《概率论与数理统计》教案第11课二维随机变量及其分布.docx

课题二维随机变量及其分布课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)了解多维随机变量的概念(2)理解二维随机变量分布函数的概念和性质(3)掌握二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的概念及应用素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重难点教学重点：多维随机变量的概念，二维随机变量分布函数的概念和性质，二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的概念教学难点：二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的应用教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解二维随机变量及其分布的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是多维随机变量？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二维随机变量及其分布的相关知识在第二章中，主要讨论了用一个随机变量所描述的随机现象，即一维随机变量及其分布问题.但是在实际问题中，有许多随机试验的结果，仅用一个随机变量来是无法表示出来的.例如，某人向平面靶射击，弹看点的确切位置就涉及两个随机变量：弹着点离靶心的水平和垂直方向上的有向距离X和Y;飞机在空中飞行时的位置，是一个三维空间中的点，需要用三个随机变量X1Y1Z来确定等.对于这些随机试验的研究，就需要引入二维或者多维随机变量的概念.本章将主要讨论二维随机变量及其分布，然后再推广到N随机变量的情况.一、二维随机变量的概念【教师】提出二维随机变量的概念定义1设C=g是随机试验E的样本空间.若对于任意的。,都有确定的两个实数X)和Y()与之对应，则称有序二元总体（X3）J（M）为一个二维随机变量（或称为二维随机向量），简记为（X，丫）；并称X和P是二维随机变量（X,丫）的两个分量.实际上，对于试验的每一个结果，二维随机变量（X,丫）的取得可以看成是平面点集上的一个点S,y）.随着试验结果不同，二维随机变量（X，丫）在平面点集上随机取点.为了更全面地描述二维随机变量取值的规律,我们也定义了二维随机变量的分布函数.二、联合分布函数【教师】提出联合分布函数的定义和性质定义2设（X,丫）是一个二维随机变量，对任意的汇，y,称定义在整个实平面上的二元函数F(ty) = P(XlfY y)(3-1)为二维随机变量（X,丫）的联合分布函数，简称分布函数.其中，（XMX,Yy）表示事件X,X与事件九，川的乘积.二维随机变量（X，Y）的联合分布函数是一个定义在平面点集上的二元实函数，在概率上，表示为对任意的X,y,两事件X”刈与Y,y同时发生的概率;在几何上，表示为二维随机点（X，Y）落在平面点集中坐标点（X，y）左下方的无穷矩形区域内的概率，如图3-1所示，故亦可表示为F(x,y)=P(x,y)Gtv).这时，点（X,y）落入任T形区域G=（x,y）U<X麴尾，,VY%（见图3-2）的概率，即可由概率的加法性质求得：P(x1<xlx2,yl<yy2)=F(x2,y2)-F(xl,2)-(x2,y1)÷F(xl,jl).(3-2)b,图3-2图3-1由此可见，只要知道了（X,Y）的联合分布函数，那么（X,Y）取值与任一区域G内的概率即可求得.这也说明联合分布函数完全刻画出了二维随机变量的概率分布规律.与一维随机变量分布函数的性质类I以，不难推得，联合分布函数F（X,y）具有以下性质：性质1尸（X,y）分别是变量X和变量y的单调不减函数.性质2F(x,y)非负有界,即OgJ(xty)1.性质3对于任意固定X,F(,-oo)=limF(x,y)=0;y-<x>对于任意固定y,FS,y)=IimF(fy)=0;x-且尸(-oo,-co)=0,F(+oo,+oo)=l.性质4F(x,y)分别是变量X和变量y右连续，即F(x+0,j)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,j).综上所述，二维随机变量的分布函数尸(x,)，)具有上面性质1至性质4;反之，具有上面性质1至性质4的二元函数F(x,)，)也必定是某个二维随机变量的分布函数.下面，分别对离散型和连续型两种二维随机变量进行讨论.三、二维离散型随机变量【教师】介绍二维离散型随机变量的概念及应用定义3设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(菁，力)(i,J=1,2,3,),且(X,丫)取各个可能值的概率为P(X=Xj,=y)=Pu(i,j=l,2,),(3-3)或者如表3-1所示.表3-1则称(X，Y)为二维离散型随机变量，式(3-3)为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列或联合分布律，简称分布列或者分布律.易见，联合分布列具有以下基本性质：（1） p,Oa,j=1,2,3,-);（2） ZZPij=1由二维离散型随机变量（X,丫）的联合分布列，可求得（X,丫）的联合分布函数为F（X,y）=EZ%,Xl绿,y其中和式是对满足Xi”A-且yjy的那些（ZJ）求和.例1一个袋中装有5个球，其中2个红球,3个白球.每次从中不放回地随机抽取1个，连续抽取两次.定义随机变量X和P如下：V（1,第一次抽到红球，0。，第二次取到红球，0,第一次抽到白球，0,第二次取到白球.求：（1）（X,丫）的联合分布列；（2）P（X,Y）.（解析详见教材）四、二维连续型随机变量【教师】介绍二维连续型随机变星的概念、性质及应用与一维连续型随机变量相似,对于二维连续型随机变量（X，Y）,引入联合概率密度来描述其概率分布规律.定义4设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F（X,y）,如果存在非负函数f（x,y）使得对于任意的实数X,y,都有F（X，y）=f/（，v）ddv,（3-4）"J-OoJ-OO则称（X，丫）为连续型随机变量，其中/（X，y）称为（X，Y）的联合概率密度函数，简称为联合概率密度或联合分布密度.根据定义，联合概率密度/（，y）具有如下性质：命1/（x,y）.0;性质2f（xfy）dxdy=;性质3对于任意（N，x）,（电，），且西9，凹%，贝1）（x，y）落在矩形区域（西，&；乂，必】内的概率为P(x1<X三Jx2,y1<Ky2)=*'2/(w,v)dwdv.(3-5)更一般地，设G为一平面区域，贝(J(X,Y)落在G内的概率为P(X,nG)=(x,y)ddy.(3-6)G性质4二维连续型随机变量的联合分布函数F(x,>)在整个平面上是连续的，特别在f(x,y)的连续点处有在几何上，z=，y)表示空间中的一张曲面，称为分布密度曲面.性质1表示分布密度曲面总位于Oxy平面上方；性质2表示介于分布密度曲面和平面之间的空间区域的全部体积等于1;性质3表示(X,Y)落在平面内任意区域G上的概率等于以G为底，以曲面z=(x,y)为顶的曲顶柱的体积.例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度Ce'(x+y>,x>Oty>Qt0,其他.试求：(1)常数G(2)(x,y)的联合分布函数；(3)(X,y)落在区域G=(x,y)x厘O,y22#内的概率.(解析详见教材)定义5设G是平面上的有界区域.若二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为1z、尸,(X,y)G>f(x»y)=¾(3-8).0,其他，其中，Sg=Idxdy是区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布.此时，(X,丫)G只可能在区域G内取值，并且(X,V)取G内任何子区域的概率与该子区域的面积成正比，而与该子区域的具体位置无关.可见，二维均匀分布描述的就是第一章所讲的二维几何概率.例3设二维随机变量(X,y)在区域G=(,y)O领k3,OiOy2上月龈均匀分布,求(X,丫)的分布函数.(解析详见教材)定义6若二维随机变量(X，丫)的联合概率密度为f(x,y)=e2(,2,'-ITG册，212l-p2其中，4，4，5>0,2>0,I2|<1是5个参数(这些参数的实际意义，将在第四章中讨论)，则称(X,Y)服从二维正态分布，并记为(X,Y)N(m,f,一，p).二维正态分布的瞬密度函数z=f(fy)的几何图形是一张以(从，必)为极大值点的单峰钟形曲面，如图34所示.W0,Fl5；：".f31”【学生】聆听、思考、理解、记忆图3-4拓展训练【教师】给出即目，组织学生以小组为单位进行解题设一维随机变量(X.丫)的分布函数为：A'(x,j,)-÷*uctanyy+*irclanyj.试求：(D(X,y)的概率密度/(x,y):(2) (X.Y)的两个边缘概率密度：(3) P(O<X<2,O<r<l).【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二维随机变量的概念联合分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完睇材中的习题3-1；(2)登录APP或其他学习平台查看相关知识镯第【学生】完成课后任务教学反思