正方形的判定和性质.docx
正方形的性质和判定一、根底知识（一）正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质1 .正方形四个角都是90°,四条边相等；2 .正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。（三）正方形的判定1 .一组邻边相等的矩形是正方形；2 .有一个角是直角的菱形是正方形：3 .对角线互相垂直的矩形是正方形；4 .对角线相等的菱形是正方形。二、例题讲解考点一：正方形的性质例1：（2011天津，5,3分）如图，将正方形纸片ABCo折叠，使边AB、CB均落在对角线BO上，得折痕BE、BF,那么NJEB尸的大小为（）练习1:例4.如图：正方形ABCD,AE+CF=EF,求证：NEDF=45。DC直角胸中，AC=BC,、£,为底边加的三等分点，过和夕作/切的垂线，分正BC于F.求证：四边形渤；为正方形.18。为等边三角形，且AB=2,四边形OErG为正方形，且。、G分别在18、力。上，三方形龙产G的面积.A考点二：正方形中常见的全等例1:如图，在正方形力空9中，点G为回上任意一点，连接NG,过反两点分别作应J_4G,DF工AG,垂足分别为其F两点.求证：RADFaXBAE.练习1：如图：在正方形ABCD中，CF=CE,求证：BGVDF练习2：如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD±,且BE=CF。求证：叫EMGNBF。例2：正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，CE和DF相交于M求证：J练习1：,如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，为EF的中点.AL求证：（1）CE=CF;（2）DG垂直平分AC.例3：在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F,交CD于H,G为FH的中点。求证：EClGCo考点二：正方形与其他图形的结合例L如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA,延长BE交边Ad于点F.(1)求证：ZADEg4BCE;(2)求NAFB的度数.例2：(2011玉林，25,10分)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.(1)求证：EB=GD;(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；假设AB=2,AG=,求EB的长.练习1:如图：四边形ABCD和AEFG都是正方形，求证：DG=BEEbg证:考二的中线，四边形AB。石、均为正方形.求证：AM = -EG.2求证：BG=DE BGLDE 交.AD于M.例3：如图，锐角AABC中，以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG连接CE、BG,交点为0,求,G是CD上一点，以CG为边做正方形GFEC,Q中，尸为延长线上一点，CE工AF于E,例1号如图正方形AB与中，E为AD边上的中点，过A作AF_LBE,交CD边于F,M是AD边上一点，且有点F是CD边的中点;ZMBC=2ZBE.Emd求证:求证:练习1：AFCBBM=DM+CD.：如图，正方形4¾力中，时是中点，E是CD上一点、,且/84石=2NID求证：AE=BC+CE.例2：如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且NDAF=NEAF。求证：AEE+EjFq练习1:如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分NBAC。求证：AB+BE=AC°练习2：在正方形ABCD中，E是BC上一点，过点E作AE的垂线，分别交CD、AB惮求证：BE=BG+CFo考点四：正方形里的旋转例1:(2011襄阳，25,10分)如图，点P是正方形ABC。边AB上一点(不与点A,8重合)，连接PD并将线段PQ绕点P顺时针方向旋转90。得到线段PE,PE交边BC于点、F,连接BE,DF.(1)求证：NADP=EPB;(2)求NCBE的度数；练习1：正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC的中点，EN±N,ZDCF的平分线交NE于点Eo求证：AN=NEo例2：,如图，P是正方形ABCD内任一点将ABP绕点、B顺时针方向施转90。至BCP',假设PB=3cm,求P"的长。黛和：在IF方形IBC1中有一点P,PA=2,PB=4,角APB=I35度，求PC的长。例ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，假设有AE+CF=EF,求：NEDF的度数。练习L如图，正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各有一点P,Q,如果三角形APQ的周长为2,求NPCQ练习2：如图1在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F,过点F作FGj_AE交BC于点G1、求证AF=FG2、连接EG,当BG=3,DE=2时，求EG的长课后练习：1、以下说法是否正确，并说明理由.对角线相等的菱形是正方形；（）对角线互相垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四个角相等的四边形是正方形.（）2、（2009年郴州市）如图9,£是正方形4阅9对角线独上的一点，求证：AE=CE.3、：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，求证：E±AF.A'r/的延长线交CM于点G。求证：6、：如图2,在正方形ABCD中EF于M.求证：ME=MF.7、在正方形中，O对角线AB、求EF的长。(1)DN=CM;(2)DG±CMoL11,E、F分别在AD、DC上，且DE=DF,BM±FBCBD的交点，过0作。EJ_。/，交AB、BC于E、F,假设AE=4,CF=3,AD4、如图，点E是正方形ABCD对角线上一点，且AE=AB,EF_LAC交BC于F。/求证：BF=ECo/E5、正方形ABCD的对角线交于点0,点M、N在OB、OC上，且MNBC,DN/BFC
