第19讲导数的应用——利用导数研究函数零点问题（教师版）.docx

第19讲导数的应用利用导数研究函数零点问题思维导图导数的应用一利用导数研究函数零点问题题型1：讨论函数的零点个数题型2:由函数的零点个数求参数范围题型3:函数零点与极值点的偏移问题知识梳理1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间小川上是连续不断的曲线，且/(G(b)vO.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明式。)4加<0;分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明J(a)J(b)<0.2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从Ar)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.题型归纳题型1讨论函数的零点个数【例1-1】(2020漳州三模)已知函数/(x)=e*-Or-I+sinx.(1)当=2时，证明：/(X).0；(2)当&.1时，讨论函数/(x)的零点个数.【分析】(1)利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步证明出结果.(2)利用分类讨论思想的应用和函数的二次求导的应用及构造函数的应用求出函数零点的个数.【解答】解：(1)证明：当=2时，f(x)=ex-2x-+sinx,所以f,(x)=ex-2+Cosx,所以f,(x)=ex-si11,当x(-,0)时，洛,1,所以：r(x)副-l+cosx0,所以/(x)在(-8,0单调递减,所以/(x).J(O)=O.当Xe(O,+8)时，ex>1»所以/(X)>1-sinx.O,所以f,(x)在(O,-)单调递增，所以fx)>,(0)=0.所以/(%)在(O,+oo)上单调递增，/(x)>(0)=0.综上所述：/Cr).O当且仅当X=O时，等号成立.(2)由于/(O)=e°-O-l+sinO=O,所以O为函数f(x)的一个零点.f,(x)=ex-a+cosx,f,f(x)=er-sinx,(i)当a=2时，由(1)知函数f(x)仅有一个零点,()当4>2时，当X(-oo,0)时，f,W<ea-a+cosO<0./(x)在(o,0)单调递减，/U)>/(0)=0.所以当xe(-8,0)时，函数F(X)无零点.当x(0,+oo)时，,z(x)>e0-sinx.0,所以广(力在(0,zo)单调递增.由于,(0)=2-a<0tf，(Jma+2)=el,(a+2)-a+cosln(a+2)=2+coaln(a+2)>O.所以在(O,+oo)上存在唯一的与(0,ln(a+2),使得/(%)=0.当x(0,q)时，,(x)<0,/(%)在(0,%)单调递减.有/()<(x)<(0)=0,所以/(%)在(0,%)无零点.当Xta),+00)时，,(x)>0,F(X)在5,+00)单调递增.又f(lna,)=t73-2talna-1+Sinana)>ay-3alna-2,设P(a)=ay-3alna-2(a>2),所以p'(a)=3(2-1-Ina),p,(a)=3(2a-)>0,a所以“(a)在(2,K)o)单调递增，有"(a)>pf(2)>0.所以P(a)在(2,+oo)单调递增，有P(a)>p(2)>0»即/(/)>o因此函数f(x)在(X°,+oo)有一个零点.所以当>2时，/(幻有两个零点.(日)当L,<2时，当x(0,yo)时，,(x)>eo-sinx.O,所以/。)在(O,x>)单调递增.V)>,(0)=2->0,/(x)在(O,+oo)单调递增，/(x)>(0)=0.所以f(x)在(O,+oo)上无零点.当xe(-,一4)时,-ax."f(x).e+sinx-l>0.所以/(%)在(-00，-4无零点.当XG(-万,0)时，sinxv,f,(x)>O,/'(x)在(一万,0)单调递增，X,(0)=2-a>0,f,(-)=e>-a<0.所以存在唯一的/(r,0),使得r(Xo)=O当XW(一肛E)时，f,(x)<0,函数f(x)在(-乃,/)单调递减.当XW(Ai),0)时，(X)>O,函数/(X)在(为，0)单调递增.又f-)=e+a->0,f(x)</(0)=0,所以函数/(x)在(一肛0)有1个零点.所以当L,<2时，/(x)有2个零点.综上所述：当=2时，/(%)有一个零点，当。>2或L,<2时，函数/(x)有2个零点.【跟踪训练11】(2020宜宾模拟)函数/)=；V+2%2+3x+B的零点个数为.【分析】先求出导函数/'(X),令T(X)=O求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值酬出乐殴的大致图象，从而得到函数的零点个数.【解答】解：.函数f(x)J+2x2+3x+3,33f,M=2+4x+3=(x+l)(x+3),令r0)=0得：=-3或一1,.当XG(YO,-3)时,f,(x)>O,函数/(x)单调递增；当xg(-3,-1)时,f,(x)<O»函数/(x)单调递减；当xe(T,+)口寸，/'0)>0,函数/")单调递增，.函数f(x)的极大值为/(-3)=g,极小值为/(-1)=0，故答案为：2.【跟踪训练1-2】(2020西安二模)己知函数/(幻=-履-加优、机为实数，e为自然对数的底数,e2.71828).(1)求函数/(处的单调区间；(2)当k=2,m=1时，判断函数/(x)零点的个数并证明.【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；(2)先由导数与单调性关系分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理即可求解.【解答】解：(1)fx)=ex-k,鼠0时，r(x)>0恒成立，故/(x)的单调递增区间(yo,e),没有单调递减区间；女>0时，易得，当x>加I时，(x)>O,当XV/时，/'(x)v,故函数的单调递增区间(/成,+)，单调递减区间(to,/成)，(2)当2=2,加=1时，/(幻=炉-21-1的零点个数为2个，证明如下:由在(YO,例2)单调递减，且f(0)=0,故/(X)在(7,加2)有且仅有I个零点，又因为/(x)在(/"2,)上单调递增且/(1)=6>-3<0,f(2)=/_5>0且/J)在口，2上连续不间断，故/(x)在1,2上有且仅有1个零点.综上/(x)有且仅有2个零点.【名师指导】根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法：一种是利用单调性与零点存在性定理求解，另一种是化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解题型2由函数零点的个数求参数范围【例2-1】(2020新课标I)己知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当=l时，讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求的取值范围.【分析】(1)当。=1时，fx)=ex-,求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函照各区间段内的符号求得原函数的单调性：(2)当出0时，(3=犬-。>0恒成立，/3在(Y0,”)上单调递增，不合题意；当白>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于。即可求得的取值范围.【解答】解：由题意，"r)的定义域为(华,”)，且/'(x)=-.(1)当=l时，f,M=ex-,令/(%)=0,解得X=0.当x(-,0)时，,(x)<0,/(x)单调递减，当x(0,+>)时，f,(x)>O,/(x)单调递增.(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,o)上单调递增；(2)当&O时，r(x)=F->O恒成立，/(%)在(o,÷)上单调递增，不合题意；当>0时，令f'(x)=O,解得X=/3，当X(-co,)时，,(x)<0,/(x)单调递减，当(M+oo)时，,(x)>0,f(x)单调递增.,.f(x)的极小值也是最小值为f(Ina)=a-alna+2)=一(l+Ina).又当X->-co时，/(x)+»当“+8时，f()+.，要使f(x)有两个零点，只要/(/也)<0即可，则1+Ina>0,可得>.e综上，若f(x)有两个零点，则的取值范围是d，÷oo).e【跟踪训I练2-1】(2020广东二模)已知函数/(x)=v2+cosx-l(t7/?),若函数/有唯一零点，则。的取值范围为()A.(o,0)B.(-co,OJ(J1,+oo)C.(-co,1JJ1,+oo)D.(-,O)J1,+)【分析】求导，构造辅助函数g(x)='(x)=-SinX+r,贝J，(X)=-8sx+,当.l时，可知g(x)在R上单调递增，g(0)=0,即可判断了(x)在0，+oo)上为增函数，在(-8,0)上为减函数，由/(冷=0,即可证明，当口.1时，f(x)有唯一的零点；然后验证=0时，函数的零点的个数，判断选项即可.【解答】解：因为尸(X)=TinX+xeR).令g(x)=-Sinx+r，则g'(x)=-CoSX+，所以当a.l时，g，(X)=-CoSX+a.0,即g(x)在R上单调递增，X(O)=-sinO=O,所以x0,+oo),(x).0,当x(-,0),(x)<0,所以“功在O,+oo)上为增函数，在(9,O)上为减函数，又/(0)=0，所以当xe0,+),/(x).0,当XW(-,0),对xR恒成立，即当.l时，/(x).O»且当且仅当X=O,/(x)=0,故当a.l时，/(幻有唯一的零点；排除A,当=0时，/(x)=Cosx-I,令/(x)=0,可得COSX=1,有无数解，所以=0,不成立，排除BC,故选：D.【跟踪训练2-2】(2020新课标In)已知函数/(X)=F一日+公.(1)讨论,f(x)的单调性；(2)若八外有三个零点，求左的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论女的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于上的不等式组，解出即可.【解答】解：(I)f(x)=xi-kx+k2.f,(x)=3x2-kf鼠O时，r(x).O,/(x)在R递增,QO时，令r(x)>0,解得:综上，鼠O时，/(x)在R递增,+)递增,Qo时，F(X)在(YOLg)递增，在(一卜小勺递减,在哈，+8)递增;(2)由(1)得：k>0, /(幻极小值40女， 27【名师指导】利用函数零点求参数范围的方法(1)分离参数3=g(x)后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y="与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解题型3函数的零点与极值点的偏移问题【例31】(2020张家口二模)已知函数f(x)="-H竺-We是自然对数的底数)有两个零点.X(1)求实数。的取值范围；2(2)若/(X)的两个零点分别为,占证明：%>-77-e'2【分析】(1)先对函数求导，然后结合函数的单调性与导数关系对。进行分类讨论，然后结合单调性及零点判定定理可求；(2)先利用分析法分析与原不等式等价的不等式，然后结合特点考虑构造函数，结合导数可求.【解答】解：(I)由题意可得，力(工)=汽'-。氏1-出:二泥*-勿(必，=0有2个零点，令r(x)=xex,则“x)=(x+l)e*>O在>O时恒成立，故t(x)=xex在(O,-Hx)上单调递增，所以(X)有2个零点可转化为gQ)=I-H加有2个零点，因为g")=1(4,O时，g")>O,g(f)单调递增，不可能有2个零点，当>0时，由g<f)>O可得r>l,g(f)单调递增：g")<0可得0<<1,g单调递减，g(t)min=g(a)=a-alna,若Ov<e,则g(a)>0,此时g(z)>O恒成立，没有零点，若=e,则g(a)=0,有一个零点，若>e,则g(a)<0,因为g(1)=l>0,g(ea)et,-a2>Of所以g在(l,e),(e,e")上各有1个零点,符合题意，综上，的范围(e,y);(2)证明：要证王七>孟，只要证即证仇(XIeM)+ln(x2exi)>2,由(1)可知，1=xxex',t2=x2e2,所以a(lnt1Intl)=t2-tl,a(lnt1+Inti)=t2+tl,(+l)所以Iml+1%=Q明Inti)=4Z2-tk-也1)庐只要证4>2,设0vf V，令 t = 2, r >1,所以只要证加f>以二2印证加+/-2>0,i-lr+14令()=IntH2>/>1,r+1>0,则t(r+1)t(t+1)2.h(t)>h(1)=0,4即当f>l时，)=1"+2>0,z+1所以Intl+Int2>2即(中人)x2x2)>e2,【跟踪训练3-1】(2020吴忠模拟)已知函数/(X)=加+.(1)求函数/(x)的最大值;(2)若函数/(x)存在两个零点%,Xj(x1<x2),证明：2lv1+Inx2<0.【分析】(I)求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可；(2)要证2lnx+Inx2<0即证x12x2<1,只要证明"<1，即证"3<(-1)3,(/>1),令g(x)=tht-(t-1)3,«1)、根据函数的单调性证明即可.【解答】解：(1)/(力的定义域是(0,+),1l-rff(x)=-=，XX令T(X)>0,解得：XVl,令,(x)<0,解得：x>,故/(X)在(U)递增，在(1,+00)递减，故/(%)乐大值=f(%)极大值fa-：x2(x1 <x2) >(2)证明：由(1)得/(1)=a-,当>l时，f(x)有2个零点司，则x(0,l),x2(l,+),InXy-xl+a=Inx2-x2+a=O»得x,-=bc2-Inxl=In-»令r=上，则f>1,ZX1-X1=Int»X=,/12lnxl+Inx2<0<=>lnxx2)<0<=>0<x122<1,22>O显然成立,要证2lnX+Inx2<O即证122<1,只要证明吃<1,即证加f<e-l)3,(/>1),1 I)令g(x)=tln3t-(Z-1)3,g(1)=O»=r÷3z-3(r-l)2,g,(1)=0,令h(f)=g'Q),则(，)=1>,+2/川一2/+2/),/(I)=0,t令m(t)=ln2t+2lnt-2t2+2t,2则m,(t)=(lnt+-2t2+t)>m,(1)=O»t令=/加+1-2/+/,n,(t)=-4t+,，>0时，")递减，t故f>l时，nt)<n,(1)=一2<0,故递减，<(1)=0,即W(f)vO,(r>1),故向，)递减，m(t)<m(1)=O,故"Q)<0,ZIa)在f>)递减,h(t)<h(1)=0,即g")<0,g«)在(l,+oo)递减，g(f)<g(O)=O,故z<Q-1)3,(f>1),综上，2lnxl+Inx2<0.【名师指导】函数极值点偏移问题的解题策略函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商