《概率论与数理统计》教案第9课连续型随机变量及其概率分布.docx

课题连续型随机变量及其概率分布课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解连续型随机变量的概念,及其概率密度函数的性质(2)熟练掌握均匀分布、寺前分布和正态分布，及其应用素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重睚点教学重点：连续型随机变量的概念，及其概率密度函数的性质教学难点：均匀分布、指数分布和正态分布的应用教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解连续型随机变量及其概率分布的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是连续型随机变量？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度对离散型随机变量，可用分布律P(X=XJ=Z(A=I,2,)来刻画其概率分布情况；而对于非离散型随机变量，考虑对任意实数r,事件X=3的概率P(X=X)没有多大意义.例如，等公共汽车的时间X,考虑它取某特定常数的概率，如X=3.事实上，"等待公共汽车时间严格等于3分钟"这一事件几乎不可能发生，其概率为0.于是需要寻求另外的方法来刻画非离散型随机变量的概率分布，【教师】提出概率密度的定义和性质定义1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数fx,使得对任意实数X,都有F(X)=P(X,X)=f(r)df,(2-17)J-OO则称X为连续型随机变量，并称函数f()为X的概率密度函数(或分布密度函数)，简称为概率密度(或分布密度)，常记作X/(x).由定义1以及微积分理论知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，并且概率密度/(X)具有下列性质：(1) /(x).0.(2-18)(2) f(x)dx=.(2-19)J-(3)对于任意实数，有P(a<X,b)=F(b)-F(a)=V(x)dx.(2-20)(4)对任意实数-P(X=X)=O.(5)如果f(x)在点X处连续，则有FV)=U).(2-21)需要旨出的是，满足性质(1)和性质(2)的函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数.在几何图形上，概率密度曲线总是位于X轴上方，并且介于它和X轴之间的面积为1,随机变量落在区间a,切的概率PaVX,与等于区间(a”1上曲线y=f(x)以下曲边梯形的面积，如图2-5所示.(a)(b)图2-5概率密度曲线最后，对于连续型随机变量X,它取任一实数X的概率都是0,即P(X=X)=O.事实上，设Ar>O,由于事件X=xux-Ar<X,R,所以O三JPX=x)P(x-x<X?)=F(x)-F(X-Ar).令Ar0,由产(%)的连续性，有PX=x=0.连续型随机变量的这一雌是它与离散型随机变量的最大差异.这一特性也表明，概率为0的事件未必是不可能事件,同样概率为1的事件并不一定是必然事件.根据这一特性，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间、闭区间,还是半开半闭区间，即P(NVX2)=P(MVXVX2)=P(XlXVX2)=P(X副Xx2).根据定义，性质5是显然成立的，则L/rF(x+x)-F,(x)1.P(xvX,x+x)fx)=F(x)=Iim=Iim.cOxrOx因此当Ar很小时，有尸(X<X,x+AX)P/(x)r.上式说明密度函数在X处的函数值/(x)越大，则X取X附近值的概率就越大.因此密度函数/*)并不是随机变量X取值X时的概率，而是随机变量X集中在该点附近的密集程度.这也意味着/(x)确实有"密度"的性质，所以称它为概率密度.(例题详见教材)二、几种常见的连续型随机变量的分布【教师】介绍几种常见的连续型随机变量的分布，及其应用1.均匀分布定义2如果连续型随机变量X的概率密度为1.,a<x<b,/(x)=jb-a0,其他(2-22)则称X在区间a'切±三J均匀分布，记作*Uafb.X的分布函数为0>x<af-、X-a,F(X)=,ax<b,b-a1,x'',b'(2-23)X的概率密度和分布函数的图形如图2-6所示.图2-6均匀分布的概率密度和分布函数如果X"S，勿，那么对于满足acdb的任意实数c,d,都有rd1dCPc麴JXJ=f=jtb-ab-a(2-24)此时表明随机变量X落在区间a'b的任一子区间lCfd内的概率，只依赖于子区间C'町的长度，且与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，这说明X落在'3内任意等长的子区间内的概率是相等的，所以均匀分布也称为等概率分布.(例子详见教材)2 .指数分布定义3如果连续型随机变量X的概率密度为fM =cx , x>0,0, X” 0.(2-25 )其中，丸>°为常数，则称X月纵参数为2的指数分布，记作£(2).X的分布函数为尸(X) =-ex , x.0,0,x<0.(2-26 )X的概率密度和分布函数的图形如图2-7所示.图2-7指数分布的密度函数和分布函数指数分布通常用作各种“寿命"分布，如无线电元件的寿命、动物的寿命等；另外，电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可认为服从指数分布，因此它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用.(例子详见教材)3 .正态分布(1)正态分布定义5如果连续型随机变量X的概率密度为f(x)=-=e2'(-oo<x<+co)2(2-28 )其中，b(b>O)为常数，则称X服从参数为的正态分布或高斯(Gauss)分布，记作XN(gS).的分布函数为2Jy(2-29 )正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布，一方面它是自然界中十分常见的一种分布，例如测量的误差、人的身高和体重、农作物的产量、产品的尺寸和质量以及炮弹落地点等都可以服从正态分布.另一方面，正态分布又具有许多良好的性质，可用它作为一些其他不易处理的分布的近似，因此在理论和工程技术等领域，正态分布都有着不可替代的重要意义.X的概率密度和分布函数的图形如图2-8所示.(a)(b)图2-8正态分布的密度函数和分布函数从图2-9可以看到，正态分布的概率密度A©的图形呈钟形，”中间大，两头小".从而得出有以 下的性质：(a)(b)图2-9正态分布的概率密度f(X)性质1"幻的图形关于"对称.性质2/(X)在X="处达到最大，最大值为后.性质3A幻在x="±b处有拐点.性质4X离越远，x值越小，当X趋向无穷大时，/(幻趋于0,即/(”)以X轴为渐近线.性质5当固定，°愈大，则/“)最大值愈小，即曲线愈平坦；愈小，则,(幻最大值愈大，即曲线愈尖.性质6当0固定而改变"时，就是将/“)图形沿X轴平移.(2)标准正态分布，则称X服从标准正态分布，记作X N(°，1),它的概(2-30)(2-31 )定义6设XN(，/)如果=Ow=I率密度函数与分布函数分别为1-(4=-j=e22(-co<X<+8)(x)=-=e2dr(-<x<+)它们的图形如图2-10所示.图2-10标准正态分布的密度函数和分布函数只要令b(称为标准化)，就可把正态随机变量的分布函数式(2-29)化为用标准正态随机变量的尸(X)=Jf于e号ds=(分布函数表示的形式，即而rI0书后附表给出了X°时标准正态分布的分布函数(制的函数值，以便查阅.例如(1.OO)=O.84I3,(l.96)=0.9750在附表中，只对工°给出")的函数值.事实上，标准正态随机变量的概率密度函数以刈是偶函数，所以当X<0时，由标准正态分布的概率密度叭X)图形的对称性易知(-x)=l-(x)(2.32)据此可得(-1.00)=l-(l)=1-0.8413=0.1587*()O Ua图 2-11(-1.96)=1-(1.96)=1-0.9750=0.0250(例子详见定义7设XN(O,1),对于给定的°<<l,存在满足PX>ua=(x)6x=aJ%9即ua)=-PX>ua=-at则称为X关于的上侧分位点，如图2-11所示.定义8设XN(O,1),对于给定的°<vl,存在满足P×>ual2a,贝U称±%，2为X关于的双侧分位点，如图2-12所示.(例题详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题1 .已知XN(O,1),求尸(1<X<2).2 .已知XN(O,1),求P(XvT).3 .已知XN(1,22),求P(0<X<2)和P(X>1).4 .已知XN(4,<2),求尸(一bVX<+b).【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点连续型随机变量及其概率密度几种常见的连续型随机变量的分布【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完成教材中的习题2.3；(2)登录APP期他学习平的看相岩口识雌。【学生】完成课后任务教学反思