专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（原卷版）.docx

专题7.4复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】【人教A版(2019)姓名：班级：考号：题型一卜复数的四则运算QI1. (2023下河北邢台高一统考期末)已知复数Z满足IZ+2i=5,z=+(3-)i(>0).(1)求Q；(2)若复数Zl满足ZlZ+2)=+2i,求2. (2023高-课时练习)计算：(1)(1+2i)+(7-Hi)-(5+6i)：(2)5i-(6+8i)-(-l+3i);(3)(+bi)(2a3i)3i(,bR).3. (2023高一课时练习)设/(Z)=Z23z1=3+4i,Z2=-2it求：(1)/(Z1-Z2)的值；(2) f(Z+Z2)的值.4. (2023高一课时练习)已知复数。1+瓦。a2+i,a3+b3i(alfa2,a3,b1,b2,b3R),分别记作4,Z2»Z3,BPz1=1+b1i,z2a2+b2i,z3=a3+b3,求证：(I)ZlZ2=Z2Z1i(2)(z1z2)z3=Z1(Z2Z3);(3)z1(z2+Z3)=ZiZ2+Z1Z3,5. (2023全国高一专题练习)已知复数Zl=cos+isin,z2=COSB-isin0,0均为锐角，且IZI-z2=.(D求CoS(Q+S)的值;(2)若COSa=£求cos/?的值.6. (2023下黑龙江鸡西高一校考期中)己知更数Zl=-2+i,z2=-l+2i.(1)求Zl-Z2»zl÷z2(2)比较IZl-z2-k+Z2I的大小.7. (2023全国高一专题练习)计算.简6+篇；<+i)4r(l-4i)(l+i)+2+4i(3)；(4喀+寄-23+i22022(4-8i)2-(-4+81)2p7iT25i十IiTiJ十一il-7i一,8. (2023下湖南岳阳高一校考期末)设复数Z=+bi,z2=c+di,其中或从adR.现在复数系中定义一个新运算区)，规定：Z11Z2=(ac+bd)+(d+bc)i.(D已知1(2i)GQ+i)=求实数X的值；(2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：Zl®Z2=z若Zl0Z2=0,则Zl=0或Z2=0.请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.复数的四则运算与复数特征的综合应用9. (2023下河南郑州高一校考期中)已知Z为复数，Z-6和亮均为纯虚数，其中i是虚数单位.(1)求复数Z的共聊复数2；(2)若复数-一½+二小在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m的取值范围.zm1m-210. (2023全国高一专题练习)复数Z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(mR),求实数m的取值范围使得：(I)Z为纯虚数；(2)z在复平面上对应的点在第四象限.11. (2023全国高一专题练习)已知复数Zi=1+(a2o)i,¾=(2a5)i(>0)»z1+z2R-(1)求实数Q的值；(2)若zC,怙一Z2=2,求IZl的取值范围.12. (2023上山东日照高二统考期中)已知i是虚数单位，复数Z的共枕复数是五且满足z+25=3-2i.求复数Z的模|z|；(2)若复数z(2-mi)在复平面内对应的点在第二象限，求实数机的取值范围.13. (2023下河北石家庄高一石家庄一中校考期末)已知复数Zl=+i,z2=1-i,其中Q是实数.(1)若非=-2i,求实数的值；(2)若攀纯虚数，求/+g)2+g)3+(1)2023.14. (2。23上浙江高二校联考开学考试)已知复数Z满足三=3G是虚数单位)求Z的值；(2)若免数(Z-m)2-55在笈平面内对应的点在第三象限，求实数机的取值范围.15. (2023下辽宁沈阳高一沈阳二中校考阶段练习)在复数Z满足z+i和三均为实数；5为复数Z的共枕复数，且z(l+i)=5+l;亚数2=。+加(。1</<0)是关于K方程产4%+5=0的一个根，这三个条件中任选一个(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)，并解答问题：求复数z；(2)在复平面内，若Z=5+2+(m2+m-3)i对应的点在第四象限，求实数用的取值范围.16. (2023下辽宁锦州高一统考期末)已知i是虚数单位，cbbR,设复数Z=2-gi,z2=2b+z3=a+bi,且Z3=1.若Zl-Z2为纯虚数,求Z3；(2)若复数zi，Z?在复平面上对应的点分别为A，B,且。为复平面的坐标原点.是否存在实数,b,使向量而逆时针旋转90。后与向量万5重合，如果存在，求实数，8的值；如果不存在，请说明理由；若O,A,8三点不共线，记AABO的面积为S(,b),求S(,b)及其最大值.题型三卜复数范围内方程的根的问题OI17. (2023下上海奉贤高一校考阶段练习)设虚数Zi、Z?满足比=z2.(1)若Zi、Z2又是一个实系数一元二次方程的两个根，求Zi、Z2J(2)把(1)中虚部大于零的根记作3,对任意整数m,计算3rn+m+l+t0m+2;(3)若Zi=I+M(i为虚数单位，k为实数)，z12,复数a=Z2+3,求囚的取值范围.18. (2023全国高一专题练习)关于工的实系数一元二次方程/+m%+/=0.(1)若方程有一个根是2-3i,求m+九的值；(2)当九=3时，方程的两个虚根石,2满足1不-%2=22,求m的值.19. (2023下江苏盐城高一校考阶段练习)己知虚数ZI=4cos0+3sni,z2=2-3sin0i,其中i为虚数单位，ER,Zi、Zz是实系数一元二次方程Z?+mz+Ti=O的两根.求实数”、的值：(2)若IZ-Zll+z-Z2=35,求IZl的取值范围.20. (2023下高一课时练习)已知关于X的方程/一2。+。2-4。+4=0伍外在复数范围内的两根分别为a、0.(1)若该方程没有实根，求实数4的取值范围；并在复数范围内对/-2。+次一4。+4进行因式分解；(2)若+网=3,求实数的值.21. (2023全国高一专题练习)设,bR,己知与，不为关于X的二次方程/+2x+b=0两个不同的虚根，（1）若b=2,求实数的取值范围；（2）若以i-%2=2,+=1»求实数,b的值.×2xI22. （2023高一课时练习）已知关于x的实系数一元二次方程/+ax+b=0（,b/?）.（1）若一根为l-2i,求a,b的值；（2）若存在模为1的虚数根，求,b满足的条件；（3）设=b=2,Zo是虚数根，记z0,z02,ZO-z02在复平面上对应点分别为A,B,C,求（OA+OB）OC的值.23. （2023高一单元测试）在Z2豆=10（>0）；复平面上表示包的点在直线x+2y=0上;za-i）>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数Z=l+i,Z2=a+3i：（i为虚数单位），满足（1）若Z=2+上，求复数Z以及IZ卜Zl（2）若N2是实系数一元二次方程/+mx+4-3m=0的根，求实数m的值24. （2023下上海闵行高一校考阶段练习）已知关于X的实系数一元二次方程27-4（m-1）%+zu?+1=0（1）若771=2,求方程的两个根；（2）若方程有两虚根Z0,IzJ+=4,求Tn的值;(3)若方程的两根为右,不，其在复平面上所对应的点分别为4%点A关于y轴的对称点为C(不同于点A),如果而沆-l,求根的取值范围.复数综合。25. (2023高一课时练习)已知：对于任意的多项式“幻与任意复数z,/(Z)=OoX-Z整除/(%).利用上述定理解决下列问题：(1)在史数范围内分解因式：x2+x+l;(2)若/+X+1=0,求1+%22+3的值；(3)求所有满足/+1整除/n+n+1的正整数构成的集合A.26. (2023高一单元测试)已知复数Z满足z=,Z2的虚部为-2,且Z所对应的点在第二象限.(1)求复数z；(2)若复数3满足1Z,求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.27. (2023高一课时练习)计算：黑;+悟广+(-?+亨J'(2)若复数Z满足IU卜(arg(?)W，求复数42-2怙|一刃+75的三角形式.(3)利用复数证明余弦定理.28. (2023高一课时练习)对一般的实系数一元三次方程a/+b/+c%+d=O(Q0),由于总可以通过代换X=丫-卷消去其二次项，就可以变为方程/+p%+q=0.在一些数学工具书中，我们可以找到方程炉+px+q=O的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程/+p%+q=0可以变形为%3=-p%+(_q),把未知数X写成两数之和X=n+n,再把等式/=(m+n)3的右边展开，就得到/=m3+n3+3nn(m÷n),即/=Smnx+(m3+n3).将上式与3=-p+(-q)相对照，得至，把此方程组中的第一个方程两边同时33-pfm3=-÷1倒+(砰作三次方,fnn=I一亍，并把113与n3看成未知数，解得(2y±_，于是，方程/+px+jJb3=4-M÷)3q=°一个根可以写成X=卜+厢+(亍+，+JG)?+(1阅读以上材料，求解方程/-3/-12%+10=0.29. (2000上海高考真题)已知复数Zo=I-Tni(Zn>0),z=%+yi和3=+yi其中%,y,My'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数Z,有3=而Z3=2z.(1)试求m的值，并分别写出/和/用x、y表示的关系式；(2)将(%,y)作为点P的坐标，(x',y')作为点。的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点尸变到这一平面上的点Q,己知点P经该变换后得到的点。的坐标为(百,2),试求点P的坐标;(3)若直线y=依上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值.30. (2023下上海浦东新高一校考期末)对于一组复数Zi，Zz，Z3,，zr(N,z3),令Sn=ZI+Z2+z3+zn,如果存在ZP(Pl,2,3,n),使得忆PlSn-zp,那么称ZP是该复数组的“M复数”.(1)设zn=n+(n-%)i(n1,2,3),若Z3是复数组z1，Z2»内的“M复数”，求实数X的取值范围；(2)已知Zi=i,Z2=l+i,是否存在复数Z3使得Zi，z2*Z3均是复数组Z2»Z3的“M复数”？若存在，求出所有的Z3,若不存在，说明理由；(3)若ZZl=GyT+i(-l)n(N,nl),复数组z2,Z3,，Zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由.31. (2023下上海徐汇高一上海中学校考期末)利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(Z1,Z2)(其中Z,Z2C)视为一个向量，记作&=(Z,Z2).类比平面向量可以定义其运算，两个复向量d=Q,Z2),j=(zjz。的数量积定义为一个复数，记作。瓦满足d=z1z+复向量茂的模定义为Ml=d.(1)设反=(I-i,i),=(3,4)»i为虚数单位，求复向量及、G的模；(2)设左、G是两个复向量，己知对于任意两个平面向量五=b=(x2,y2)>(其中X1,%2,%,y2WR),d同d司成立,证明：对于复向量苏瓦怔g训同也成立；当怔=同同时，称复向量左与。平行.若复向量莅=(l+ll-2i)与耳=(i,z)平行(其中i为虚数单位,zef求复数z.32. (2023下上海闵行高一统考期末)通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(Z1,z2)(z1,z2C)看作一个向量，记五=(z1,z2),则称五为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于d=(z,zz),b=(z3fz4)fz1,Z2、Z3、Z4、C,我们有如下运算法则：d±b=(z1±z3,Z2±z4);Ad=(z1,z2);G5=Zi石+Z2看；闷=Fa.(1)设G=(i,l+i),b=(2,2-i),求,+B和d(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：日b=bd五(b+c)=db+dc(入五)b=d(Ab).试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.(3)若d=(2i,1),集合Q=训/=(x,y),y=2%+l,%,yC,BC.对于任意的FQ,求出满足条件Q-WG反=O的反并将此时的b记为Z,证明对任意的Bq,不等式B-同W-引恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题(不需要证明).