课堂导学（1.3.4导数的实际应用）.docx

课堂导学三点剖析一、利润最值【例1）某工厂生产某种产品，该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为p=24200-g2,且生产X吨的本钱为R=50OOo+20OX元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润到达最大？解：每月生产X吨时的利润为f(x)=(24200-X2)X-(50000+200x)5=-x3+24000x-50OOO(X20),53由f,(x)=-x2+24000=0,5解得X产200,X2=-200(舍去).因f(x)在0,+8)内只有一个点=200使f'(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为f（200）=-（200）3+24000X200-50000=3150000.5答：每月生产200吨产品时利润到达最大，最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0,求y'=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】某厂生产X件产品的本钱为c=25OOO+200x+l-x1元）.40（1）要使平均本钱最低，应生产多少件产品？（2）假设产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：此题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.25000+200x+ -X225000X（1）设平均本钱为y元，那么X÷200H(x>0)40yz =(-÷200+-X =X4025000XH.40令y'=0,得Xi=I000,x2=-lOOO（舍去）.当在x=lOoO附近左侧时，y'<0；在x=lOOo附近右侧时，y'>0；故当x=lOoO时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y':0,且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均本钱最低，应生产1000件产品.YY"(2)利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300-25000.4040r*L,=(300-25000)'=300-.4020令L'=O,得x=6000,当X在6OOO附近左侧时，L'>0；当X在6OOo附近右侧时L'<0,故当x=6000时，L取得极大值.由于函数只有一个使I7=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6OoO件产品.口三、导数在生活中优化问题的应用【例3】如下图，水渠横断面为等腰梯形.(1)假设渠中流水的横断面积为S,水面的高为h,当水渠侧边的倾斜角中为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)假设被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC=h(sin)设下底AB=X,那么上底CD=x+2hcot,又S=L(2x+2hcot)h=(x+hcot)h,2.*.T底x=Sh-hcot,横断面被水浸湿周长,2,S,2?coss/C,一»、1=+(cot)=；+(0<<-).sinhsinsinh2,n.-2cosh1=+-ZSirr中sin令1'=0,解得COS二J二X.23根据实际问题的意义，当中二巴时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.3(2)设水渠高为h,水流横断面积为S,那么J>兀S=(a+a+2acos)h=-(2a+2acos)asin=a(l+cos)sin(0<<2).222S,=a2-sin2+(l+cos)cos=a2(2cos-l)(cos+l).令S'=0,得CoS=1或COS二T(舍)，故在(0,)内，当中=工时，水流横断面积最大，最大值为223S=a2(1+cos-)sin-=334各个击破类题演练1A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为V千米/时(8VvWv。).假设船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为山，比例系数为k(k>O),那么y=kv2,当v=12时,y=720.720=k,122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1%=侬匚v-8v-8令y'=0,v=16.当vo16时,v=16时全程燃料费最省;2当VoVI6时，即v(8,Vo)时y'<0,即y在(8,v0上为减函数，当V=VO时,yt,in=v°.%8综上，当v0216时，v=16千米/时全程燃料费最省，为32OOO元；当VOVI6时，那么V=V。时全程燃料费最省,为1000%.%-8变式提升1某种型号的电器降价X成(1成为10%),那么销售数量就增加mx成(mWRD.(1)某商店此种电器的定价为每台a元，那么可以出售b台.假设经降价X成后，此种电器营业额为y元，试建立y与X的函数关系，并求m=2时，每台降价多少成其营业额最大？4解:由条件知降价后的营业额为y=a(l-)b(l+mx)=ab-mx2+(m-l)x+l.，当In=W时，y=ab(-3x、!x+i).444'y'=ab(-2x+L).令y，=Qt.,.x=-,即x=_时，yna=glab,即降价0.1成时，营业额最大.24101080类题演练2用边长为120Cnl的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为Xcm,那么水箱高为h=60-(cm).21/水箱容积V=V(x)=x=60x2(0<x<120)(cmi).23Vz(x)=120x-X2.2令V'(x)=0,得x=0(舍)或x=80.当X在0,120)内变化时，导数W(x)的正负如下表:X(0,80)80(80,120)V'(x)+0因此在x=80处,函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值.将x=80代入V(x),得最大容积V=802×60=128000(cm3).2答：水箱底边长取80Cnl时，容积最大.其最大容积为128000cm3.变式提升2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h,底面半径为R,那么外表积S=2Rh+2R2,V=R2h,得h=，那么S(R)成2=2/R÷211R2=+2R2.令S'(R)=+411R=O,得R=J,从而h-/=J=2JR2RR2R2V2乃(出厂)V2即h=2R,所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.类题演练3如下列图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)？解：设y为流出的水中杂质的质量分数，那么丫二上，其中k>0为比例系数.ab依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)得b=型(0<a<30),2+。工日kkk(2+a)于是V=.ab30a-a230a-a22+a.仪30-/)_/2+)(300-2。).y=-=0,a=6或a=T0(舍去).(30-a-a2)2由于此题只有一个极值点，故a=6,b=3为所求.变式提升3有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？40Ti解：设NBCD=O,那么BC=,CD=40cot0(0<0<),sin。2AC=50-40cot.4053cos设总的水管费用为f（三）.依题意，有f(0)=3a(50-40cot)+5a150a+40a.sinsin.n,/°、S(53cos9)'sin。一(53cos9)(sin6)'35cos6f,()=40a-7=404.sin26>Sin2(933令f'()=0,得COSO=士.根据问题的实际意义，当cos0二？时，函数取得最小值，此5533时tsin0=,cot=.C-50-40cot-20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费54用最省.