点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析.docx

【知识梳理】（1J四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：A,8,且4,8=a0公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有口只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：P,且Pn夕=,P.公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：alll,旦blllnclb.（2）空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一-个平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面宜线。口，经过空间任意一点。作直线"4力'匕，我们把，与6'所成的角（或直角）叫异面直线。力所成的夹角。（易知：夹角范围o<e）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）升而吉江相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线2 .位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内QUa）有无数个公共点行夫汨,直线与平面相交U-a=A）有且只有一个公共点直线在平面外4直线与平面平行（/«）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种:两个平面平行QaH位没有公共点两个平面相交（6=/）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a<za,bU,且。Z?=CIHa在平面内“找出”一条直线与直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行au,bu°,ab=Pyallayblla=Ma判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行alla,ac,a=b>ab平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行allya=ay=b=>a/b直线、平面平国售直的判定及其性质(一)根本概念1.直线与平面垂直：如果直线/与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面垂直，记作直线/叫做平面的垂线，平面叫做直线/的垂面。直线与平面的公共点尸叫做垂足。2 .直线与平面所成的角：角的取值范围：OVeV90。3 .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：0<6><180o；两个平面垂直：直二面角。(二)四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。机、n三a,mn=P,且。±tn,a-Ln=>aLa在平面内“找出”两条相交直线与直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。au/?,a_La=£_La(满足条件与垂直的平面£有无数个)判定的关键：在一个平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。aIa、bLana"b平面与平面垂直的性质两个平面垂直，那么一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。a±,aB=l,au。_L/n。_La解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线【经典例题】典型例题一例1简述以下问题的结论，并画图说明：(1)直线4U平面。，直线人=A,那么Z?和。的位置关系如何?(2)直线u,直线Z,那么直线匕和。的位置关系如何？分析：(1)由图(1)可知：力Ua或b11=A;(2)由图(2)可知：b/a或bua.说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法.典型例题二例2P是平行四边形ABCQ所在平面外一点，。是P4的中点，求证：PC平面8OQ.分析：要证明平面外的条直线和该平面平行，只要在该平面内找到条直线和直线平行就可以了.内，且。证明：如下图，连结AC,交BD于点。，四边形ABCD是平行四边形AO=CO,连结。，那么。在平面BOQ是AAPC的中位线，：PCH0Q.VPC在平面3。外，说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过直线作一平面与平面相交，如果能证明直线和交线平行，那么就能够马上得到结论.这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，假设线线平行，那么线面平行.典型例题三例3经过两条异面直线b之外的一点P,可以作几个平面都与，匕平行？并证明你的结论.分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.解：(1)当尸点所在位置使得P(或b,P)本身确定的平面平行于b或时，过尸点再作不出与b都平行的平面；(2)当尸点所在位置。，尸(或Z?,P)本身确定的平面与匕(或。)不平行时，可过点尸作b,b.由于。，6异面，那么"，Z/不重合且相交于P.由于"11Z=P,"，"确定的平面,那么由线面平行判定定理知：alia,blla.可作一个平面都与人平行.故应作“0个或1个”平面.说明：此题解答容易无视对P点的不同位置的讨论，漏掉第(1)种情况而得出可作一个平面的错误结论.可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，：直线aMb,。平面,baa.证明：如下图，过。及平面仪内一点A作平面尸.求证：blla.,.,alla,.*.allc.又：CIHb,.*.bllc.b<za,blla.CUa,说明：根据判定定理，只要在a内找一条直线cb,根据条件。,为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过。作平面夕与相交，我们常把平面夕称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如,就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.典型例题五例5四面体SABC的所有棱长均为。.求：(1)异面直线SC、AB的公垂线段E尸及E尸的长；(2)异面直线E尸和SA所成的角.分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离;面直线所成的角可采取平移构造法求解.解：(1)如图，分别取SC、AB的中点E、Ff连结SF、CF.由，得ASA5gAC4B.：.SF=CF,E是SC的中点，：.EF.LSC.同理可证EFjLAbE厂是SC、AB的公垂线段.本例中对于异在RIASEF中,SF=-a,SE=La.22：EF=ySF2-SE2(2)取AC的中点G,连结EG,那么EGSA.E尸和GE所成的锐角或直角就是异面直线E厂和SA所成的角.115连结户G,在bG中，EG=-a,GF=-a,EF=Ja由余弦定理，得CosZ.GEF=122212EG2+E/2g/2_WQ+工。一。2EGEF24旦22NGEF=45°.故异面直线EF和SA所成的角为45°.说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来,求值.然后再典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内.：直线。,BWa,Bwb,blla.求证：bua.分析：由于过点8与平行的直线是惟一存在的，因此，此题就是要证明，在平面外，不存在过8与。平行的直线，这是否认性命题，所以使用反证法.证明：如下图，设bza,过直线和点B作平面夕，且/Cla=E.VaHa,bHa.这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a,与平行公理矛盾.必在内.说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下表达方式.如上图，过直线及点3作平面夕，设BCa=b.YaHa,：,bHa.这样，b与人都是过B点平行于。的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，J./?与5重合.,：bua,bu.典型例题七例7以下命题正确的个数是().(1)假设直线/上有无数个点不在平面。内，那么/a；(2)假设直线/平行于平面。内的无数条直线，那么"/。；(3)假设直线/与平面平行，那么/与平面内的任一直线平行；(4)假设直线/在平面夕卜，那么".A.O个B.1个C.2个D.3个分析：此题考查的是空间直线与平面的位置关系.对三种位置关系定义的准确理解是解此题的关键.要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.解：(1)直线/上有无数个点不在平面。内，并没有说明是所在点都不在平面。内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有(2)直线/虽与。内无数条直线平行，但/有可能在平面内，所以直线/不一定平行.(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到.当a时，假设mu且相/,那么在平面。内，除了与团平行的直线以外的每一条直线与/都是异面直线.(4)直线/在平面。外，应包括两种情况：/。和/与相交,所以/与不一定平行.应选A.说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面.如直线/、机都平行于,那么/与加的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线/6、IHa,那么根与。的位置关系可能是平行，可能是加在a内.典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和平面相交，那么另一条也与该平面相交.：直线。b,4VP面=P求证：直线b与平面相交.分析：利用。转化为平面问题来解决，由人可确定一辅助平面这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用.解：,：CiHb,，4和8可确定平面夕.;"11二尸，平面和平面夕相交于过点P的直线/.在平面/内/与两条平行直线。、中一条直线。相交，/必定与直线力也相交，不妨设611=Q,又因为人不在平面?内（假设在平面。内，那么。和夕都过相交直线和/,因此与夕重合，。在内，和矛盾）.所以直线匕和平面相交.说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否认直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：-条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，那么此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）.典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行.：。与6是异面直线.求证：过b且与平行的平面有且只有一个.分析：此题考查存在性与唯一性命题的证明方法.解题时要理解“有且只有”的含义.“有”就是要证明过直线b存在一个平面,且。,“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的.存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.证明：（1）在直线人上任取一点A,由点A和直线。可确定平面夕.在平面夕内过点A作直线。，使。那么。和为两相交直线，所以过和人可确定一平面.,：bua,4与Z?为异面直线，:a<za.又alia,u,：alia.故经过b存在一个平面与。平行.（2）如果平面/也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知/也是经过相交直线b和a的.由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与y重合，即满足条件的平面是唯一的.说明：对于两异面直线。和人，过人存在一平面。且与。平行，同样过。也存在一平面夕且与平行.而且这两个平面也是平行的（以后可证）.对于异面直线和人的距离，也可转化为直线。到平面0的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法.典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.：z7=/,alla,all,求证：allI.分析：此题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质定理，可以先证明直线。分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行.然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明与/平行.证明：在平面g内取点P,使P金/,过P和直线作平面'交。于人.：CIIla,uy,(ya=b,.*.allb.同理过。作平面5交用于c.*/a/,au,=ct，allc.，bc.,：ba,cup,C.bH.又,：bua,a(=l,bill.又YaHb,：.a/l.另证：如图，在直线/上取点M,过M点和直线作平面和。相交于直线4,和夕相交于直线4.Vaa,allVafZ2,但过一点只能作一条直线与另一直线平行.，直线I和4重合又一4u,L2U,工直线乙、L都重合于直线/，说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要.典型例题十一例11正方形ABCD与正方形43E尸所在平面相交于A8,在4E、BD上各取一点P、Q,且AP=DQ.求证：PQ面BCE.分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行.关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行.可考察过尸。的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同.证明一：如图，在平面ABE尸内过尸作PMAb交BE于M,在平面ABCD内过0作QNAB交BC于N,连结MN.PMPEVPM/AB,.=ABAE又YQNHABHCD,0二丝，即变=丝.DCBDABBD正方形ABEF与A58有公共边AB,.*.AE=DB.：AP=DQ,：.PE=BQ.PM=QN.NPMAB,QN/AB,：,PMHQN.四边形PQNM为平行四边形.：PQHMN.又：MNU而BCE,证明二：如图，连结A。并延长交BC于S,连结ES.：BSHAD,：他=也QSQB又正方形ABE尸与正方形ABCD有公共边AB,：.AE=DB,VAP=DQ,：.PE=QB.APDQAQ,PEQBQSPQ/ESf又：ESU面BEC,PQ面BEC.说明：从此题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.：=,=b,a-c.求证：a、b、。互相平行或相交于一点.分析：此题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.证明：.11=,y=b,，a、bu。.与人平行或相交.假设。b,如图：bu,QB、all.又.la=c,aua,allc.*.allbHc.假设。与b相交，如图，设a116=O,：.Owa,Oeb.又.a=a11/,b=Cy.：.Owa,0y又W11y=c，'0c.直线、b、C交于同一点0.说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCo中，M.N分别是CG、A片的中点，画出点。、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13空间四边形A8CZABAC,AE是AABC的BC边上的高，Ob是ABCD的8。边上的中线，求证：AE和。尸是异面直线.证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E、尸不重合，设ABCD所在平面a.DFUaA史a=>AE和。尸是异面直线.EWaE出DF证法二：（反证法）假设AE和。尸不是异面直线，那么AE和。”共面，设过AE、。尸的平面为2.（1）假设E、尸重合，那么E是5。的中点，这与题设ABwAC相矛盾.（2）假设E、尸不重合，：BeEF，CeEF,EFu,：.BCU.，：AQ、Dq,A、8、C、。四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.综上，假设不成立.故AE和。尸是异面直线.说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用.首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做.也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的.那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题.假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，那么9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾.只须两句话就解决了这个问题.典型例题十四例14AB.BC、CO是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是A3、BC、Co的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和30平行.分析：欲证明AC平面E尸G,根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC平行平面E/G内的一条直线，由图可知，只须证明AC7/E尸.证明：如图，连结AE、EG、EF、GF.在AABC中，E、尸分别是A3、BC的中点.：.ACHEF.于是AC平面EFG.同理可证，BD平面EFG.说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：（1）根据直线和平面平行定义；（2）根据直线和平面平行的判定定理.典型例题十五例15空间四边形A3CZP、0分别是AABC和ABCD的重心，求证：PQ平面ACQ.分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACQ中的某条直线平行，根据条件，此直线为A。，如图.证明：取5C的中点E.尸是AABC的重心，连结AE,那么AE：PE=3：1,连结OE,0为A8C。的重心，：.DE：QE=3：1,在AAEO中，PQHAD.又AOU平面ACZ),尸Qa平面ACO,.P/5FffiACD.说明：(1)本例中构造直线40与尸。平行，是充分借助于题目的条件：P、。分别是AABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明尸。A。，该种方法经常使用，望注意把握.(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”.判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法.根据问题具体情况要熟练运用.典型例题十六例16正方体ABCD-AqGA中，E、G分别是6。、GR的中点如以下图.求证：EG平面BB0Q.分析：要证明EG平面BBQ。，根据线面平等的判定定理，需要在平面38Q。内找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件.证明：取30的中点尸，连结石尸、D1F. E为BC的中点，,E/为ABCZ)的中位线，那么石尸OC,且EF=LCQ.2G为GA的中点，；EFDC且EF=DlG, 四边形EFDfi为平行四边形，D1F/EG,而。尸U平面,EGa平面5。£)出，JEG/平面BDDiBL典型例题十七例17如果直线平面,那么直线4与平面内的().A. 一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C,无数条直线可能是一-组平行线，也可能是共点线，C也不正确，应排除C.与平面内任意一条直线都不相交，才能保证直线。与平面平行，D正确. 应选D.说明：此题主要考查直线与平面平行的定义.典型例题十八例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是().A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线。、b平行的两条直线。、d是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线、b平行的两条直线c、d是相交关系.综上，可知应选D.说明：此题主要考查有关平面、线面平行等根底知识以及空间想象能力.典型例题十九例19。、力是两条异面直线，以下结论正确的选项是().A.过不在。、b上的任一点，可作一个平面与b平行B.过不在、b上的任一点，可作一个直线与、b相交C.过不在4、6上的任一点，可作一个直线与4、b都平行D.过。可以并且只可以作一平面与b平行解：A错，假设点与。所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了.B错，假设点与所确定的平面与人平等时，就不能作一条直线与。，b相交.C错，假设这样的直线存在，根据公理4就可有白人，这与，人异面矛盾.D正确，在上任取一点A,过A点做直线C6，那么C与。确定一个平面与平行，这个平面是惟一的. 应选D.说明：此题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等根本概念.典型例题二十例20(1)直线。6,1平面那么b与平面的位置关系是.(2) A是两异面直线、b外的一点，过A最多可作个平面同时与b平行.解：(1)当直线b在平面a外时，bai当直线b在平面内时，bua.，应填：bHa或bua.(2)因为过A点分别作Z?的平行线只能作一条，(分别称，5)经过，5的平面也是惟一的.所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过或人时，这个平面就不满足条件了.应填：1.说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答此题的关键.典型例题二十一例21如图，alia,A是Q的另一侧的点，8,C,O,线段48,AC,4。交。于E,F,G,假设3D=4,CF=4,AF=5,那么EG:解：aa,EG=5FffiABD.：.a/EG,即50EG,EFFGAFEF+FGEGBCCDACBC+CDBDAF+FC那么EG=山2=2=22.说明：此题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等.同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力.【课堂练习】,那么以下结论成立的是()A.Q内所有的直线都与a异面；B.内不存在与a平行的直线；C.a有公共点.2 .两个平面垂直，以下命题一个平面内的直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，那么垂线必垂直于另一个平面.3 .空间四边形ABCD中，假设Ab=AZ>=AC=CB=CD=Br),那么AC与BD所成角为A、30°B、450C、60°D、90°4 .给出以下命题：(1)直线a与平面。不平行，那么a与平面。内的所有直线都不平行；(2)直线a与平面。不垂直，那么a与平面。内的所有直线都不垂直；(3)异面直线a、b不垂直，那么过a的任何平面与b都不垂直；(4)假设直线a和b共面，直线b和C共面，那么a和C共面其中错误命题的个数为()（八）0(B)1(C)2(D)35 .正方体ABCD-ABCD中，与对角线AG异面的棱有()条A3B4C6D86 .点P为AABC所在平面外一点，PO_L平面ABC,垂足为0,假设PA=PB=PC,那么点。是AABC的(（八）内心外心(C)重心(D)垂心DiQ17 .如图长方体中，AB=AD=23,CC1=2,那么二面角Al|/C-BD-C的大小为()j/J（八）30°(B)450(C)60°(D)90°a8 .直线a,b,c及平面,B,丫，以下命题正确的选项是()A、假设a,bu,c±a,c±b那么c_L假设b,ab那么aC、假设aa,aB=b那么abD、假设a_La,b±a那么aba与平面夕平行的条件可以是()A.a内有无穷多条直线与Ba,Wua,直线bu£,且a尸，baD.a内的任何直线都与夕平行10、a,b是异面直线，下面四个命题：过a至少有一个平面平行于b；过a至少有一个平面垂直于b；至多有一条直线与a,b都垂直；至少有一个平面与a,b都平行。其中正确命题的个数是()A0B1C2D3选择题答题表题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）IL直线a平面,平面平面夕，那么a与尸的位置关系为.12.直线aJ_直线b,a平面尸，那么b与尸的位置关系为.13如图，ABC是直角三角形，NACB=90",PAI平面ABC,此图形中有个直有三角形14 .Q、B是两个不同的平面，m、n是平面及B之外的两条不同直线，Z给出四个论断：pxm_Lnj.Bm_LBn_l_aJv以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为aI正确的一个命题：.三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）15 .如图，PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC求证：AB_LBCAB平面 ABC, AE±PB, AB±BC, AF±PC, PA=AB=BC=2 (1)3CA的大小；(3)求三棱锥PAEF的体积.求证：平面AEF_L平面PBa16 .在三棱锥S-ABC中，B=C,0是BC的中点，平面SAO_L平面ABC求证：ZSAB=ZSC一、选择题1 .给出以下关于互不相同的直线加、1、和平面a、B的四个命题：假设mua,/Ca=A点A¢.孙则/与Zn不共面；假设用、，是异面直线，/a,根a,且_1_/,_1九则_1_0：假设I/Ia,mllyall,则/m；假设/ua,tnua,lcm二点A,l/,m/,Wa/.其中为假命题的是A.B.C.D.a,4,/为两两不重合的平面，/,加,为两两不重合的直线，给出以下四个命题:假设a_Ly,Ly,那么a|；假设nua,ua,m,n,那么a|；假设aIl/，/Ua,那么/Il夕：假设=/,=m,/）a=",l，那么阳|原中真命题的个数是A.1B.2C.3D.43 .加、是两条不重合的直线，。、B、Y是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：假设m_La,相J_,贝!a/?；假设a_Ly,夕_La,则。/：假设mUau,mn,奥a；假设爪是异面直线，mua,m/,nu,nla,快al.其中真命题是.和B.和C.和D.和4 .直线/、"?、及平面,以下命题中的假命题是A.假设/机，m/n,那么/.B.假设/_La,11Ha,那么/_L.C.假设/_1_根，mHn,那么/_L.D.假设",nila,那么"/.5 .在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成立的是A.BC平面PDFB.DFJL平面PAEC.平面PDF_L平面ABCD.平面PAEJ_平面ABC6 .有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有个平面与平面垂直.其中正确命题的个数为.OB.1C.2D.37 .以下命题中，正确的选项是.经过不同的三点有且只有一个平面8 .分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行8 .直线m、n与平面。,尸，给出以下三个命题：假设加,nila,贝!机;假设mHa,nLa,贝M±m假设机_La,阳民则a_L.其中真命题的个数是.OB.1C.2D.39 .a、b、C是直线，夕是平面，给出以下命题：假设。J_b_Lc,则c；假改ab,bLc,则。±c；假设。夕/U,贝必仇假设a与b异面，且。尸,贝帕与£相交；假设H与b异面，那么至多有一条直线与&b都垂直.其中真命题的个数是.1B.2C.3D.410 .过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有.18对B.24对C.30对D.36对11 .正方体ABC。一A冉GR中，P、Q、R分别是AB、AD.BG的中点.那么，正方体的过P、。、R的截面图形是.三角形B.四边形c.五边形D.六边形12 .不共面的四个定点到平面a的距离都相等，这样的平面共有A.3个B.4个C.6个D.7个13 .设。、/为平面，“、/为直线，那么机_L£的一个充分条件是A.aI,ac/3=l,m11B.acy=m,aiy,tyC.aL,LjnLaD.nLa,nkjnLa14 .设a、为两个不同的平面，/、切为两条不同的直线，且ua,ru有如下的两个命题：假设a夕，那么/腐假设AL切，那么a_L/?.那么.是真命题，是假命题B.是假命题，是真命题C.都是真命题D.都是假命题15 .对于不重合的两个平面a与夕，给定以下条件：存在平面使得a、£都垂直于y：存在平面了,使得。、£都平行于7；a内有不共线的三点到夕的距离相等：存在异面直线/、m,使得/a,matm/,其中，可以判定a与夕平行的条件有A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1.平面a,/和直线11b给出条件：机a；m_La；zua：a_L/7；a/7.Ii）当满足条件时，布mH。；（ii）当满足条件时，有2_!_£（填所选条件的序号2 .在正方形ABCO-A'8'C'0'中，过对角线3。的一个平面交AA于E,交CC'于F,那么一、四边形8/Dz一定是平行四边形二、四边形8/DZ有可能是正方形三、四边形8/DZ在底面ABCD内的投影一定是正方形四、四边形BbDz有可能垂直于平面88。以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）3 .下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角相等，且侧而与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）4 .m、n是不同的直线，,是不重合的平面，给出以下命题:假设allB、mua,nu,那么假设m,na,mH,n1/,那么a/7假设“_La,_L机，那么二/.m、n是两条异面直线，假设相,"尸",/7,那么/7上面命题中，真命题的序号是(写出所有真命题的序号).5 .m、n是不同的直线，a,是不重合的平面，给出以下命题：假设7a,那么加平行于平面内的任意一条直线假设a"p、mua、nu0,那么tnH假设mLa,nL,mn,那么all假设all0nua、那么m!/上面命题中，真命题的序号是(写出所有真命题的序号).6 .连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号.菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形三、计算题1 .如图1所示，在四面体P-ABC中，PA=BC=6,PC=AB=IO,AC=8,PB=234.F是线段PB上一点，CF=34,17点E在线段AB上，且EFJ_PB.I证明：PB，平面CEF；(II)求二面角B-CE-F的大小.2 .如图，在五棱锥S-ABCDE中，SAJ,底面ABCDE,SA=AB=AE=2,r.BC=DE=BZBAE=ZBCD=ZCDE=120p.AA求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)；(2)证明：BC_L平面SAB；用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小.(本小问不必写出)3 .三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,AABC,PEF都是正三角形，PF±AB.(I)证明PCj平面PAB；(II)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；(HI)假设点P、A、B、C在一个外表积为12n的球面上，求AABC的边长.4 .正三棱锥P43C的体积为72石，侧面与