《概率论与数理统计》教案第17课协方差与相关系数.docx
课题协方差与相关系数课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解协方差和相关系数的概念(2)能够根据协方差和相关系数的性质和关系进行简单计算(3)能够判断相互独立和相互不相关的区别素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重难点教学重点：协方差和相关系数的概念教学难点：掌握根据协方差和相关系数的性质和关系进行简单计算教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任努【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解协方差与相关系数的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是协方差？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识，浴解协方差与相关系数的相关知识【教师】介绍协方差与相关系数的作用对二维随机变量(X'丫)而言，X和Y的期望与方差仅仅描述了X和Y自身的某些特征，而关于X与Y之间的相互关系并未提供暂可信息.为此，我们需要引入一个数字特征，它可以反映两个随机变量间的联系，这就是协方差与相关系数.由前面讨论知道，两个随机变量是否相互独立，反映了两个随机变量间的某种联系.但在有些实际问题中，两个随机变量并不满足相互独立的要求.由期望的性质可知，随机变量X与Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y).经推导易得，该式与下式等价：E(X-E(X)XY-E(Y)=09即X与Y相互独立时，E(x-E(x)(y-E(y)二°成立，反之不然.也就是说，X与Y满足E(X-E(X)XY-E(Y)=0,X与Y不一定是相互独立的.这表明，X与Y之间还存在着另一种关系，这种关系是用两个随机变量是否相关的概念来描述的.一、协方差的定义与性质【教师】提出协方差的定义定义I设(X'丫)为二维随机变量，若瓦(XE(X)(丫-E(Y)存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为8V(XJ),即cov(XfY)=E(X-E(X)(Y-E(Y)(4.18)协方差是两个随机变量函数的数学期望.因此，当已知(X'y)的分布时，可由式(4-18)计算协方差.此外，计算协方差还有另一个常用公式：Cov(XfY)=E(XY)-E(X)E(Y)(4.19)协方差具有下述一些性质它们可利用期望与方差的性质推出，请读者自己完成.【教师】介绍协方差的性质ICOV(X,X)=D(X).颗2cov(X,0=0(C为常数)；随3COV(X,Y)=cov(K,X).4CMaX>bY)=CibCQv(XfY).58v(X+y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z).演6D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)【教师】通过例题，介绍利用协方差的定义和性质求解的方法例】设二维离散型随机变量(X，K)的联合分布律如表4-11所示.表411X-10100.070.180.1510.080320.20,bcov(X2+3,r2-5)(解析详见教材)二、相关系数【教师】提出相关系数的定义和定理定义2设随机变量X,Y的数学期望和方差都存在，则称cov(x,r)PXY=gx74b(Y)(4.20)为随机变量X与Y的相关系数，简记为p或者PXY.定理1设6为随机变量X与Y的相关系数，则(1)IPL1；(2)=1的充要条件是P"="十份=1(a,b为常数，且°).*x-E(x)*yE(y)证令wo师，则E(X)=E（三）=0O()=D(r*)=1f/COV(X*,Yt)=PXY!D(X4±r4)=D(X4)+ZXr*)±2cov(X*,r*)=2±2pxy=2(l±pxy).0f所以1别2Xy1即IPI,1仆P(Y=aX+b)=P(Y-aX-b=O)=l<=>EY-aX-b)=OD(Y-aX-b)=OBn)I,即E(Y-aX-b)2=0化简得O=E(Y-aX-b)2=E(Y2)+a2E(X2)+b2-2aE(XY)-2bE(Y)+2abE(X)=D(Y)+E(Y)f+Ci2D(X)+a2E(X)f+b2-2CoV(X,Y)-2aE(X)E(Y)-2bE(Y)+2abE(X)=D(Y)+a2D(X)+E(Y)-aE(X)-b-2acov(XtY)=D(y)icov(x,y)-+z)()"-yov(2,y)+出(丫)_(*)川21 Q(X)Q(Y)LO(X)J->2=O(Y)(1-晶)+O(X)+E(Y)-aE(X)-b2因为1"XyI”1,所以上式右端三项均为非负的，故1一扇二°,从而隆Xy=1.相关系数是两随机变量间线性关系强弱的一种度量.定理1表明，当I夕Ul时，随机变量X与丫之间以概率I存在着线性关系.并且容易验证，当°二1时为正线性相关(即4>°),当P=-I时为负线性相关(即<°);当3"I时，越小，X与丫的线性相关程度就越弱；直至当夕二°时，X与丫之间就不存在线性关系了.定义3设随机变量X与丫的相关系数为P,若P="则称随机变量X与丫不相关.定理2对二维随机变量(X，r),下述命题等价：(i)p=°；(2)COV(X,y)=o.(3)E(XY)=E(X)E(Y).(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)定理3设(X'丫)为二维随机变量，若随机变量X与丫相互独立，则X与丫不相关.反之不然.证略.【教师】通过例题，介绍利用相关系数定义和定理求解的方法例2设随机变量0U('兀)，记X=Sine,y=cos8,由于E(X)=-JxSinrdr=Ot£(/)=osrd=0fE(XY)=fSinfcosrdr=02J9所以E(Xy)=E(X)E(Y)即X与Y不相关，但是2+y2=Si/，+8S?夕=1,说明X与Y之间虽然不存在线性关系，却存在着其他形式的函数关系，从而X与Y不相互独立(关于X与Y不相互独立的证明请读者自己完成).这里还需特别指出的是，二维正态分布(M，蟾，夕)是一个例外.对二维正态变量(X，丫)，X与Y相互独立的充要条件是夕二°而夕正是X与Y的相关系数，故X与Y不相关的充要条件也是p=°.这样，对服从二维正态分布的随机变量(X'丫)而言，不相关与独立性是一致的.此外，二维正态分布还有一个重要性质：设(X，“2)服从二维正态分布，X与X均是X与的线性函数，贝U(XX)也服从二维正态分布.这个性质称为正态变量的线性变换不变性.例3设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(°,02).记U=丫，V=(a,b为常数).问：a,b取何值时，U与V不相关？(解析详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目,组织学生以小组为单位进行解题求连续随机变量的协方差乙、fx+y0xy0elseUO【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点协方差的底与唾相关系数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完成教材中的习题率3和总习题四；(2)登录APP频他学习平台查看相关知雌。【学生】完成课后任务教学反思
