11011Ss.an<=><=>72>1O1O；“20202n2020又因为为正整数;故满足an<-的最小的的值为IOIh2020故选：C.【跟踪训I练3-2】（2020春胶州市期末）在§4=-14,S5=-15,$6=75三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列/的前项和为S“，满足：,"N*.（1）求S”的最小值；（2）设数列!的前项和7；,证明：Tn<.。”+64+7【分析】（1）分别利用等差数列的定义和数列的求和求出结果.（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和.【解答】解：（1）若选择；由题知：a-，又因为S5=5q=T5,所以生=一3.所以3d=%-6=3，解得d=l.所以=&+（6）二-6.所以<%VV6<4=O<%V，S,i.S6=55=-15若选择；由题知：a5=S5S4=,又因为SS=5（4广）=5/=_5,所以=3.所以2/=43=2，d=1.所以q=+（-3）d=n-6.所以4<a2<.<a5<a6=O<a1<.f所以St.S6=S5=75若选择；由题知：S6=6""；'）=15>所以q+%,=2q+5d=5由题知：54=4（q；%）=T4,所以q+q=24+3d=-7所以4=5,4=1.所以-6.所以01v/<<6<6=0<%<，所以Si.S6=Ss=T5.证明(2)因为6,所以一!=!=-(+1)+1所以雹=1÷+-=1<1.223n+l/1+1【跟踪训练3-3】(2020春内江期末)已知数列应满足2+色+色+即=*+3(eN*).4%an(1)求数列q的通项；（2）设若Sm；+,求证：6azt+1-3<6Srt<6+1-2.n【分析】（1）当几.2时，根据a=（2±+色+即）-（2+±+9+%二12）即可求得a“，不过an4a2%qaa2生%要注意的是记得检验首项4是否也满足当.2时的通项，这里是个易错点：（2）先由第（1）小问结果求出的表达式即Y=二,再通过对照进行放缩即5+1）,最后再累加即可得到个比结论更强的不等式.114<?<(n+1)(?+2)(n+l)(2+1)(2+3)?1【抑答】解：(1)当=1时二=4,所以4=上,42当.2W,+=n2+3n,aaayan+22=(n-l)2+3(2-l)(¾),4a4an-由一得四=2+2,所以q+1当=1时，也满足上式,f-.>'J)iIUrt=-(nv*).n+l（2）因为=4,所以bli=%所以立小>而鼠=高一号Sn=b；+优+b；+.+"，=q2n+225+2)6Sfl>3n5 + 2)又因为3 = 6XS 3 n + 23n + 2又因为a=15 + 1)2所以6S0>6向-3,5<-5=2()4(2+2n+1)4112+8+32n+12n+3所以Si2+6+片+片<W一熹)，所以6S“ v6x又因为处匕2匕J3 2 + 3 2n + 3w + 1 . 4 + 22 => + 2n + 286_=> O ， + 2 2 + 3 (/? + 2)(2 + 3) 所以 6S, v6%+-2,综上：6an+i-3<6Szt<6aa+i-2.【名师指导】1 .数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.2 .数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.