第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式（教师版）.docx

第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式思维导图考向1:"知一求二.问题强型1：同角三角函数基本关系式的应用j考向2:Sin,CoSa的齐次式问题同角三角函数的基本关系与i秀导公式:考向3:"sin±cosa,sinacosa"之间的关系的应用题型2:诱导公式的应用题型3:诱导公式与同角关系的综合应用常见误区用平方关系求角时，没有考虑角的象限致误知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：si?a+cos?a=1.(2)商数关系：“=tan_a(a梏+E,Z).2.三角函数的诱导公式公式二四五六角2k+a(kZ)÷aat-a2a.2÷正弦sina-sin_asin_asin_oCOS_OCOS_O余弦cos_acos_acos_acos_asin_asin_a正切tanatan_aUn_a-tan_a口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型归纳题型1同角三角函数基本关系的应用【例1-1】(2020春隆回县期末)已知Sina=正，a是第二象限角，则CoSa=()3A.BB.亚C.且D.一是3333【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解.【解答】解：sina=W,。是第二象限角，3故选：D.【例1-2】(2020武汉模拟)已知Sina=GCoS,则sin?+sincosa+1=()A4+6r7+6r.八a44【分析】由一知利用同角三角函数基本关系式可求tana,进而化简所求即可求解.【解答】解：Sina=6COSa,.tana=5/3,.2.2sin1a+sinacosa+cos2a2tat1a+tana+123+G+l7+73/.sina+smacosa+l=；=；=sina+cosatana+13+14故选：B.【例1-3】(2020春葫芦岛期末)若3sina+58sa=则tana的值为()sina-2cosa5A3D3c23C23A.-B.C.D.221616【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.raaj*.三M3sina÷5cosa3tana÷51【解答】解：V=一一»sina-2cosatana-25解得tana=-.16故选：D.【例1-4】(2020春浦东新区校级期中)已知Sina+coSa=-(，ae(0,),求下列式子的值:(1) SinaCOSa；(2) tan；2(3) sin3a+cos3a.【分析】(1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得SinaCoSa的值；(2)由已知可求2w(0,C),Sina>0，COSaV0,tan>0»利用平方差公式可求Sina-COSa=1，进2225而可求Sina=利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求ta112的值.52(3)利用立方和公式即可求解.【解答】解：（1） sina÷cosa =一» Ct G (0, /T)f二.两边平方，可得1+2SinaCOSa=',25解得sincos=-：25(2) sina+cosa=-<0»5又(0,乃)，e(0,)»22.sina>0,COSafVO,tan>O,2.".sina-cosa=J(Sina_COSa)?=l-2sinacosa=>A2sm-cos-2tan.由可得Sina=±,即2_2_=2_=-,整理可得：3tan2-10tan-+3=0,5.,522sn+cos1+tan222解得tan=3>或(舍去).231237(3) sin3a+cos3a=(sina+cosa)(sin2a+cos2sinacosa)=()×(1+)=【跟踪训练1-1】(2020春焦作期末)己知w(0,工)，tan=0cos,则Sina=()2A.BB.是C.也D.33322【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2 aSmaF结合 sin2 a + cos2 a =可得解Sina的值.【解答】解：a(0,-)»tanc?=cosa,2SinarrHrI,Sina.=2cosa,即cos"a=-,COSa2又sir?。+Cos2a=I,.sin%+包W=I,即>2sin2+sina->/2=0,2解得Sina=正，负值舍去.2故选：C.【跟踪训练1-2】(2020春揭阳期末)若CoSa=-Lcr(-,幻，则tana等于()32【分析】由已知利用平方关系求得Sin,再由商的关系可得tana.【解答】解：Cosa=-»a（-»兀）,32.sina=-cos2a=建sina3.rr.tana=-2-r=-22.CoSa3故选：C.【跟踪训练1-3】（2020新乡二模）已知Iana=3,则Sina-2cos=（）42sina+cosaA.-2B.2C.-1D.-22【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解.【解答】解：tana=-»4sina-2cos<ztana-21/.=2sina+cosa2tana+12故选：C【跟踪训练1-4】（2019秋宿州期末）己知tana=3,则Sina+c。Sa-2的值为（）Sina-COSaA.2-10B.2-C.2±10D.2±IO10【分析】由tan=3,可得Sina=3cos2,结合si/a+cos?。=】，可求Sina,cosa,代入即可求解.【解答】解：由Iana=3,可得Sina=3cosa,又sin2a+cos2a=l,10cosa=10cosa=联立可得，,或3io'sn=1010-311）sn=10iocosa=3加+加0当10时，sm+cos"2=_IQ2-11）,310Sina-CoSa310-10Sina-,八Wiocos a = 当Sina =io"-10-31010时,-4io 2Sina+ cos。-2= 10 一4 + 加. Sina-CoSa 210-故选：C.【跟踪训练1-5】(2019秋清远期末)己知Sina=-2COS0,则SinaC,sa+3c,s%=(2sin-CoSa【分析】将已知代入所求即可化简求值得解.【解答】解：Sina=-2cos0,sinacosa+3cos2a(-2cosa)cosa+3cos2acos2a1.=.2sin2a-cos2a2(-2cosor)2-cos1alcos1a7故选：O【跟踪训练1-6】(2019秋茂名期末)已知tana=2,计算:,八4sina-2sa(1) :5cos+3sin0(2) sinacosa；(3)若。是第三象限角，求Sin夕、cosa.【分析】(1)由已知化弦为切求解；(2)分母看作1,用平方关系替换，在化弦为切求解；(3)联立商的关系与平方关系求解.【解答】解：(1)4sina-2c°s=4tana-2=4x2-2=g5cosa+3sina5+3tana5+3×211/八.SinaCOSatancr22(2) sinacosa=zz=z=：=；sina+cosatan+l2+15(3) tana=2,.".sina=2cos»代入sin2a+cos?=1中，可得4s2a+s2a=.,.cosia=,Wsa=±,55又是第三象限角，.cos。=-好.5代入式得Sina=2X（_奉=一竽.【跟踪训练1-7】（2020春锦江区校级月考）已知SinJ+cosJ=g（0v。乃），求下列各式的值:(1)Sine-CoS8;(2)sin3-cos3；（3）sin。-4cos65sin0+2cos6【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，求出2sin6cose的值，再利用完全平方公式求出Sine-CoSe的值.（2）由（1）联立求出SinS与CoSe的值，即可计算得解.（3）由（2）利用Sin-与cos，的值即可计算得解.I174【解答】解：（1）将sin+cos=->两边平方得:（sin÷cos）2=1+2sin6cos6=，即2sinOcosO=<0，52525、49.（sin，-COS6）=1-2sincos=,。£（0,万），.sin>O»COSeV0,即Sin夕一COSe>0,则sinJ-cosJ=-；517(2) ,由(1)可得Sine+cose=g(Ovevr),sin6?-cos=：解得sin=a,COSe=-，55一春64,27、91.smO-CoS-()=；125125125（3）由（2）可得sin6-4cos65sin6 + 2cos0【名师指导】1 .利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形.同南三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的.2 .若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次寐将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型.3 .对于Sina+cos,sinacosa,SinaCOSa这三个式子，知一可求二，若令Sina+cosa=z,则SinaCoSaz2_1=-2，Sina-CO注意根据的范围选取正、负号），体现了方程思想的应用.题型2诱导公式的应用sin（;r-a）cos（24一）sin（红一）”【例2-1】（2020春忻府区校级月考）已知/（）=Z，则/（-包）的值为（,、，3c、3CoS（一乃-）cos（a）2A.r 3 2DT【分析】己知关系式右边利用诱导公式化简确定出/（）,即可求出所求式子的值.r2v.1、SinaCOSaCoSa【解答】解：/(a)=CoS。，(-cosa)(-Sina)l,/25万、.25.o,1则/(-)=COS()=C0S(8乃+-)=COSy=故选：B.),则 sin(;r -)- cos(, - 6)=(),结合角的范围，可求Sine+cos JvO .【例2-2】（2020春吉林月考）若SinJ-COs=3,且0（'%,34【分析】由知利用同角三角函数基本关系式可求2sin0cosJ=进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：Sine-COS8=1,两边平方可得1-2SineCOSe="39二.可得2sinOcosJ=-N93,(-»)>.sin6>(0,y),cos(-1,-一 3.sine+cos8v0,.sin(-)-cos(一。)=sin。+cos=-J(Sin+cos)2=一+2sinJcosJ【跟踪训练2-1】（2020春静安区期末）sin240。的值是（A.CTDT【分析】由题意利用诱导公式，求得结果.Zo【解答】解：sin240o=sin(l80o+60o)=-sin60°=,2故选：D.【跟踪训练2-2】(2020春日照期末)已知sin(2+Q)=J,那么8s(+)=()25A.-B.-1C.-D.-5555【分析】由已知利用诱导公式可得8sg=g,然后求H"osg+a)的值.【解答】解：,sin(.+)=cosQ=L25/.cos(,+)=-COSa=-故选：B.【名师指导】1 .学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了.”2 .明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名.(2)用诱导公式，统一角.(3)用因式分解将式子变彩，化为最简.也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了.题型3诱导公式与同角关系的综合应用【例3-1】(2019秋吉安期末)已知三vavr,且cos。=/，则 254cos(- - 2) - 3sin(- + a) 2cos(半 一 0) + 2sin(2 - 2a)的值为.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得Sina的值，再利用诱导公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果.【解答】解：己知工 <a,不，且 COSa =-3，sin a - Vl - cos2 a - -» 255则 4cos(-2)-3Si呜+ ) = 278Sa = -4(2cos2-l)-3cos 喈-gEQi-2a 8 cos' a + 3cosa-4Sina + 4SinaCOSa8.+ 3-)-4- V255=-32 323 ,- -33 - 335故答案为： 33【跟踪训练3-1】（2020通州区一模）已知XW （0，），tan（x +2）=-3,则迎空必过 241 + cosx【分析】利用两角和的正切函数公式，同角二角函数基本关系式可求cos%,sinx ,利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解.【解答】解：门（0,为，tan（x +为=上卫廿=一3,241 - tan X/. tanX = 2» 即 SinA: = 2COSX,/.sin2 X + cos2 X = (2cosx)2 + cos2x = 5cos2 x= 1 , 解得CoSX =亭 »Sin*52 sin(, - x) + sin 2x _ 2 sin X + sin 2x , =2525z × _ _ + Z ×× 1 +COS1 + COS故答案为：述5跟踪训练3-2】（2019秋西昌市期末）己知sin(6 - 2) - sin(6 -cos(-+ <9) + cos(- + 19) 2sin? e + 2sin68Se-COS2 6 =【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tan。的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.【解答】解：TTTsin(6 - 2;T) - sin(6 -)cos(半 + 8) + cos(, + 6)2,sin£±cosf = tan£1l=2 解存 tan*3, sin G - cos tan O-1. sin2 6 + 2Sin 3cos- cos2 =sin2+2sincos-cos2_tan2+2tan-19+6-1sire+cos1tarf+9+1故答案为：-.5【名师指导】求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式化简要求化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值