第九章 平面解析几何.docx

第九章平面解析几何第1节直线的方程对应学生用书P217考试要求1 .在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2 .理解直姣的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3 .根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式).知识结构基础全通关一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义:当直线/与X轴相交时,我们取X轴作为基准轴正向与直线/!，之间所成的角叫作直线/的候斜角.当直线/与X轴时,规定它的倾斜角为0°.(2)范围:直线/候斜角的取值范围是耳一，.2.斜率公式(1)若直线/的倾斜角K90。,则斜率k=-.(2)若点R(Xl,川,闩(及,闷在直线/上,且M刊则直线/的斜率=女力.二、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线X=AO斜截式不含垂直于X轴的直线两点式-不含直线X=Xl(M*至)和直线yw(y丰总)截距式b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式公平面内所有直线都适用1 .直线的斜率攵和颈斜角之间的函数关系如图,o,P时,斜率依0,M;当W时,斜率A不存在;当住(扛)时,斜率依(f0).2 .求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.3 .截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.自我诊断1.判断下列结论是否正确.(对的打7",错的打”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有帧斜角与斜率.(2)直线的倏斜角越大,其斜率就越大.(3)若直线的斜率为tan则其颈斜角为a.(4)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.(IA(2)(3)(4)*2.(教材改埔)若过点M2m),Mm,4)的直线的斜率为1,则。的值为().A.1B.4C.1或3D.1或4A由题意得解得mN.m+z3(2023山东三模)已知条件0直线x+2六IR与直线Hx*a+1)*l=O平行,条件1a=1,则0是q的().A.充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件当直线x2y-1=0与直线x*a+1)y-1=O平行时,。怨,1,解得ag.当a=时,直线x2y-1R与直线x*a+1)*lR重合,所以P是g的既不充分也不必要条件.4.(2021年上海卷)直线x=-2与直线5x-yX=O的夹角为.由于直战X=Q的帧斜角为会直线百XwX=O即直线尸万户1,其帧斜角为小故夹角为也考点题型命题全研透考点一直线的倾斜角与斜率(1)直线 2acos a-y-3=0的倾斜角的取值范围是().CM时隅B直线2cos-y3=0的斜率k=2cos因为0仁哥所以异OS0:因此4=2CoSg1,可.设直线的倏斜角为6,则有tan矢1,代.又庆O,),所以法：,1，即直线的帧斜角的取值范围是(2)已知点41,3),a-2,-1),若过点62,1)的直线/与线段48相交,则直线/的斜率4的取值范围是().A.AB.k-2C.A3D.-2Ay32-24012Fl1-2由已知直线/恒过定点H21),如图所示.由图可得,若直线/与线段48相交,则kPAkkp.感悟总结(1)倾斜角与斜率4的关系。当。,P时,斜率依。口)；当W时,斜率左不存在;当时,斜率Ae(-.O).(2)斜率的两种求法义法:Eana.(3)求倾斜角的取值范围或直线斜率的取值范围时,要充分利用Hanl的单调性.感悟实践1 .已知点42,3),43-2),若直线/过点H1,1)与线段力8始终没有交点,则直线/的斜率R的取值范围是().A.¼<2B.Q2或44C.r>D.k<2A因为4s=2,Ax*如图所示.因为直线/与线段48始终没有交点,所以kB"k<kAP版斜率4的取值范围是G，2).故选A.2 .(改编)直线x*X)y+1W)的倾斜角的取值范围是().a-°?B%)Co,三u(,)D朋)椅)B由直线方程可得该直线的斜率为舟,又-1舟<0,所以该直线的颈斜角的取值范围是苧,r)考点二直线方程的求解求适合下列条件的直线方程.过点413),斜率是直线*3x的斜率的一;过点4(1,-1)且与已知直线/i：2x+y£=0相交于点BJABI石.(1)设所求直线的斜率为匕依题意得依W=4又直线经过点41,W),因此所求直线的方程为y+3=(m1),即3xMyX5R.(2)过点41,-1)与y轴平行的直线为x=1.联立方程:二上,_C求得点8的坐标为(1,4),此时M%5,即X=I为所求.设过点411)且与y轴不平行的直线为y*1=A(x-1),联立方程砰SMi),解得f1旧'(依2否则与已知直线平行),则点H的坐标为(卷鬻).V=*+2由已知(男/)2+(鬻+1)2=52,解得4=W所以y*W(X-I),即3x÷4y1=O.代十4代十4综上可知,所求直线的方程为X=I或3x4y+1=0.Sa)>>求直线方程一般有以下两种方法(1)直接法:首先由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由施设条件求出待定系数,即得所求直线方程.感悟实践己知"18。的三个顶点分别为430)，凤2,1),0-2,3),求：(1)8。边所在直线的方程；(2)8C边上的中线47所在直线的方程；(3)8。边的垂直平分线DE的方程.(1)因为直线8C经过凤2,1),q-2,3)两点,所以由两点式得直线8C的方程为察即x2y4=0.-1设8C边的中点为功3,则X岑O,尸詈=2,即,2).因为8C边上的中线40过430),0,2)两点，所以其所在直线的方程为己4=1,即2不3%6至(3)由(1)知,直线HC的斜率4，则直线8C的垂直平分线OE的斜率A=2.由(2)知,点。的坐标为(0,2),故所求直线的方程为y-2=2(x-0).三P2×-y-f2=Q.考点三直线方程的综合应用命题角度1与直线有关的最值问题(改编)过点片4,1)作直线Z分别交X轴、y轴的正半轴于点A,B.(1)当白408的面积最小时,求直线/的方程；(2)当明?最小值时,求直线/的方程.设直线力乂),因为直线/经过点氐4,1),所以：弓=1.因为号=122后喘,所以心16,所以S以纳君心8,当且仅当然即a=,b=2时等号成立,所以当a=8,b=2时,”08的面积最小,此时直线/的方程为超K,即xy-8=Q.因为我=1,*0,ZPo,所以/04/#/QMaM=(aW)g+3=5咛252后夺=9,当且仅当?斗即京6力=3时等号成立,所以当/04/+/O为取最小值时,直线/的方程为，5=1,即x2y-6=0.>>1 .求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数的性质)求解最值.2 .求解直线方程与函数相结合的问题,一般利用直线方程中Xy的关系,将问题转化为关于M或M的函数,再借助函数的性质解决问题.感悟实践过点H2,1)作直线L与X轴、y轴的正半轴分别交于48两点,求：(1)“IO8面积的最小值及此时直线/的方程；(2)直线/在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线/的方程；(3)/84尸约的最小值及此时直线/的方程.设直线/的方程为*1=MX-2),则可得幺(等,0),仅0,12句.直线/与X轴/轴的正半轴分别交于48两点,.：卜>°，解得片<0.(l-2k>0,二SdAO吟IOANOBl陪乂1-2向g(4微4A)号L2j(-J)-(-4k)=4.当且仅当f=44且4<0,即4=斗时,的面积取得最小值,最小值为4,此时直线/的方程为Hw(X-2),即×-f2yA=Q.(2)：力(誓Q),日0,1-2向(ArR).截距之和为竿X-2令2号3#2J(-2fc)(-J)=3*22,当且仅当-2*=即A=与时,等号成立.故截距之和的最小值为3*221此时直线/的方程为六14住2),即x2y2-2=0.(3).力(等。),口0.2句(40),.JPAPB=心+lV4+4"2=心+4依+8Jz+8三l1当且仅当即k=-1时,等号成立.故/24尸场的最小值为4,此时直线/的方程为尸l=<-2),即x*y-3=0.命题角度2与直线有关的求参问题已知直线t.kx-y+24W)(AeR).(1)证明:直线/过定点.(2)若直线/不经过第四象限,求彳的取值范围.(3)若直线/交X轴的负半轴于点4交y轴的正半轴于点8,&/4O8的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值及此时直线/的方程.(法一)直线/的方程可化为*x+2)*1MR,令WK"解得.：无论片取何值,直线/总经过定点(2,1).(法二)方程k×-y+2依O可化为H=MX+2),显然直线/恒过定点(21).由方程知.当A*0时,直线/在X轴上的截距为华,在y轴上的截距为1+2R要使直线/不经过第四象限厕必须有(1+2*?.丁42解得左内；Il+21,当k=Q时,直线/的方程为尸1,符合题意.故4的取值范围是0,%).(3)由题意可知性0,再由直线/的方程,得AI上汽O人民0,12A).(1 + 2k > 0,(1+2%/n依题意得丁<。解得依O:SwIOAHoB*当且仅当444,即AW时,等号成立,.Sn工此时直线/的方程为x-2yM=0感悟总纯1 .含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,能够看出“动中有定".若直线的方程为y=Rxa+b,则直线过定点(a,。).2 .求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形的面积.感悟实践(改编)已知直线4:狄-2尸2必/：2户印片2必当0Q<2时,直线A工与两坐标轴圉成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a的值为.由题意知直线A段均恒过点H2,2),直线A在y轴上的截距为2y直线在X轴上的截距为浜#2,又0<a<2,所以四边形的面积5苫或犬2a*或4浜+2)=浜所以当ag时,四边形的面积最小.逐点排查素养快提升对应幺高效训练P88K彳基础过关1 .若过44M,5(2,S)两点的直线的斜率为1,则JT).A.-yB.yC.-1D.1C:过工(4,M，凤2,3)两点的直线的斜率为1,.直线的斜率4三1若,解得y=-1故选C.2 .过点HX-25)且倾斜角为135。的直境方程为().A.3z-y-434)B.x-3=0C.xy-3=0D.xy3=0D.直线的倾斜角为135°,.斜率Man135°=】又直线过点3,-2)l.直线的点斜式方程为v+25=-1MW5）,即x+H5R故选D.3 .（2023汕头期末）已知直线x+ky2Wk力恒过定点。,点Q在直线/上,则/的方程可以是（）.A.xy-4=0B.2x-y-1=OC.3xy-8=0D.x2y-74）Bx+ky2Qk才可化为HK3）=<x-2）,则直线恒过定点Q2,3）噩证选项得直线/的方程可以为2x/-1=0,故选B.4 .（2023如皋期末）已知直线ax+by+c力满足a<b<0vc,那么这条直线一定不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C由ax+纱+c=0,得y=x.a<b<cl.30,5乂）,.直线片尚延经过第一、二、四象限,即不经过第三象限.故选C.5 .（2023广东韶关月考）过点Ml-2）,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）.A.xy3=0B.2x-y=0或xy3=0C.y=x-D.xy3=0或y=×B当所求直线不过原点时,设所求直线的方程为Xty=a因为直线过点Ml-2）,所以a=3即户尸3=0;当所求直线过原点时,设直线方程为y=A%因为直线过点Ml2）,所以依2,即2*w=0综上可得,所求直线的方程为2灯0或*"+3力.故选B.6 .下列四个命题为真命题的是（）.A.直线3xy2=0在y轴上的截距为28 .直线片0的倾斜角和斜率均存在C若两直线的斜率k,k2满足AI=他,则两直线互相平行D.若两直线的倏斜角相等,则它们的斜率也一定相等B对于直线3x+y+2R,令Xg）得尸-2,所以直线3x"+2R在y轴上的截距为-2,故A错误；直线y=O的倾斜角为0,斜率存在且为0,故B正确;若两直线的斜率格色满足所=依则两直线互相平行或重合,所以C错误；若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,所以D错误.故选B.7 .A.3B.苧C.竽D.23.在Rk48C中/48*.8C7=54W.tanMC8糕4,即zACB.dCSO设直线2C的颈斜角为6,则tan塔,即6三，.直线HC的倾斜角为代寺故Aetanm=I故选A.8 .下列说法正确的是（）.AJaN”是“直线邛X"-1=0与直线XTy-2=0互相垂直的充要条件9 .直线ASina+y+2=0的帧斜角6的取值范围是,jL,）C.过（MJa（及,尤）两点的所有直线的方程为篇第D.经过点（1,1）且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy-2=0B对于A,当3=0时,两直线方程分别为尸1和x=2,此时也满足两直线垂直.故A错误；对于B,直线的斜率仁Sina则4A1,即-1tan1.RJ失,HrT）,故B正确；对于C,当M=AS或y9时,直线方程为x=x或灯勺此时直线方程不成立,故C错误；对于D,若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D错误.10 已知直线/过点仅2,4）,且在y轴上的截距是在X轴上的截距的两倍,则直线/的方程为（）.A.2z-y=0B.2x=0C.2x-y=O或x2y-10=0D.2x-y=Q或2xy-8=0二五D若直线/经过原点,满足条件,可得直线/的方程为*2%即2x-y=G,若直线/不经过原点,可设直线/的方程为5喧=1（界0）,把点HN4）代入可得:吟=1,解得aF,直线/的方程为即2x+y-8=0.综上可得直线/的方程为2x-yR或2x+y6=0故选D.10 .（2023柳州三模）已知点410）,5（3,0）,若直线AXw+1W）上存在点尸,满足西丽K则4的取值范围是（）.因为点尸在直线依-y+1R上,所以设F×,kx),fiJM=<1-x,-k×),PB=3-x,-kx),所以西丽式1-)(3-)犬依*)21)2*2h4)xMR,因为方程有解,所以Y244)24KA2+1)>42O,解得gsAO.Rr能力提升11 .已知直线/过第一象限的点(/77/)和(1,5),若直线/的倾斜角为135°J，的最小值为().A.4B.9C.D.D由题意图翳=tan135°=-1,所以m+n=6（m>Q,n>Q）,4,当且仅当m,n=4时取等号,所以的最小值为之故选D. Ll L所以UWD（En5乃胆）W（5#2乒）mn6mn''6mn6Yjnn12 .在平面直角坐标系中,已知矩形。48GaoQ),42,0),q0,1),将矩形折叠,使点。落在线段8C上,设折痕所在直线的斜率为K则k的取值范困是.。宴-2,0解析如图,要想使折叠后点。落在线段8C上,可取8C上任意一点。作线段的垂直平分线Z以/为折痕可使点。与点。重合.因为飙仑做W，所以A=JN2且0.又当折叠后点。与点C重合时,依0,所以-2sA0,所以4的取值范围是-2,0.4KOD13 .已知044,直线卜kx2y2k爬=Q和直线6:2XMzHAMn)与坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的片的值为.答案5由直线方程易知直线4点均恒过点(2.4),则两直线均经过第一象限,因为0东4所以直线ZI的斜率$。2),直线的斜率-案(ff).又直线A在y轴上的截距为4+直线6在X轴上的戳距为2*+2,所以四边形的面积5§或吊4-向修必乂2依攵)乂/-4毋=4(耳)2唱.故当AW时,面积最小.14 .直线mx4y+n=0必过X轴上的一个定点,写出实数m,可能满足的一个关系:.7=2m(答案不唯一)由题意可知,当直线经过X轴上的定点时,有mx+n=0,即"=-mx.设过定点(-2,0),代入得=2板答案不唯一).H思维拓展15 .已知点44,5),点8在X轴上,点C在直线2x-y2=0上,则"18C的周长的最小值为,此时点C的坐标为.4T(1,4)解析按题意画图,如图,设点Q关于直线2x-y2=0的对称点。的坐标为(a,6),则Qo的中点为£(竽,手)，叫以"胃t%°'解得；：；'即双刀又点A关于X轴对称的点为4.-5),则当G尸四点共线时，AABC的周长最小,最小为0%42+(57)2三410l直线。户的方程为翟岑,即3xy-7=0.联立图;H'解得”用.16 .设直线/的方程为(3+1)XtH2a=0(非R).(1)若/在两坐标轴上的截距相等,求/的方程；(2)若/不经过第二象限,求实数a的取值范围.若2-a=0,解得a=2,则直线/的方程化为3xy=0.若>1=0,解得a=1则直线/的方程化为y+3R,舍去.若K-I且尔2,则直线/的方程化为金号q,令篙=去2河得”1=1.解得aR,可得直线/的方程为a-2=0.÷l综上所述,直线/的方程为x*y24)或3x-f-y=Q.*<>1)x92:7不经过第二象限,.：(gH°'解得a-1实数a的取值范围是(f-1.第2节直线的位置关系对应学生用书P221考试要求1 .能根据斜率的关系判定两条直线平行或垂直.2 .能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3 .掌握平面上两点间的距幕公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距覆.理清知识结构 基础全通关两条直线平行或垂直的判定1 .两条直线平行（1）对于两条不重合的直线4法,若其斜率分别为必论,则有（应0-（2）当直线不重合且斜率都不存在时,川|儿2,两条直线垂直如果两条直线分力的斜率存在,设为4,版则有Nbo;（2）当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直姣的斜率为0时TllAH<在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程h与hl.A×+By+C4)(A,*Bi*0),rxfey*C2=0(A*B*0)垂直的充要条件AA2+BBi=平行的充要条件>4*o)相交的充要条件会3）重合的充要条件霹物良。*。）二、两条直线相交1.交点:直线比4X8y+Go和儿的公共点的坐标与方程组口一一对应.2 .相交。方程组有,交点坐标就是方程组的解.3 .平行o方程组.4 .重合。方程组有.二、-i£31 .两点间的距离公式平面上任意两点8（小）,闩（筮,）间的距离公式为归月/Wa2M）2+（、2-%）2.2 .点到直线的距离公式点H）（Ab,乂）到直线上Ax+By+C=Q的距离心里组9.hi利用点到直线的距覆公式时,需要先将直线方程化为一般式.3 .两条平行直线间的距离公式两条平行直线Ax+8y+G=0与Ax+By+C=间的距离小自我诊断1.判断下列结论是否正确.(对的打Y",错的打”/)(1)当直线A和的斜率都存在时,一定有%=饱=>川忱.()(2)如果两条直线,与4垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距帝的最小值就是点到直线的距离.()X(2)x(3)(4)2.(教材改编)两条平行直线l2x3y-8=0,2x3y-10=0之间的距离为.二2.-13因为川友所以由两条平行直线间的距南公式得过誓叨舞.Ji133(2023四川绵阳模拟)设a为实数,若直线x+ay也a=G与直线ax+y+a+IR平行,则a的值为().A.-1B.1C.±1D.2A由题意1/=0,得a=±1,当a=1时,两直线重合,舍去;当a=时扁足两直线平行.故a=1.4.(2020年全国卷)点。1)到直线片出门1)距南的最大值为().A.1B.2C.3D.2B记点40,-1),直线y=4x+1)恒过点b-1,0),当48垂直于直线y=*x*)时,点40,-1)到直线的距离最大,且最大值为I8片日,故选B.考点一考点题型 命题全研透直线的平行与垂直(2023辽宁横拟)设mR,直线A:(m+2)x珀六2m6RSx+25+1=0,则"mW"是"川优"的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件若小则露，瑟;1(2m+8)解得方1或机=3若E则的因此,“m=T是"例工的充分不必要条件.(2)(2023江西南昌二模)已知直线2x-y1=0与直线x+my+2=0垂直,则m=().A.-2BwC.2D.i当m=Q时,x+my+2=0=>x=-2,由2x-y1R知y=2x+1,斜率为2,所以直线2z-y1W)与x=-2不垂直,不符合题意;当*O时,x+my+2RnyqXW,因为直线2x-y1=0与直姣x+my+2R垂直,所以f*2=-1,解得m2(>>1 .当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意Xy的系数不能同时为零这一隐含条件.2 .在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.感悟实践1.已知直线3y=0x+ay-2=0,若2,则a=).ATBwC.3D.-3A当aW)时%:x=2,此时A与力不垂直,不符合题意;当KO时/尸TXW4:片全血仇.J"P=I解得a/.2.(2023济南二模)'a=3"是"直线ax+y3=0与3x*a-2)yMR平行"的().A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A充分性:当即3时,直线ax+y3=0与3x*a-2)尸4=0即3xy-3=0与3广片4=0,所以两直线平行,故充分性满足.必要性:直境ax+y-3=0与3x<a-2)y4=0平行,则有a(a2)-3=0,解得a=3或a=1.当3=3时,直线axy-3=0与3x*a2)y4=0即3x-3=0与3x+y4=0,所以两直线平行,不重合；当a=时,直线ax+y3=0与3x(a-2)y4=0即-Xw3=0与3x3y4W),所以两直线平行,不重合.所以a=3或a=-1.故必要性不满足.故"a=3”是"直线ax+y3=0与3x>2)yMR平行”的充分不必要条件.考点二直线的交点与距离问题(1)已知直线/过点H12),且到点4(2,3)和点旦45)的距离相等则直线/的方程为.x3y-=0或X=-I当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y-2=xX),即kx-y+k+2R.由题意知严芒2U4空用,J2+lJk2+1即Bk-Il=附31，.*=鼻.直线/的方程为六2=j(x*),即x3y-5-0.当直线/的斜率不存在时,直线/的方程为x=1,也符合题意.故直线/的方程为x-f-3y-5=0或X=I(2)已知两条直线3*必*1力和K-IO的交点为何2.3),则过Q(a,b),Q(%¾)两点的直线方程为.2x3y-1=O:点H2,3)在已知的两条直线上，.栏?黎:上:点,m,Q(金是直线2x3y=1上的两个点，故过Q,Q两点的直线方程为2x+3六1W).(>>点到直线、两平行线间的距覆公式的使用条件(1)求点到直姣的距离时,应先化直姣方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且X/的系数对应相等.感悟实践1 .(2023安庆模拟)若直线M3Hm=O(mX)与直线:2*6六3R的距离为旧,则m=().A.7B.yC.14D.17B直姣Zx3y77=O(77).P2x用尸2。4),因为它与直线6:2X母局4)的距离为TU,所以,解得m考.故选B.2 .(改编)已知点用是直线x3y=2上的一个动点,且H5,-1),则的最小值为().AwB.1C.2D.3笆B/月例的最小值即为点H5j1)到直线xIy=2的距离,又玲髻=1,故网他最小值为1.故选B.考点三对称问题命题角度1点关于点对称过点H0,1)作直线4使它被直线A:2x”=0和笈XSy+10=0截得的线段被点Q平分,则直线/的方程为.x*4y-4=0设直线A与直线/的交点为4a8-2a),则由题意知,点A关于点。的对称点比-a2a6)在直线h上,把点8的坐标代入直线人的方程,得-a3(2a6)X0=0,解得a=4,即点4(4,0)在直线/上,所以由两点式得直线/的方程为XMHW).中心对称:点HXM关于点Q(ab)的对称点尸Ky)满足；：直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.感悟实践(2023平顶山统考)已知点41,2),H(m,2),若线段的垂直平分线的方程是*2外2=0,则实数m的值为().A.-2B.-7C.3D.1C因为41,-2)和口内2)的中点(等,0)在直线x2y-2=O上,所以等+2M)-2老所以m=3.命题角度2点关于线对称已知入射光线经过点M34),破直线x-y3=0反射,反射光线经过点M26),则反射光线所在直线的方程为.6x-y-6=0设点M34)关于直线/.x-y-f-3=0的对称点为何a力),则反射光线所在直线过点M',f4=叫慧二=JW。又反射光线经过点M2,6),所以所求直线的方程为察*,即6x-6=0.O-UZ-IU同源改嫔已知入射光线过点M34),被直线tx-y+3R反射,反射光线所在直线的方程为6xw6W求入射光线所在直线方程.设直线6x-y-6=0与直线X-H30的交点为4&功,则黑解得力(辞),故入射光线所在的直线方程为y-2444乐(x+3),化简得x-6y27=0.点E(a向关于直线4+为/心=0(7比。)的对称点为Em,ri),则有黑(加-1，4.等+ B等+C = 0感悟实践(改编)唐代诗人李硕的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设军营所在区域为A2V1,若将军从点4(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为Xy,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝小，将军饮马”的最短总路程为().A.1O-1B.22-1C.22D.10A设点42,0）关于直线x#尸3的对称点为Aa.b.则A4的中点为（竽pv-ZZ-Z从点A到河岸,再到军营的最短总路程,即点力到军营最短的距离,故“将军饮马”的最短总路程为FTP-1阪-1.故选A.命题角度3线关于点对称若直线欧tK+3a1R恒过定点例则追线2x+3*=0关于点例对称的直线方程为().A.2x*3y-12=0B.2x-3y-12=0C.2xy12=0D.2x*3y12=0D由axtK+3*1=0,可得4户3)*六1)=0,令。；：20'可得；=；，所以定点M31),且点不在直线2x3y6=0上,设直线2x3y-6=0关于点对称的直线方程为2x+3je(6)则黑,需解得c=12或C=6(舍去),所以所求的直线方程为2x3y12H.故选D.(S>>线关于点对称的两种求解方法(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求的直线方程.感悟实践直线x-2y-3=0关于定点M-2,1)对称的直线方程是.x-2y11=O设所求直线上任意一点为(XM,则关于M21)的对称点(4X2少在已知直线上,.所求直线方程为(4M2(2少3R,即发2y11O.命题角度4线关于线对称已知SBC的一个顶点44,-1),它的两个角的角平分线所在直线的方程分别为/1：X-HR和射X-IR,则8C边所在直姣的方程为.2x-y-t3=0由题意得点/1不在这两个角的角平分线上,因此A%是另两个角的角平分线所在的直线.点为关于直线/1的对称点4,点工关于直线人的对称点均在边8C所在直线/上.设4(MM,则有f×l=-l,Xl-4竽-*1=0,解得C：M所以4(03)同理设4(松间,易求得(-2,-1).所以HC边所在直线的方程为2*w+3R求直线A关于直线/对称的直线6,有两种处理方法(1)在直线上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线/的对称点,再利用两点式写出直线力的方程.(2)设点HxM是直线h.上任意一点,其关于直线/的对称点为月I(M,a)(月在直线A上),根据点关于直线对称建立方程组,用x,y聂示出,再代入直线的方程,即得直线人的方程.感悟实践光线沿直线Az-2y÷5=0射入,遇直线3x-2y74)后反射,则反射光线所在的直线方程为.29x-2y334)（法-）如圜噫2需7=°0,得C反射点用的坐标为（-1,2）.取直线x-2y÷5=0上一点HE。），设点尸关于直线/的对称点为P（D,）,由“口可知的"h而W的中点。的坐标为又点Q在直线/上,.3竽2乎7R.d=c, 由；。+53 得C（XO-5）-y° +7 = 0,13, 32131根据直线的两点式方程,可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y33=0.（法二）设直线x-2y百=Q上任意一点炖3）关于直线/的对称点为Q（XM,则鱼=4 XQ-X 5又尸尸的中点。（竽,竽）在直线/上,3空 2空+7=0,>oy= 2（由短一 F，pa） 0 -（3x 争y + %） + 7 = 0,（y0 =5x+l2y4213'12x+5y+28B代入方程x-2y5=0中,化简得29x-2y33=0, 所求反射光线所在的直线方程为29x-2y33=0.它基础过关1.（2023湖北武汉模拟）已知直线4:ax*a+2）yX=（U:X何+2=0,其中在R,则“a=3'是"八"的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件A直线AM的充要条件是a*a2）aH,所以a=0或a=3故选A.2 .（2023福建龙岩高三期末）若点HXM在直线2x-y÷5W）上,。为坐标原点,则/O的最小值为（）.A.5B.10C.25D.210/OR的最小值为原点O到直线的距离S7丝丝L=W即/阳的最小值为遥.故选A.J22+（-l）23 .已知直线Lax+by+c=Q与直线/关于直线x+*0对称,则/的方程为（）.A.bx+ay-cR3.ay-b×-c=QC.ay+bx+cRD.aybx+cQA在/的方程中以-X代替乂以少代替X即得/的方程.直线axW%W）关于直线尸尸0对称的直线/的方程是W少+-力fg0,即bx+ayc力.故选A,4 .（2023揭阳模拟）已知倾斜角为6的直线/与直线3x4H=O垂直,则s6的值为（）.AiBWcdA由垂直知两直线的斜率之积为】而直线3*4六1=0的斜率为a所以直线/的斜率为g即tan6=g嗡,得8为钝角,再根据Sin2Syos26=1,求得cos8=1.故选A.5 .若直线x-4y-7=0与双曲线CaA2*K（aX）的一条渐近线平行,则a的值为（）.A.B,C.4D.16Io4A双曲线Ca"K（*0）的渐近线方程为y=R'直线x-4y-7=Q的斜率为今由题意得G=,所以4卷故选A.6 .已知直线八GXWX=0,则下列结论正确的是（）.A.直线/的倾斜角是TB.过点（5,1）与直线/平行的直线方程是6x,+2RC点（X）到直线/的距围是2D.若直线rz-3y1R厕LmC直线3-y1=0的斜率为所以倾斜角是?故A错误;直线r-y2R的斜率是5,与直线/平行,且过点（I,5）,故B错误;点（VlO）到直线/的距寓心韶=2,故C正确;直线r.×y+=0的斜率为苧,而孚*旧小1故/与m不垂直做D错误.7 .已知直线k.×-y4,动直线笈（A+1）xAyM=0（检R）,则（）.A.不存在4,使得h的颈斜角为90°8 .对任意的k,h与h都有公共点C.对任意的大A与无都不重合D.对任意的"与人都垂直B当k=0时,直线的方程为x=0,此时的倾斜角为90。,故A憎误.直线k.×-y=0过定点（OJl）,直线力:GM）XMyMR（加R）可化为次/+1）仪=0,所以£过定点（0,）,故B正确.当*g时,直姣h的方程为*|月4即x-y-K此时/1与k重合,故C错误.