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课题高阶偏导数与全微分课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解全微分的概念,计算多元函数的全微分(2)计算高阶偏导数，掌握全微分在近似方面的应用素质目标：(1)解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考(2)了解和认识事物的全面,要多方面考虑教学重睚点教学重点：计算高阶偏导数，理解全微分的概念，计算多元函数的全微分教学难点：计算高阶偏导数，计算多元函数的全微分，全微分在近似方面的应用教学方法讲解费、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，预习本节课的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：什么是高阶偏导数？什么是全微分？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解高阶偏导数和全微分的概念从上一节可以看到，一个多元函数经过求偏导数之后，仍然是原来那些自变量的函数，只要有关偏导数存在，就可以对偏导数继续求偏导数.一、高阶偏导数【教师】提出高阶偏导数的定义定义1如果二元函数z=f(x,y)的偏导数,当仍然可导那么它们的偏导数称为函数Z=f(fy)oxy的二阶偏导数.按照对自变量求导数次序不同，二元函数有下列四个二阶偏导数.z2ZW,、,、M(M)=TT=ZXV(X，y)=w(x,y)，OXOXOX身=胃=Z鼠”'¥)=(”'y)，yyy”枭当=急=ZKX,y)=Zy)，yoxoxy1管：(3)oxyyox其中，工；心，y）和G（1，y）称为混合偏导数它们是不同的，G（,），）是先对X后对y求偏导，G.*，y）是先对y后对X求偏导.三阶及三阶以上偏导数可类似定义，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.【教师】通过例题，帮助学生掌握高阶偏导数的求法例1求函数Z=>-3x2的二阶偏导数.解先求函数的一阶偏导数告=3y-6盯3,OXz 办= -9x2y2 .再求二阶偏导数=6xy-6yi，÷=-18x2y，2zxy= 3x2-182zyx= 3x2-18【教师】对例题进行总结从例1看出，Z=Yy-3y3的两个混合偏导数是相等的，即夫.一般来说，这样两个二阶OXdyyx混合偏导数是有区别的，但我们可以证明（从略），当与一都连续时，求导的结果与先后次序无关，Oxdyoyxna2za2z即=.xyyx对于二元以上的函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在连续的条件下也与求导次序无关.二、全微分在实际问题中，有时需要研究多元函数各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即全增量问题.【教师】通过引例，弓I出全微分的定义【引例1如图8-3所示，用S表示边长分别为X,y的矩形的面积，显然S二孙，如果边长X与y分别取得改变量AV,则面积S相应地有一个改变量5=(x+)(y+y)-xy=yx+xy+ry.从上式可看出5由两部分组成.第TlJ分)2+必是，)'的线性伊数；即图8,中带有单条斜线的两个矩形面积的和；第二部分加)，当以°,y°时，是比0=4以)2+()')一较高阶的无穷小量当M,IM很小时，有5"心+的.我们把心÷的叫作面积s的微分.定义2设函数z=(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在该点的增量z=f(x+r,)，+)，)-f(x,y)可表示为z=Ar+6Ay+。(夕).其中，/,8与x,Ay无关，p=J(Ar)2+(»,o(p)是比p高阶的无穷小，则称AAr+6型为函数z=/(x,y)在点(X,y)处的全微分，记作dz,即d2=Ax+Bf.也称函数Z=(x,y)在点(X,y)处可微.对二元函数，可以证明如果函数z=(x,y)在点3,y)的某一邻域内有连续的偏导数(x,y),AX,y),则函数z=f(fy)在点*，y)处可微，并且dz=r'(x,y)x+g(x,y)Ay.由于dx=x,dy=y.所以函数Z=(x,y)的全微分可记作dz=£(x,y)dx+/；(x,y)dy.三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式，如三元函数=/。，y，z)的全微分存在，则xyz【教师】通过例题，帮助学生掌握全微分的求法和应用例2求函数Z=V+冷,2的全微分选2证、解=2x+y,=Ixy.xy两个偏导数都是连续的，所以全微分是存在的，即dz=(2x+y2)dv+2xyly.例3求Z=求Sin(X+y)的全微分.解因为花=eAsin(x+y)÷eACOS(X÷y),zx=eCoS(X+y),所以dz=ersin(x+y)+cos(x+y)dx+erCoS(X+y)dy.例4求函数z=x2y在点(1,2)处的全微分.fi58*Sza2Szz解因为k=2jy,=x；=4,=1.oxyxXTyX=><=2y=2所以dz=4dx+dy.例5要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高为4米，厚度均为0.01米，求需用材料多少立方米？解因为圆柱体体积V=z(其中，为底面半径，力为高),所以dV=2rhr+r2?.由于r=2,=4,r=?=0.01,VdV=2×2×4×0.01+×22×0.010.628.所以，需用材料约为0.628立方米.【学生】聆听、思考、理解、记忆强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题(1)证明当x,IyI很小时，e+y+x+y.(2)求函数=Xe尸+e-'+y的全微分.【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解翘技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点计算高阶偏导数，理解全微分的概念，计算多元函数的全微分，掌握全微分的应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练8-2的习题【学生】完成课后任务教学反思
