浅谈伯努利方程的几种解法与应用.docx

本科毕业论文题目：浅谈伯努利方程的几种解法与应用学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2011级专升本班姓名：张丽传指导教师：王通职称:副教授完成日期：2013年5月25日浅谈伯努利方程的几种解法与应用摘要：本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.首先,将各种解法进行分析归类，并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法；其次,比拟各种解法的优缺点；再次,利用一题多解来稳固文中所介绍的各种解法;最后，略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用.关键词：伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法目录引言11伯努利方程的解法11. 1代换法11.1. I变量代换法、常数变易法的混合运用11.1.2函数代换法21.1.3求导法31.1.4恰当导数法31.2 直接常数变易法41 .2.1对半+P()y=O的通解中C的常数进行常数变易4ax-2 .2.2对”=Qa)，"通解中的常数C进行常数变易4ax1.3 积分因子法51.4 各种方法的比拟61.5 解法举例62伯努利方程在里卡蒂方程中的应用103总结11参考文献12引言在高等数学数学分析科学体系中，微分方程是其中非常重要的一个组成局部，而伯努利方程又是一类很重要的一阶非线性常微分方程,在很多学科中都有广泛的应用,尤其是在物理和化工方面应用非常广.伯努利方程的表达式：y"P(X)y=Q()y"f这里P(X)、。)是关于的连续函数，为不等于。和1的任意常数.一般地,该方程可以通过一些特殊的方法转化为线性微分方程,进而用解线性微分方程的方法来求解.许多学者在探求伯努利方程解法这方面做出了卓著的奉献,本文在充分分析这些奉献的根底上,根据各种解法的特点,将它们进行了归类总结,有利于我们对各种解法进行深刻的理解和认识.在数学学习过程中，一题多解不仅能帮助学生很好地掌握所学知识,而且还能扩散学生的思维,进而培养学生的创新精神、提高创新能力,这正符合新课标对学生的要求.为了更进一步地掌握各种解法,在本文中我采用了一题多解,上下比照,一目了然.同时,探讨了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的应用.本文主要有两大板块构成,具体如下：首先,是伯努利方程的解法及举例，主要浅谈了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法三种方法;其次,是伯努利方程的应用，主要浅谈了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的应用.1伯努利方程的解法1.1代换法变量代换法、常数变易法的混合运用伯努利方程+P(x)y=Qxyn(h0,1).(1.0)dx求解步骤如下(I)(LO)式两端同除以V得yf*+P(x)yj=Q(x).(*)OX(2)变量代换令z=yj即可将上式化为一阶线性非齐次微分方程dz+(l-n)P(x)z=(l-11)0(x).(1.1)dx(3)常数变易首先,通过对(Ll)式所对应的齐次方程通解中的常数q进行常数变易变为q(x);然后,经过一系列的求解过程求得方程(1.1)式的通解.先求一=5-I)P(X)Z的通解.OX经变量别离后对方程两边一起积分求得一阶线性齐次微分方程的通解z=q.*，(叫(a)再对(a)式中的q进行常数变易变为(x),得(1.1)式的通解,将此通解代入(Ll)式得c1(x)=(1一)JQ(X)J+c2,从而得(Ll)式通解Z=一"Q(XMT始+Cj(4)变量代换令C=a,接下来将z=yj代到上式得(L0)式的通解-ny-"=(1一)J"p","Jq(r)J"J"'"dx+C(C为任意常数).当>0时,方程还有解了=0.函数代换法定理假设y=(x)g(x)是(Lo)式的通解且g(x)=J""",那么(LO)式的通解为y-=(jMTPa)FQaMTP3%r+c.证明对y=(x)g(x)两边求导得y,=fX)g(X)+/()g,()，将上式代入(LO)式得f,()g(X)+f()g,()+P(X»()g()=Q(V"()g"()，整理得)g()+fa)g'a)+pa)ga)=Qa/"a)g”a)(1.2)因为g(x)=ej,所以g'。)+/Q)g(x)=0.将上式代入(1.2)式得j'a)ga)=oa)ra)g”a),整理得Ua)La)=QaM心。"，两边积分得/i0)=(1-)JQ0"j""办+c,那么(Lo)式的通解为严=(1-/1叱岫40。"叱岫办+e(C为任意常数).当>0时,方程还有解y=0.求导法令Z=M(X)y+N(x),那么yj="N狂)M(X)对上式两边求导得z,=Mf(x)yl-n(x)y-ny,+N,(x),即有(l-)M(x)'W/-V(X)-M'(x)yj.代入(*)式得z,+(-n)M(x)P(x)-Mx)y,n-N,(x)-(-n)Q(x)M(x)=0.令(1/2)(x)P(x)-M'(x)=O,N,(x)+(l-n)Q(x)M(x)=O.那么上式变为Z'=0,解得z=ci.解得M(X)=e"")J"",N(X)=(一1)JQ(X)e""公.从而严=*珂3Kj)JQCT*=+G,令c=，那么(Lo)式的通解为1 一广"=(1-)J"J"'"Jq(x/+c(C为任意常数).恰当导数法令U(X)=e当>0时,方程还有解y=0.七，/、C/、-PxdxFln有U(X)=-P(X)eJ,即那么(LO)式变形为户怒ay”匚强=Qa)VIa)长广1 y v(x)v(x)(MyD=OaLaM 怠尸,In上I V(X)J设y=v()z得(InZY=Qa)VI(x)z-,±-=()v(),两边积分解之得Zi=(l-n)J(x)vz,(xXr+c,那么(Lo)式的通解为用=(Ii)JW""Q(x"j叱MN÷c(C为任意常数).当>0时,方程还有解了=0.1.2直接常数变易法对半+P(x)y=0的通解中的常数进行常数变易ax9+P*)y=0的通解为ax-p(x)dxyciei,经常数变易得Z、-i(dxy=ci(x)eJ令上式为(1.0)式的通解,将其代入(LO)式得q(x),即得C：(X)(I-11)P(x)FT”两边同时积分得Cli(X)=(I-)Q(x)el-M)P(x)dvdx-c,那么(Lo)式的通解为yj=(j)产叱公+c(C为任意常数).当>0时,方程还有解y=0.对孚=Qa)y通解中的常数C进行常数变易OX该方法的独特之处是先解方程也=Q(x)y,(1.3)ax再经常数变易求(LO)式的通解.根本步骤为(1)利用变量别离法解式(1.3)得yl't,=O-)JQ(X)公+q(2)经常数变易后(1.0)式的通解为y-=(l-w)l(x)+C1(X).(1.4)(3)同时对(1.4)式两边进行求微分得=Q(X)+包0.(1.5)dxdx阳(幻dx将(1.4)、(1.5)代入(*)式得=(一I)P(X)JQ(x)dx+c1(X)(1.6)(5)仔细观察后发现上式为关于q(X)的一阶线性非齐次方程,那么q(x)=K""J""j(l)P")jQ(x)dre'i""Z+c.(6)将(L6)式代到(1.4)式得y(,-M)=(1-n)Q(x)dx+(1(n-1)P()Q(xXXe""dr+c.(7)由数学分析中常用的分部积分公式dv=uv-JvJm,令=JQ(X心，V=J，那么(1.0)式的通解为(C为任意常数).当>0时,方程还有解了=0.1.3积分因子法对(LO)式两端同乘以厂”，经过一系列的整理得(P(x)yi-Q(xy)dx+-ndy=0,(1.7)从而有空幺M包32 =(I-H)P(X) yxMa,y)=P(%)yf-Q(x)N(x,y)=y-".那么1N(x,y)那么由课本所学知(1.7)式的积分因子为z(1-n)fp(x)dxux)=eJ,将N(X)=JEJPa"乘以(1.7)式得一口"吁Xa=yf-心3助+严尸()心,(1.8)对(1.8)式右边进行凑微分得rnc/、(l-n)P()dr|,(l-M)(P(.t)dr(1一)Q(x)eJdx=dyeJ,两边同时积分得)卜x÷c1=yj"叱*整理得_(-l)P(x)dx、八/(l-)P(x)dxy=eJ(1一)jQ(x)eJdx+c1.令C=一，那么(1.0)式的通解为(11)yj=(1-)JJQ(X)e"""""dx+c(C为任意常数).当>0时,方程还有解y=0.11.4 种方法的比拟由上述讲解可以看出：总的来说讲解了三种方法.所介绍的解法的解题思路是:首先,将伯努利方程(一阶非线性微分方程)化为我们比拟熟悉的一阶线性非齐次方程；其次,通过一阶线性非齐次方程的求解步骤求其通解,然后再将变量回代,求伯努利方程的通解.1.2.1介绍的解法解题思路是把伯努利方程所对应的齐次方程的通解中的常数C变成Ca),将其代到(Lo)式,经过一系列的计算求出Ca),再把Ca)带回去求出伯努利方程的通解；L2.2介绍的解法关键是利用分部积分法将通解简化.1.3介绍的解法关键就是找到积分因子,将伯努利方程进行凑微分,然后再求解.在前面七种解法中，最容易先想到的就是1.1.1和1.2.1所介绍的解法，1.1.1介绍的方法计算过程稍微有点复杂，L2.1介绍的方法那么相对简单一些;L2.2介绍的这种方法虽然简单,但一般由于思维定势我们不容易想到这种方法;而L1.4所介绍的方法计算过程复杂且不易想到.LL2.1.1.3所介绍的这两种方法虽然计算过程稍微简单些但技巧性比拟强.L3所介绍的方法使用比拟巧妙,它的巧妙之处在于将(L0)式化为(1.7)式，其计算过程简洁，方法简单.本人推荐大家使用积分因子法和第一种常数变易法,或者第一种方法.11.5 法举例例1利用上面所介绍的不同方法求y-xy'=y2的通解解现将方程y-呼'y?变为标准型的伯努利方程，即空-上=-E,dxXX那么有Q()=-XX解法一变量代换法、常数变易法的混合运用在两边同除以y2得1dy11IIIy2dxxyx令Z=L那么ydid将4十三=0通解中的常数变易后得.dxXc-f1Z=e,即Z=故原方程的通解Xy=X+C解法二函数代换法令y=()g()为式的通解，由上述讲解知Jldtg(x)=eX=x,/令C=-C1，那么f-i故原方程的通解Xy-X+C解法三求导法J令Z=M(x)yl+N(x)f由上述讲解知fldrM(x)=ei=x,z1H=CXX二+二的通解1.VXX(EeJ*d+c),1z、=(x÷c),X(C为任意常数).-(X)=-eidx+c1.(X)=X+c,(C为任意常数).N(X)=-JLJrdx=-x.从而1_c-N(x)_x+cM(x)故原方程的通解y=L(C为任意常数).解法四恰当导数法a/、-fP(x)<ZrKdr令v()=ej=ex=x由上述讲解知Zl=(x)v(x)d=X-C1Z=X+C故原方程的通解y=_J(C为任意常数).解法五直接常数变易法(一)、对式所对应的齐次方程的通解中的常数进行常数变易得式的通解由也一2=0的通解为dxX-fpCvkhy=cei=cx.经常数变易后那么y=c(x)x为式的通解从而c,(x)=-C2(X)整理得c'(x)-C2(X)即从而C(X) =X +C故原方程的通解(C为任意常数).X+C(二)、先解方程空=-、：，然后经常数变易求式的通解dxX由上述讲解知y(C为任意常数).X+C解法六积分因子法整理得方程(-)dx-Idy=O(2)盯XyW(X,y)='-LN(x,y)=xyXy.6M(x,y)16N(x,y)IIyxy2,dM(x,y)dN(x,y)1yxxy2M(x,y)N(X,y)一xJNa,y)X.式的积分因子为Uw(x)=e*=X.式乘以积分因子得(-l)dr-Jdy=0yy经凑微分得XXcy所以y(C为任意常数).X+C注由以上例题的各种解法的解题过程可以清晰的看出解法二、三、四的解题步骤均很少,但它们的技巧性比拟强,一般我们不容易想到;解法一、五(一)、六我们在学习其它微分方程时有涉略,我们很容易接受;解法五(二)虽然也是常数变易法,但是由于我们之前都是对一阶线性齐次微分方程的通解中的常数进行常数变易，所以不太容易想到这个方法.总之,最好用的是解法五(一)、六,实在想不到就直接用解法一.2伯努利方程在里卡蒂方程中的应用里卡蒂方程孚=Pa)y2+Q()y+R(X),(2.0)ax其中Pa),Q(%),R(X)都是连续函数.当Ra)=O时，(2.o)式是伯努利方程，由前面几种方法均可求得其通解.当Ra)WO时,假设0)式的一个特解为y=y1(%),作变量替换y(x)=z(x)÷y1(x),那么生=兹+生,Jxdxdx代入原方程得=P(X)Z2+2P(x)y,+(x)z+P(x)y12+(x)y,+7?(%).所以y=y*)是原方程的特解.华=Pah+Q()y+R().ax=2P(x)y1+(x)z+P(X)Z2.OX上式是一个关于Z的伯努利方程且=2,那么上式的通解为Zi=(IiM"他JqgMTw""+c,这里6(x)=-2P*)y+0(切，Q(X)=P(X).可求得S-,即1_-2PCtb1+(x)¼fp()J2P(x)i+0(x)kt办+Cy(%)-y()LJ.从而原方程的通解为y(x)=yG)-"""jp)J""QT”+J(C为任意常数).例22(3+y2)=2解整理得空=-)户+马由dxX2式P(X)=-I,Q(%)=0,R(x)=.X原方程的一个特解为1九=一一，X作变量代换y=z()-,X那么有dxdxx"将上式代入得dz(x)_2(x)-x_21dx»2CXX整理得华2=2z()-z2()为伯努利方程,dxX由伯努利通解公式得令C=-3c1,从而又由y=Z(X)-L得原方程的通解为X3r21y=T-(其中。是任意常数).X+cX3总结文中所阐述的解法对一般伯努利方程都适用.在使用变量代换法时可根据实际采用适宜的变量替换.由于变量代换法、常数变易法的混合运用法我们在课本中学习伯努利方程时就已经讲过如何使用常数变易法解一阶线性非齐次方程,从而用变量代换法、常数变易法的混合运用法解伯努利方程也就比拟容易.对于积分因子法,它对伯努利方程来说是一种独特的方法，具有较好的实际应用价值.总之,在求解方程时,可采用简单的解法或你熟练掌握的解法.关于应用方面,本文只是给出了在求解一阶非线性微分方程一一里卡蒂方程中的应用，但在实际生活中，伯努利方程在物理和化工方面都有很广泛的应用，这些都有待于我们进一步去探讨，从而进一步了解伯努利方程在常微分方程这门学科中的重要地位,只有很好地掌握了伯努利方程的各种解法才能很好地解决一些用到伯努利方程的实际问题.参考文献1艾英.伯努利(BernOUlli)方程的几种解法J.焦作大学学报(综合版)，1997,34(3):57-58.2李信明.BernOUUi方程通解的一种简捷求法J.昌潍师专学报,2000,19(2):87.3常季芳,李高.关于伯努利方程的几种新解法J.雁北师范学院学报,2007,23(2):89-91.4王高雄,周之铭,等.常微分方程(第三版)闺.北京:高等教育出版社,2006:45-48.5王克,潘家齐.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2005:27.6胡劲松,郑克龙.用“积分因子法”求解Bernoulli方程J.四川理工学院学报,2005,12(3):86-87.7张玉平.用变量替换求解几类常见的一阶线性微分方程J.企业家天地(理论版)，2010,129(4):199.8王玮.一阶线性微分方程与贝努利方程的解法J.焦作大学学报(综合版)，1994,21(2):39-41.9 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