柯西不等式的应用技巧.docx
柯西不等式的应用技巧324100浙江省江山中学杨作义普通高中课程标准实验教科书数学选修45不等式选讲安排了“柯西不等式”的内容，它是我省高考的选考内容之一.柯西不等式的一般形式是：设。也力2R,那么当且仅当幺=&=&或4="="=0时等号成立.U瓦bn其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大.应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强.本文对此略作探讨，供大家参考.一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：%,%-%和瓦力2b”,便是应用柯西不等式的一个主要技巧.例1x,y,zR,且x-2y+2z=5,求(x+5)2+(y-iy+(z+3)2的最小值.分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式取等号的条件.题中要求最小值的式子是三局部的平方和，假设能配凑上另外三个数的平方和，并使对应项的乘积是常数，问题便迎刃而解.解：对照柯西不等式,两组数可取为x+5,yl,z+3;l,2,2.利用柯西不等式有等号当且仅当x-2y+2z=5,且二=)匚=,即3=一3,丁=一3"=1时成立.122所以+5)2+(y-lf+(z+3)2的最小值为36.评注：运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了，找出适当的两组数是解此类题的关键.面今办D卡工2x+y-z22例2设x,y,zR,求证：.2x2+2+z22分析:对照柯西不等式的原型，构造两组数为：x,Jy,z;2,志,-1.证明: + z'+ (-I)2 (2x+y-z)所以,原不等式成立.二、巧拆懵数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧.例3设4、匕、C为正数且各不相等，a+bb+cc-aa+b+c分析：.、b、C均为正为证结论正确，只需证：2(+b+c)-!+!+!>9,为此，我们利用9与2这两a+bb+cc+a个常数进行巧拆,9=(1+1+1)2,2(+Hc)=3+6)+(b+c)+(c+a)这样就给我们运用柯西不等式提供了条件.证明：2(。+人+。)(一!一+一+!)a+bb+cc+又a、b、C各不相等，故等号不能成立原不等式成立.评注,对要证的不等式做适当的变形，巧拆常数是解答此题的关键.三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补(或加或乘)上常数项或和为常数的项等，也是运用柯西不等式的解题技巧.例4设非负实数,。2满足+a2+art=1,求一÷ 1+%+ + % l + l +a3÷,奥林匹克试题)a、1 + (a. + a.+4的最小值.(1982年西德数学1 +a1+a2+a,-12:+1=:=-二i+a2+an2-l2-a1同理可得4+1=，3+1二一1+%+Uy÷+OCn2ct21+%+,一+%_12(Xnl + a2 + + n%1 + a1 + 2 ÷ + an_x为了利用柯西不等式，注意到.(2-1)(i-+!+)2%2ctf2cin=(2-1)+(2-7)+(2-)(+J+J-)2 -2-a22-aw1n等号当且仅当为=。2=%=一时成立，从而y有最小值n2n-评注：运用柯西不等式求极值，要注意验证等号能否成立.有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能到达目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否那么就会出现错误.例5设X,X2,，x“WR+,求证：2222五+±-+&匚+土X+X,+-+(1984年全国高中数学联赛题)WXn玉分析：为证原不等式成立，只需证/2222、-FHIfX9÷Xj÷÷X÷X1)fX÷X,÷+Xn),即在原不等式的左端lx2&×x)乘以因式(冗2+.+X+玉)，右端乘以因式(/+/+%”)，添上了这个因式，就可以应用柯西不等式了.证明：由柯西不等式，得于是步-+土+±+N-X+I2+%8X”M评注：合理地添项，巧妙地添项，使得运用柯西不等式成为可能.四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可到达运用柯西不等式的目的.例6、b为非负数，a+b=txl,x2R+求证：（ar+bx2XbXl+ax2）xx2分析：不等号左边为两个二项式的积，因为,bR一,芭,工2wR-，所以每个二项式可以使用柯西不等式，但直接做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：(x1+bx2)(bxi+ax2)(*：a+b=)评注：根据需要重新安排各个量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的效果.这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧.例7设g>。2>>%+,求证：分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，不妨改为证：证明：为了运用柯西不等式，我们将卬田写成一勺+1=(。|-%)+(%一。3)+(%勺+J于是ln+ /即(qan+)!+-+14一生生一。3卬一生。2一3an-an+。向一对于许多不等式问题，用柯西不等式解往往是简明的.正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点,就能更灵活地应用于它.本文发表于中学教研2009年第1期
