正交矩阵的性质和应用.docx

摘要(关键词)1Abstract(Keywords)11前言12正交矩阵的性质13正交矩阵的相关命题34正交矩阵的应用54.1 正交矩阵在解析几何上的应用64.2 正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用74.3 正交矩阵在物理学中的应用95后记10参考文献10致谢11关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大局部都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用AbstracttOrthogonalmatrixisakindofspecialmatrixinmathematics.Meanwhile,italsohassomeveryspecialpropertiesanditiswidelyused.Alpresent,therearemanyliteraturesaboutorthogonalmatrix,butmostofthemareaboutthepropertiesoforthogonalmatrix.However,theapplicationoforthogonalmatrixisseldommentioned.Themaintaskofthispaperistoinducethepropertiesoforthogonalmatrixandexploretheapplicationsofitinanalyticgeometry,topology,approximatealgebraandphysicsbyusingthedefinitionoforthogonalmatrixandutilizingthepropertiesofmatrixanddeterminantasthemaintool.Keywords:Orthogonalmatrix;determinant;property;application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学根底及力学领域的一系列应用。2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P上的矩阵，用尸X"表示数域尸上阶方阵的集合，用E表示单位矩阵，用图、A-A*、分别表示矩阵A的行列式、逆矩阵（当A可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.定义2.1阶实矩阵A,假设有AA=E，那么称A为正交矩阵.等价定义1：阶实矩阵A,假设有AAf=Ef那么称A为正交矩阵；等价定义2:阶实矩阵A,假设有Az=A-',那么称A为正交矩阵；等价定义3:阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，那么称4为正交矩阵.性质2.1A为正交矩阵，那么其行列式的值为1或证明：由正交矩阵的定义知，AN=石两边同取行列式，得IAH=I4=1,又由于IAI=MI，那么网'I'即网=±1性质2.2A为正交矩阵，A的任一行（列）乘以-1得到的矩阵仍为正交矩阵.证明：设A=,月血,月），其中片,力,血,凡是A的单位正交向量组.显然片,（-万）,4.,月也是4的单位正交矩阵，那么由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.3A为正交矩阵，A的任两行（列）互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明：设A=伉,4血,0）其中外,力,血,也是A的单位正交向量组.显然月,月,力,£也是A的单位正交矩阵，那么由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4A为正交矩阵，那么A"、A、A*也是正交矩阵.证明：（Al）A"=（八）TA1=（AA）T=£1-I=E.a"为正交矩阵,（W）A=AA,=E.A，为正交矩阵，（人*）7*=（曲L）97=网（必447=同23以7=&.A”为正交矩阵.性质2.5A为正交矩阵,那么An也是正交矩阵.证明：4为正交矩阵，那么4=AT,（A）'=（Ay=（AT）"=（AM）T,由正交矩阵的等价定义2知，A为正交矩阵.性质2.6A、8均为正交矩阵,那么它们的积AB也是正交矩阵.证明：A、8为正交矩阵，A=A-I*=由于（"）'=BW=BMAT=（AB）T,由正交矩阵的等价定义2知，AB为正交矩阵.性质2.7A、B均为正交矩阵,那么Af（A3'）也是正交矩阵.证明：A、B为正交矩阵，A=AIB,=BI由于（A8j="（4）'=8T（A"）'=3T（八）T=（AB尸所以48为正交矩阵.证明同上.性质28A、8均为正交矩阵,那么ATB（ABT）也是正交矩阵.证明：A、B为正交矩阵，Az=-1,Bf=B由于（Ag）'=j=BA=BT（A丁=（4一切广，所以ATB为正交矩阵.Ab证明同上.性质29A、8均为正交矩阵,那么ATBA也是正交矩阵.证明：4、8为正交矩阵，A=ALB'=BT由于（ATBA）=A9（AT）=ATBZ=ATB1（AT/=（a',Ba）1所以A1BA为正交矩阵./0、性质2.10A、8均为正交矩阵,那么也是正交矩阵.iUH）f证明：4、B为正交矩阵，4"lE=H,由于（A°1=（A，°l=fA，0L（0B）（0B,）k0BU（A0Y1rr,t,（AO'-。M所以。M为正父矩阵性质2.11A、8均为正交矩阵,那么七（，rJ也是正交矩阵.证明：A、8为正交矩阵，Az=A-',B'=B-,那么有正(一4A,J2k-AJ2kO2A,aOA,AE)结论二丁）为正交矩阵成立.性质2.12A为正交矩阵，4是A的特征值，那么?也是A的特征值.A证明：人为正交矩阵，有H=A-I那么有|麻一=（花A）'=plEA=plE-A=L4-1A-Al=A-lL4-E=-A-,-E-A2rt=-2A-,-E-A,那么；是A的特征值，那么;也是A的特征值.性质2.13A为正交矩阵,它的特征值为±1,并且属于A的不同特征值的特征向量两两相互正交.证明：设丸为A的特征值，是A的属于特征值/1的特征向量，Az/=%",两边同时取转置得，A=4,所以AAT7=%77%7=石/，因为A为正交矩阵，所以AA=日而力w,那么;l?=l,BP2=+1.另外，设彳是A的属于特征值，的特征向量.由于=Ag=AA=E可得,=(,A!A)=(Arj)=rj)=,所以(1-办),=0,又XW，因此可W=22=1,那么2=0,即与。正交.性质2.14A为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵A必为对角矩阵，且对线上的元素值为±1证明：设A为上三角的正交矩阵，那么Al必为上三角矩阵且A-=4,因此A为对角矩阵.又由于AN=E,那么矩阵A的对角线上的元素为±1.性质2.15A为正交矩阵，那么矩阵A的一切2阶主子式之和与一切相应A阶主子式之和或者相等或互为相反数.性质2.16A为阶正交根底循环矩阵，那么矩阵A的全部特征根为实根，并且是个次单根.rO100、0010证明：设A=为根底循环矩阵可知A的特征多项式为0001J000>f（x）=xE-A=xn,那么它的特征根为玉=COS竺+isin竺4左=1,2,故xzl为nn次单根.3正交矩阵的相关命题命题3.14、B为正交矩阵，如果,E+A3为反对称矩阵，那么A+8也是正交矩2阵，（a+b）1=a,+b,.证明：由于A、B为正交矩阵，那么A=A”,9=8,2E+A'8为反对称矩阵，2那么(A + B)a+B) = (A, + B,A + B)= A,A + A,B + B,A + B'B = E +2)l2)因此A+B为正交矩阵.<(A+),=(A+)=A,+B,.命题3.2A、B为正交矩阵，且IAl=-同，那么A+3不可逆.证明：由于4、8为正交矩阵，那么A,A=E,BB=E,又因为A+=AB,B+AAB=B,+AzB=IA(A+B)B=-A2(A+B)=-A+B,那么A+B=-A+B,得A+B=O,因此A+3不可逆.命题3.3A、3为奇数阶的正交矩阵，且IAI=I卸，那么A-8不可逆.证明：由于4、8为正交矩阵，那么有AA=E,B,B=EfA-B=AB,S-AA,=忸AliBI=W忸-出=忸_H=(TyIA耳，由于A、5为奇数阶,那么口一却=TA-即，即IA-BI=O,因此A-8不可逆.命题3.4A、8为奇数阶的正交矩阵，那么(A+3)(A-B)必不可逆.证明：由于A、8为正交矩阵，那么有A,A=E,B,B=Ei(a-bXa+b)=a-ba+=A,-B,A+B=I(H-&)(A+B)=A,+A,B一B,A-,B=A,B-BZI=(-l)B,A-A,B=(-l)nBfA-B,B+AZ-A,B=(一1)"(4÷B,A町=(一1)"IA+B,-B=(-1),A+-B=(一1)"(A+0(A-8),由于A、8为奇数阶的矩阵，那么"+bXA-8=0,即(A+8)(A8)必不可逆.命题3.5A为正交矩阵，且同=7,那么4+E不可逆，且1为A特征值.证明：因为IH=-1知，|川=-闽，由定理3.2.1知，A+E=0,故A+E不可逆.又A+E=0,故-E-½=(y忸+a=0,所以_1为A特征值.命题3.6A为奇数阶正交矩阵，且IAl=1,那么A-E不可逆，且1为A特征值.证明：因为同=1知，网=|目，由定理3.2.1知，IA-EI=O,故A-E不可逆.又A-E=0,E-=(-l)-E=0,所以1为A特征值.命题3.7A为对称矩阵，B为反对称矩阵，A、8可交换，A-8可逆，那么(A+B),(A-B)S(A+B1A-B),都为正交矩阵.证明：由题意知AB=8A,那么(A+B)(A-3)=A2-A8+84-82=(a-bXa+B),因为A-B可逆，那么A+8也可逆.即(A-(A+B),(A+B)T(A-8)(A+B)T(A-B)(A+),(A-)=(+BA+),(-Bl(A-B)=Ef那么(4+3广(4一3)为正交矩阵.同理可证(A+BXA-5尸也为正交矩阵.命题3.88为反对称矩阵，那么(E+8)(石-5)及(石+欧石-3尸都为正交矩阵,并且其特征值不为-1.证明：E为对称矩阵，B为反对称矩阵，那么由定理3.3知(E+3)T(E-B)及(E+bXE-B都为正交矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，因此3的特征值不是±1.那么IE-BIWo,庐+可=(一1升一E-耳工O,因此£±6可逆，由于(E+3尸(f3)及(E+bXE-3尸都为正交矩阵，令A=(E+3尸(£1一3),那么有E+A=(E-b(E-B)+(E-B)T(E+B)=2E(E-A)T=2(E-A)T,可知E+A可逆,且E+A=(-l),-E-0,因此-1不是A=(E+B)t(E-5)的特征值.同理-1不是(£+以E-8尸的特征值.命题3.9矩阵8=(%)“C=(Cj“，矩阵A为正交矩阵，且C=ATB4,那么，=J=iZ=IJ=Ii=l证明：由于A为正交矩阵，那么A'=A那么CC=A*(ALATAA=A354,知*3与CC相似，那么有它们的迹相等.即"(AZ)=H8,故之Sbij=之Sqj.j=i=lZ=I命题3.10矩阵A为阶正交矩阵，并且A的特征值不为-1,那么一定存在反对称矩阵B、C使得A=(3-E)(E+B)T=(E-CXE+C/证明：由于A的特征值不为-1,那么卜E-N=(-1)"庐+wO,所以E+4可逆.矩阵A为阶正交矩阵，取C=(E+A)T(石一A),由于E±C=E±(E+A)T(E-A)=(E+A)-(E+A)±(E+A)t(E-A)=(E+A)-(E+A)±(E-A),那么可以得至J(e+C)=2(E+A)t和(E-C)=2(E+)-,因此E±C可逆，从而(E-C)(E+CL=2(E+aLa2(E+一丁=2(F÷A)-iA(E+A)=A;下证矩阵。为反正交矩阵：C=(E-A)(E+A)=(E-AfE+Ar),=(E+A',)'-(E+),-C=(f+A),(A-E)=(E+aLA-(E+A尸，那么有C=-C,那么C为反对称矩阵,那么取B=(E+HeA)”,同理可证B为反对称矩阵，且满足A=(8-E)(E+B)4正交矩阵的应用在对正交矩阵的性质有一定的了解之后，下面我们开始讨论正交矩阵在不同领域上的应用问题.4.1正交矩阵在解析几何上的应用在讨论正交矩阵在解析几何上的应用时，我们先从正交矩阵的性质出发，转化到转化到正交变换，进而研究正交矩阵在解析几何上的简单应用.由定义2.11等价定义3知正交矩阵的行列)向量组为标准正交向量组.引入R上的正交变换定义定义4.1阶正交矩阵4,对于X=(X2,xJsR",称R到R”的线性变换九7二爪为内上的正交变换.对于改上的线性变换卜：=.。*!,将r2上的y=xsin夕+ycos夕点映射为心上的点,现将变换H=XC写成矩阵的形式_y|_yJy=xsn+ycos(x(COSe-Sin,-r,trz.,cos一Sinel日一人匚Wmt、.+她日I=由于矩阵A=.是正交矩阵，因此上述变换是Iy)ISineCoSo九)'sineCoSe正交变换.下面我们看一下这个变换在平面直角坐标系下的几何意义，如下图：/(Hy)7(苍丁)、在一个平面直角坐标系向用设点(,y)白靛坐标为(一招),由极坐标变换知X=ICOSey=rsin由 V = XCOSe-ysin。 y, = XSine + ycos 夕f=xcos°ysi11Q=cosqcos。一sinesi11e=rcos(9+e)y'=xsin9+ycos¢>=rsincos+ycos8sie=rsin(e+6)CJ绕坐标原点按逆时针方可知点(My)的极坐标是G,e+e),这说明将向径CJ按逆时针方向旋转角度9,即可得到向径(；J(如下图)因此这个正交变换是平面W上将向径向旋转°角的一个变换.因此同理，如果用PT左乘向量(；J,那么可以表示成将这个向量按照逆时针的方向旋转角度°.正交变换在解析几何里面有重要的性质:定理4.1设A为n阶正交矩阵，和声是R"中的任意向量，那么有(AXP4幻=&，即正交变换保持向量的内积不变性.证明：由于(Ax,Ax2)=(Ax1)(Ax2)=x1AtAx2,而正交矩阵A满足A,A=E,因此f(AapAx2)=Xx2=xl,x2)MHI=M即正交变换保持向量的范数不变.证明：在中令斗=”2,便得2=同2,两边开平方，既得MW=M卜4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用将所有的阶正交矩阵做成的集合记作M(n),在近似代数和拓扑的角度来说，它将构成一拓扑群，我们将进一步证明它也是一个不连通的紧致/M群.首先我们证明M(ZJ)构成拓扑群.在证明.%构成拓扑群之前，我们先介绍一下有关的概念.定义4.2设P是任意集合，。是P的子集构成的子集族，并且满足以下条件：结合P与空集。属于Q；Q中任意个集中的并集属于。；。中任意有穷个集的交集属于。.那么称。是P上的一个拓扑，集合P上定义了拓扑Q,称尸是一个拓扑空间.定义4.3如果P是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的在乘法运算：P×PP求逆运算V：PP.上是连续的映射，那么就称P为拓扑群.根据定义4.3,我们将证明所有的阶正交矩阵做成的集合Ms)构成拓扑群的证明分成三步来实现：首先证明所有的阶正交矩阵做成的集合Ms)构成一个拓扑空间；其次证明所有的阶正交矩阵做成的集合M()构成一群；最后证明所有的"阶正交矩阵做成的集合M构成一个拓扑群.证明：设N表示全部具有实元素的阶矩阵所构成的集合，用A=(%)表示N的一个代表元素.我们把N等同于川维欧氏空间七”可以理解为将4=(J对应成E的点(即4)Q是点集的子集族，那么和空集。都属于。，。中任意一个集合的并集都属于Q,。中有穷个集合的交集也属于Q,可得构成一个拓扑空间.进而N成为一拓扑空间.MS)是所有实元素的阶正交矩，因此是N的子集合，因此由N的拓扑可以引出这个子集的拓扑，从而M构成N的一个子拓扑空间.对于任意的A3,CM("),因为矩阵的乘法满足结合率那么有(AB)CA(BC)存在EnMS)对于任意AM(Zl),有EtlA=AEn=A任意AM,存在AT=A,使得ATA=Az=AXx=AA!=E因此正交矩阵做成的集合M()对于乘法运算可构成群.对于中的拓扑空间N的拓扑，定义矩阵的乘法运算勿：NxNN,设对于任意a=(%)b=(%),乘积(AI)的第炉个元素是g也.，现在N具有乘积空间I=IEX砂XxE(2个因子)的拓扑,现在对于任意满足li,J的L/,都通过投影映射NxNN川,将4和3的乘积O(A,8)映射为它的第(/个元素，那么%°(4,8)=方询屐为A和B的元素的多项式，因此吗夕连续，投影映射,也是连续的.因此可以证而映射9是连续的.由于M()具有N的子空间拓扑，是N的一个拓扑空间.由上面的讨论知，映射伊M也是连续的.M()中的可逆矩阵，定义求逆矩阵的映射g:M”历，对于任意的4M”，g（八）=AT；合成映射i.g:炉，可以理解为将任意映射为A-1的第ij个元素，由于矩阵A为正交矩阵，由性质2.1知A可逆，那么有川=着因此&=含，即得g（八）=含,IAlIAl网又因为A的行列式和A的代数余子式都是A内的元素多项式，并且网N0,所以万Og是连续的，因此求逆映射g：为连续函数.因此，MS)又是一个拓扑空间，并构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间上的连续映射，因此所有的阶正交矩阵做成的集合M构成一个拓扑群.且称它为正交群.其次证明Mg）是一个紧致成群，证明之前给出有关的定义定理.定义4.4设P为拓扑群，P的拓扑为维实（或复）解析流行，且映射（P,P2）PP2T，对于任意P/2wP，为解析流行PXP到尸上的解析映射，那么称P为n维e群.定理4.2欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明：设N是所有具有实元素的阶矩阵做成的集合，对于任意的CN,C对应的2维欧氏空间/的点C（CUN可作为2维欧氏空间.M为元素C”,C2,CbpC21，%，%的解析函数，CwNq=为N中的开子集,由诱导拓扑可知N为解析流形，并且对于矩阵的乘法和求逆运算都解析，故N*为2维e群.M为N*的闭子集，根据诱导拓扑为子流行，MS）为Zie群.想要证明M（）紧致，根据定理内容，只需要证明N等同于时，M（）相当于E内的有界闭集.设任意的CM（'）,由于CC=用有对任意的i,2,定义映射那么Mg）为系数各集合的交集由于/（1）都是连续映射，因此上述的集合都是闭集，那么Ms）是N的有界闭集,那么的紧闭性得证.由于在拓扑结构上是紧闭的滋群，我们称它为紧根群，因此MS）是紧根群.最后证M（"）是不连通的证明：设RM）是全部行列式为1的正交矩阵所构成的集合，R为所有行列式为-1的正交矩阵所构成的集合.由于det:RM.）E是连续映射，又由于单点集1是E的闭集，RMs）为M的闭集，同样可证R为闭集.由于RAIPUR=",）,氏必）口冗=。，而RM）和R是闭集，根据不连通的定义可直接证明MS）是不连通的，在这里我们就不做详细说明了.M）变换设为y=B/ 、Xy+b2,其中8 =Ai A? bl3 "2) "22 "23是三阶正交矩阵，且4也也lz > 2 3>4. 3正交矩阵在物理学中的应用物理学中每一个刚体运动都对应着一个正交矩阵，三维空间中的一条曲线经过刚体运 动，它的曲率和挠率一直是不变的，在物理学中称它们为运动不变量.下面我们来考察 曲线在做刚体运动时的量.设曲线改）=3 （H M （U Z¢）与曲线r（r） = x（t），（“ z）只差一个运动,从曲线论）到+ Z?2为常数.对=By两边分别求阶导数，可以得,从而有m MWZl /< m> 二AU z,m /，肃+b4'+bC、=b2lxtfl-b22ym+b23zm ,又B是正交矩阵，那么有忻(4=同”成立.另一 b3ixm+b32ym+b33zm面XKW yZ；Z：MZJ由戈阶 z'、Z z,到三（x, B, = ± xf,W阶 y / ）严导数可ZIZn ,WZ)以构成矩阵现取（改焉（“改）=0（“也H（。）可类似的讨论.因为带入到的右边，得到对照以上三个式子可得:由于正交矩阵的性质，bjj=Bij,且ZBqBkj=jk（j,k=1,2,3）将上边三个式子左右两边分别平方之后相加得：将上式写成矢量函数形式记得：I和卜和）=|产Qx产。其中K,4分别为曲线产C）,Mf）的曲率和挠率.5后记以上就是本篇文章的全部内容，由于时间和能力有限，本文仅针对正交矩阵矩阵的性质以及正交矩阵在解析几何，近似代数和拓扑学以及物理化学的应用上做了粗略的研究，希望得到的结论能给日后这局部的研究提供帮助，也希望读者在阅读后能受到一些启示，从而得出更有价值的理论.事实上，正交矩阵的这局部值得研究的内容还有很多，例如正交矩阵在化学等方面也有很多的应用，但是本位并没有对其给予明确的说明。这些在我以后的学习中会继续研究的.参考文献1魏战线.线性代数与解析几何M.北京:高等教育出版社，2004.2燕建梁,裴金仙等.线性代数M.北京:清华大学出版社，2007.3熊金城.点集拓扑讲义M.北京:高等教育出版社，1985.110TlLI93-1954程稼夫.力学M.合肥:中国科学技术大学出版社，1996.5.线性代数及其应用（第二版）M.北京:高等教育出版社，2006.6周英.正交矩阵的一个性质及应用J.苏州大学学报，1987.致谢本篇论文在指导教师包振华的屡次指导和帮助下终于完成，我对包振华老师感谢之情溢于言表。在整篇论文写作过程当中，我也得到了很多同学的帮助，包振华老师严谨的专业知识、认真负责的态度给了我很多的支持。从论文选题、查阅资料，到整体思路、校对文章，无论在理论上还是在实践中，包振华老师都给予了我很大的帮助，我不胜感谢！感谢所有帮助我、指导我、关心我的老师和同学，谢谢你们！