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概率论与数理统计主要内容小结概率局部1、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：其中。,当,纥是空间S的一个划分。贝叶斯公式：P由I公=广幻P(A田)力P(Bj)P(AIBj)其中男,星,8”是空间S的一个划分。2、互不相容与互不相关AB互不相容OAn8=。,P(Af8)二。事件AB互相独立=P(AB)=P（八）(B);两者没有必然联系3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。X伙1,P),即二点分布，那么分布律为Px=k=pk0-p)i,k=0,1.X久,p),即二项分布，那么分布律为Px=k=CP"1-p)n-k=0,1,.,n.Xie,xw(a,b)X万(,即泊松分布，那么分布律为Px=k=-=0,1,XU(,b),即均匀分布，那么概率密度为f()=b-a0,其它x£(。),即指数分布，那么概率密度为F(X)=Je.0,其它1*2XN(4,<),即正态分布，那么那么概率密度为/()=-e2,一OOVX<+8j2连续性随机变量X分布函数性质：(i)产(+8)=1,产(-8)=0,(ii)分布函数连续对连续性随机变量X,概率密度/(幻，那么分布函数为产(X)=分布函数为F(X),那么概率密度/(x)=F(X).对连续性随机变量X,概率密度/(x),区间概率PxL=幻公L4、连续函数随机变量函数的概率密度设连续随机变量X的概率密度为fx(),r=g(x)也是连续型随机变量，求Y的概率密度求法(i)利用以下结论计算：如果函数g(x)处处可导，且恒有g'(x)>O(或g'(x)<O),那么Y概率密度为：其中，z(y)是g(x)的反函数，且有=ming(-OO),g(+oo),7=maxg(-oo),g(+8).(ii)利用分布函数计算：先求y=g")值域，再在该值域求Y的分布函数那么有4(y)=F(y)常用求导公式5、二维随机变量分布律对于二维连续性随机变量(X,y),其联合概率密度为7(x,y),其联合分布函数为/(x,y),那么F(x,y)=,：£/(，V)dvdu,概率密度性质：(i)/(x,y)O,(ii)f(u.v)dvduJ-DOJ-X概率密度f(x,y),求区域概率有P(x,)D=f(x,y)dydx,D边缘分布函数为Fx(x)=JJ：/(，v)dvdu,FX(y)=v)dudv,边缘概率密度为Fx(X)=f(x9y)dy,f(y)=f(x,y)d.J-8J-OC条件分布函数为FXIy(XIy)=L当弋八，KuUI幻=L弊卜匕条件概率密度为rUy)=坐斗，4X(yI幻=需-f(y)f×M对于离散情形，设联合分布律为PX=i,Y=yj=Pij边缘概率密度为PX=Xi=Ypij=P-PY=y.=pij=Pjj=Z=I条件概率密度为尸丫=XIX=X=，PX=iY=yj=-L.6、二维随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)，分布函数为F(x,y)(i) Z=X+Y,那么Z的概率密度为当X,y相互独立时，fz(Z)=X(Z-y)fr(y)dy=jfx(x)fy(z-x)dx(ii) M=maxX,Y与N=min(X,Y当X,Y相互独立时,Fm(z)=Fx(z)Fy(z)fFN(Z)=I-(I-FX(Z)X1-4(Z)7、数学期望(i)求法：连续随机变量X概率密度为/a),那么E(X)=%。)公；假设y=g(X),那么E(Y)=fg(x)f(x)dx.离散随机变量分布律为Px=pjt,那么E(X)=SZp«假设Y=g(X),那么k=E(X)=g(xk)pk.Jl=I假设有二维的随机变量(X,y),其联合概率密度为/(x,y),假设Y=g(X,Y),那么E(Y)=J：匚g(x，y)f(x,y)dydx.(ii)性质：E(C)=C,E(CX)=CE(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y)x,y相互独立，那么有E(Xy)=E(X)£(丫).8、方差定义：D(X)=ElX-E(X)2,标准差(均方差)：JaX).计算：D(X)=E(X2)-I(X)J2性质：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X).常见分布的数学期望和方差：两点分布：E(X)=P1D(X)=P(I-P).X仇,p),即二项分布，那么E(X)=np,D(X)=np(-p).X粗,即泊松分布，那么E(X)=ZD(X)=ZXU(4,6),即均匀分布，那么E(X)=巴心,D(X)=S"".212XE(8),即指数分布,那么E(X)=3D(X)=XN(M,，),即正态分布，那么E(X)=",O(X)=/9、协方差与相关系数定义：协方差:Cov<X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y).相关系数：PXY=FMX；Y).那么有CbV(X,y)=x)Jzy).D(X)D(y)W性质：Cov(X9Y)=Cov(Y,X),COV(X,X)=D(X),Cov(X,a)=0如果X,Y相互独立，那么有D(X±Y)=D(X)+D(Y)pxL且IpxI=1o迎上使PY=a+bX=i.10、独立与不相关关系PXy=O=X,y不相关=COU(X,y)=00e(x,丫)=e(x)e(y)X,y相互独立u>%x,y)=F(x)F(y)=f(x)f(y)=>E(X,Y)=E(X)E(Y)F为分布函数，而f为概率密度一般情况下，X,y相互独立=>x,y不相关，但反之不成立；特殊情况，当(x,y)N(外,2；。：,犬;夕)时，X,丫相互独立ox,丫不相关并且此时E(X)=，夙丫)=2；。(X)=b(Y)=1px=.Cov(XI)=px2.11、切比雪夫(ChebySheV)不等式：设随机变量X的期望与方差为E(X)=,O(X)=b?,那么对任意正数£>0,有PX-E(X)e即尸X-4g<.进一步有：PX-E(X)<1-,BPPX-<l-r.12、两个中心极限定理定理1(独立同分布的中心极限定理)设随机变量x,x2,，X，相互独立，服从同一分布，有相同的数学期望和方差：E(XA)=O(XQ=2>OM=1,2,，那么当n充分大时，Yn =NXk-E(NXk)/=14n近似N(OJ).定理2(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量%,=1,2服从参数为2,p(0<p<l)的二项分布，那么当n充分大时，TfP.近似N(OJ),叩()-p)统计局部1、常用统计量设X为总体，x,X2,X是来自总体X的样本，定义样本平均值：X=-Yxf.,n/=|样本方差：S2=-L-(Xf-X)2=-!-(Xi2-nX2),-1曰/7-1日样本标准差(均方差)：s=-(xi-x)2样本k阶矩：A"XA=1,2,/=12、常用正态总体相关的统计量(1)/分布定义：设X-N(OJ)"=1,2,，那么/5)，特别x：/r=l性质(i)可加性：设乂%2(丫/2(%),那么x+y%2(|十%).(ii)设X九,那么EX=n9D(X)=2n.(iii)特例：设Xi-Ng，),那么3£(乂L)2彳(初1=1(2)t分布V定义：设XN(O,l),y/()，且X,y相互独立，那么统计量，=rr5).性质(i)概率密度为偶函数，关于y轴对称；当n趋于无穷大，该统计量趋于标准的正态分布;(ii)对于分位点有：Xa()=Ta().3 3)F分布定义：设U%(勺),V/(2),且U"相互独立，那么统计量产=给尸(%,外).性质对于分位点有：F1-ff(1,n2)=-.Fa(n2,nl)3、正态总体样本均值与样本方差分布单个总体情形：设X为总体，口服从XN(y2X,X?，X是来自总体X的样本，取5?分别是样本均值与样本方差，有以下结论：(i) E(X)=E(X)=9D(X)=,E(S2)=D(X)=2,而且有nnNCiXiN忙CMNC：a；).=l/=1/=I(ii) GN(4,),即iN(O,l);且S(Xj=STy2/(”7)nynZT两个正态总体情形：设乂，乂2,X,“是来自XN(4,b2)的样本，L与,4是来自yN(2。；)的样本，且两样本相互独立，元歹为两样本均值，s；,s；为两样本方差，那么有(i)X±F-7V(ai+a2A+-).,.S:/S；O1n("02/2/51-1，2-1)O"/O74 .点估计(1)矩估计法设概率密度4)或分布律Px=p8%，4)中含4，"，4个参数需要估计。(i)求总体前k阶矩(ii)由以上方程解得(iii)以样本i阶矩4代替从,i=i2,即得估计量。=q(A,A2,-4)(2)最大似然估计定义：给定一组样本观测值(2,/，Z)，使该观测值概率取最大的参数值为所求参数估计值。两种求法：I直接用最大似然法估计计算写出似然函数连续情形：L()=11f(xi),离散情形:L()=11p(xi)/=1f=l(ii)求使似然函数取最大值的参数夕两种方法：取对数，求导数，令导数为O解出。估计值；假设求导不行，那么用直接分析法(iii)由上写出估计值，再表示出估计量II利用不变性计算假设求函数的最大似然估计，其中U是单调函数，可先求。最大似然估计行，然后利用不变性知（八）是(。)的最大似然估计。5 .估计量评价标准无偏性：征是。的估计量，如果E(O)=那么3是。的无偏估计量；有效性：a,a是。的无偏估计量，如果D(d)za),那么a较囱更有效；一致性：在是。的估计量，当样本容量趋于无穷大，3依概率收敛于夕6 .置信区间根本的重要概念：置信水平：是参数。落在置信区间(乱万)的概率，即V。)=1一二，万两统计量分别为双那么置信下限与置信上限，1a为置信水平。例如置信水平为95%,那么1a=0.95.置信区间几种情形：单个总体情形当o'的置信区间，枢轴量Z=±三N(0,1)双侧置信区间：(又±爷Za),双那么置信上、下限：X+-=ZaiX-Za.y!n2"E5单侧置信区间:(X-Za ,+) , (-, X +4nZa)单侧置信上、下限：x÷-za,x-=za.Ytiyjn当2未知，的置信区间，枢轴量f=±Wf("-l)S4n_q双侧置信区间：(X±=ta(n-l)i"7_C_C双那么置信上、卜限：X+7=tz(1),X-ta(n-1).n25单侧置信上、下限:单侧置信区间：(>,X+%5-l)nX+-1),X-ta(n-1)Jnyn(-1炉 5-1炉Z ("l)'%("l)122当未知，的置信区间，枢轴量力2=%二臂42(一)双侧置信区间：(S-DS-S-I)S-),双那么置信上、下限:/ad)Z("T)1单侧置信区间：(0,("1"2),(ST)S2+8)41“(1)Na(一D假设检验的根本原理：小概率事件在一次观测实验中几乎不可能发生单侧置信上、下限:-W (-WNI“( T)ZaST)两个总体情形:C2 / C2当问,2未知，的置信区间，枢轴量/=U-F(Z21-l,Zl2-D (7 / 2双侧置信区间:双那么置信上、产 1S121Si F0(% T)S F (n1-l,n2-l, I 22下限.建!膛!,S; F 以g1,2D' S； Fa(nl-Kn2-1) 1 22单侧置信区间:S； 1S： 1(商/Y(l，2 T)>'(记 -1,2 -1)'+8单侧置信上、下限:5121 S； 1S；月_。(1 1，% -D S； Fa(n l,n2 -1)在求解置信区间时，先分清总体属于那种情况,然后写出置信区间，再代数值。7.假设检验显著性水平a：小概率事件发生的概率，也是拒绝域对应事件概率，显著性水平越大，拒绝域越大。两类错误：对原假设H0,备择假设H1,第一类错误Hx不真，接受Hl,第二类错误Hq不真，接受Ho,为减少两类错误，需增加样本容量。假设检验的根本步骤：（i）提出假设；（ii）选取检验统计量；（iii）确定拒绝域；（iv）计算观测值（V）并作出拒绝与接收原假设判断P值检验：计算P值，与显著性水平a比拟，p值小于a拒绝原假设，否那么就接收原假设；P值计算方法是将观测值作为拒绝域临界点，代入拒绝域事件计算其概率。假设检验的情形：见书中164表，请复印下来，以便记忆，重点是1、2、3、7种情形，其余的也最好熟记。特别要注意，对假设检验问题，首先只看总体，是单个总体，还是两个总体，是对均值检验还是方差（精度）检验，假设是均值检验，要看总体方差是还是未知，总之要分清情形；另外假设是单侧检验，要写对原假设与备择假设，一般问有没显著改变，就是双侧检验，有没有显著提高就是右单侧检验，有没有显著降低就是左单侧检验；同时，把不含等于的情形作为备择假设，含有等于的作为原假设，如不超过多少，就是小于等于，这种含有等于，作为原假设。在双侧检验中，要写全拒绝域，然后看观测值是否满足不等式，以作推断。考试重点：全概率公式，独立性与不相关性等，一维，二维随机变量函数的概率密度求法，随机变量函数的概率密度求法，边缘概率，条件概率，期望，方差，协方差，点估计及其评价标准，假设检验。