课堂导学（1.3.1利用导数判断函数的单调性）.docx

课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】求以下函数的单调区间.(l)y=x*-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y',分别令y'>0或y'<0,解出X的取值范围，便可得出单调区间.解:(Dy'=43-4x,令y'>0,即4x'-4x>0,解得T<x<0或x>l,所以单调增区间为(T,0)和(1,+8).令y'<0,解得x<-l或O<x<l,因此单调减区间为(-8,-1)和(o,1).(2)y'=4x-1,令y'>0,即4-,>0,解得2<x<0或x>,；令y'<0,即4-1<0,解得x<-,或0<x<1.XX22X22一定义域为x>0,.I单调增区间为(L,+8),单调减区间为(0,1).22温馨提示在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】假设函数f(x)=1La2+(a-l)x+l在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+8)上为增函数,试求实数a32的取值范围.解：函数f(x)的导数f'(x)=x2-ax+a-l.令f'(x)=0,解得x=l或x=aT.当a-IWL即aW2时，函数f(x)在(1,+8)上为增函数，不合题意.当a-l>l,即a>2时，函数f(x)在(-8,1)上为增函数，在(1e-1)内为减函数，在(aT,+8)上为增函数.依题意应有当x(l,4)时,f'(x)<0;当x(6,+8)时,f'()>0.所以4a-l6,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.温馨提示此题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的根本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式JT【例3】当X£(0,)时，证明IanX>x.2思略分析:首先构造函数f(x)=tanx-X,然后判断f(x)在(0,上)上的单调性.2证明：设f(x)=tan-,x(0,).2c,/、/SInx、,.cosx+shx<1,1-cosxf'(x)=(),-1-S-1=-1=S-=tan->O.COSXCOSXCOS-XCOSX.f(x)在(0,工)上为增函数.2又Vf(x)=tan-在X=O处可导且f(0)=0,，当W(0,乙)时，f(x)>f(0)恒成立，即tan->O.2tanx>x.温馨提示对于tanx的导数，它不是初等函数的导数，可先变换成初等函数的导数，然后根据运算法那么求导.各个击破类题演练1证明函数f(x)=elc+e-x在0,+8)上是增函数.1 111(ex)2证明：f'(x)=(eX)'=ex+(-5-)=ex-ex=-4-.2 exeexe;当Xe0,+),exl,fz(x)20.f(x)=ex+ex0,+8)上为增函数.变式提升1R,求证:e'2x+L证明:令f(x)=eLT,.f'(x)=e1-l.Vx0,+),ex-12恒成立，即f'(x)e.f(x)为增函数.当x(-8,o)时，伊()=ex-l<O,.f(x)是减函数.又f(0)=0,当XWR时f(x)>f(O),即ex-l0.exx+1.类题演练2(2019河南郑州二模,8)函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f'(x)的图象是右图所示的一条直线,那么y=f(x)图象的顶点在()A.第I象限B.第II象限C.第HI象限D.第IV象限解：设g=f'(x)=kx+b(k<O,b>O),那么y=f(x)=ax2+bx+c；那么f'(x)=2ax+b,由此可知a<O,b>O,又因为函数y=f(x)图象过原点，所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点：h4ac-b2-b2.,4.X=>0,y=>0,应选A.2a4a4。答案:A变式提升2确定函数f(x)=x2-4x+3的单调区间.解:f'(x)=2-4.令2-4>0,解得x>2.因此函数f(x)的单调增区间为(2,+8).令2-4<0,解得x<2.因此函数f(x)的单调减区间为(-8,2).类题演练3求证：2>3-(x>l).X证明：令f(x)=2Vx-3+,X那么f'()=-j=.Vx>l时,2>4.,/11.f(x)=-=r>0.f(x)在(1,+8)上为增函数.三x>l时,f(x)>f(1)=2-3+1=0.，当x>l时,2x>3-L.X变式提升3函数f(x)与g(x)均为闭区间a,b上的可导函数，且f'(x)>g'(x),f(a)=g(a),证明：当xa,b时,f()>g()证明：设F(x)=f(x)-g(x),那么F'(x)=f'(x)-gz(x)>0,所以F(X)=f(x)-g(x)在区间a,b上单调递增.所以对任意xa,b,f(x)-g(x)>f(a)-g(a)=O,即f(x)>g(x).