专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单）（解析版）.docx

专题03直线的方程及其位置关系（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练7考点清单01：斜率与倾斜角变化关系7【考试题型D斜率与倾斜角变换关系7考点清单02：求斜率或倾斜角的取值范围8【考试题型1】直线与线段有公共点，求斜率取值范围8考点清单03：斜率公式的几何意义的应用10【考试题型1】利用斜率的几何意义求代数值（范围）10考点清单04：直线方程11【考试题型1求直线方程11考点清单05：两条直线平行与垂直关系15【考试题型D两条直线平行与垂直关系的判定15【考试题型2】根据两条直线平行与垂直关系求参数16考点清单06：根据直线平行，垂直求直线方程18【考试题型1】求平行，垂直的直线方程18考点清单07：直线过定点问题19【考试题型1直线过定点问题19考点清单08：直线与坐标轴围成图形面积问题21【考试题型1】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）21【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）24考点清单09：易错点根据截距求直线方程27【考试题型1】易错忽略过原点的直线27考点清单10：对称问题29【考试题型11点关于直线对称点29【考试题型2】直线关于点对称问题（求4关于点尸卜力）的对称直线则44）.31【考试题型3】直线关于直线对称问题（两直线相交）34【考试题型4】直线关于直线对称问题（两直线平行）35【考试题型5】将军饮马问题36一、思维导图二、知识回归知识点01:直线斜率的坐标公式如果直线经过两点A(,y),(2,y2)(X,X2),那么可得到如下斜率公式：Z二上Zix2x(1)当M=X2时，直线与X轴垂直，直线的倾斜角a=90,斜率不存在；(2)斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；(3)当时，斜率2=0,直线的倾斜角a=0，直线与X轴重合或者平行。知识点02：两条直线平行对于两条不重合的直线4，4,其斜率分别为勺，&2,有4l|，2=4=&2.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)。OK=kI成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；4与，2不重合.当两条直线不重合且斜率都不存在时，4与，2的倾斜角都是90，则/JlL(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：kO%=h或h，4斜率都不存在如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1；反之,如果它们的斜率之积等于-1,对两宜线垂直与斜率的关系要注意以下几点(I"!.L=K/z=T成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；KWo且22°(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.(3)判定两条直线垂直的一般结论为：1上6=K左2=一1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.定义:关于X, y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于X, y的二元一次方程Ar+3）, + C = 0（其中A,B不同时为0A?+5?0）叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1 .A、8不全为零才能表示一条直线，若A、3全为零则不能表示一条直线.当时,4C方程可变形为y = -6工一百, BB它表示过点（0,一升 斜率为-授的直线.C当5=0,A0时，方程可变形为Ax+C=0,即X=-一，它表示一条与X轴垂直的直线.A由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线.2 .在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于无、y的一次方程.3 .解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.知识点08：两条直线的交点坐标直线A+qy+G=0(A：+B：WO)和4工+为+。2=0(用+医WO)的公共点的坐标的解-i对应.1x+Bly÷C1=0A2x+B2+C2=04与乙相交。方程组有唯解，交点坐标就是方程组的解;4与4平行。方程组无解;/,与4重合。方程组有无数个解.知识点0%两点间的距离平面上任意两点6($,必)，鸟(%2,%)间的距离公式为I牝I=J(x2f)2+(%f)2特别地，原点。(0,0)与任一点P(,y)的距离IOpI=JT寿.知识点10：点到直线的距离.IAxh+ByC+CI平面上任意一点E)(X0,y0)到直线/：Ax+By+C=0的距离d=/.A2+B-知识点Ih两条平行线间的距离一般地，两条平行直线4：Ayx+Biy+Cl=O(A12+B12O)C-CI2:A2x+8,y+C,=0(由+&+0)间的距离d=J?yA+B知识点12：对称问题点关于直线对称问题(联立两个方程)求点尸（内，弘）关于直线/：Ar+8y+C=O的对称点Q（o/）设尸Q中点为A利用中点坐标公式得“匹+。y+匕、+。X+匕、八、十小，4厂rx.4-），将4一）代入直线/：AX+8），+C=O中;2222即04=-1整理得：P8W+C=022W令TUjB三、典型例题讲与练考点清单01：斜率与倾斜角变化关系【考试题型11斜率与倾斜角变换关系【解题方法】图象法【典例1】（2023上福建泉州高二福建省德化第一中学校考阶段练习）直线小，2,，3,。的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（）A.,liB.2»hC.*I2D.4,Z1【答案】B【详解】直线4,4的倾斜角为钝角，斜率为负，电线44的倾斜角为锐角，斜率为正，其中的倾斜角大于。的倾斜角角，4的倾斜角大于4的倾斜角，因此直线4的斜率最大，直线A的斜率最小，故选：B.【典例2】（2023上江西南昌高二校考阶段练习）若直线/的倾斜角为。，且45t5<135o,则直线/斜率的取值范围为（）A.l,+）B.（-°°»1C.11D.1,+）<j（-00,-1【答案】D【详解】直线倾斜角为45时，斜率为1,直线倾斜角为135时,斜率为T,当倾斜角为90时，斜率不存在，因为R=tan在呜)上是增函数，在(Q)上是增函数，所以当45o135。时，上的取值范围是l,+)5-,T【专训11】(2023上河南南阳高二校考阶段练习)己知直线Ir4的倾斜角分别为30。,53。，125。,斜率分别为K，kvJ则()A. kl<k2<k3B. k2<kl<k3C. k3<ki<k1D. k3<k2<ki【答案】C【详解】4=IanI25<0,0<=tan30<k2=tan53,所以3<4<欠2，故选：C考点清单02：求斜率或倾斜角的取值范围【考试题型1直线与线段有公共点，求斜率取值范围【解题方法】图象法【典例1】(2023上四川遂宁高二射洪中学校考阶段练习)己知直线/：(+2)x+(n-l)y+w-l=0,若直线/与连接A(To)1(2,1)两点的线段总有公共点，则直线/的倾斜角范围为()兀(33兀、兀3冗、八兀(3、A.-,-uB.,C.D.0,-i,42)124JL4)L44JL4【4)【答案】C【详解】解：如上图，由题意T线/方程（m+2）x+（m-l）y+m-1=0可化为:mx+y+)+2x-y-i = 0,由x+y + l = 0 , 2.)T=。解得:x = 0y=立线/过定点C（O1）.乂人（一1,0）,8（2,1）,/.kCA=-=-1»kCB=-=1,TUZ-U.由直线/与线段44总有公共点知直线/的斜率%满足心-1或kl,当ml时，直线/的斜率女=一=二T一二；工一1,m-tn-直线/的倾斜加满足争吟,即直线/的倾斜角范围为:多）故选：C.【专训11】（2023上山东泰安高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知点A（2,-3）,8（-3,-2）,经过（1,1）点的直线/与线段AB相交，则直线/的斜率上的取值范围是（）B. -4Jl-43A.A-或k-44C. k < 53D.-k44【答案】A343根据图象可得直线1的斜率的取值范围是&Z或Y故选：A考点清单03：斜率公式的几何意义的应用【考试题型1利用斜率的几何意义求代数值（范围）【解题方法】转化【典例1（多选）（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模）点Ma,y）在函数y=e*的图象上，当玉0,l）,则2j-T可能等于（）xlA.-1B.-2C.-3D.0【答案】BC【详解】由%表示Ma,y）与点4LT）所成直线的斜率3x-1【典例2】（2023全国高三专题练习）函数y=:的值域为.CoSX-2力.-4-7-4+7答案广,一六【详解】y=S式小点（COSX,sinx）与点（2,-2）连线的斜率,（sx,sinx）的轨迹为圆X2+y2=1,.y=”当表示圆f+）,2=1上的点与点（2,_2）连线的斜率，COSX-2由图象可知：过(2,-2)作圆/+J=1的切线，斜率必然存在,则设过(2,2)的圆/+卜2=1的切线方程为)，+2"(工2),即"-y-2%-2=0,圆心(0,0)到切线的距离d=械斗=1,解得：k=4丁,结合图象可知：圆f+y2=l上的点9点(2,-2)连线的斜率的取值范围为Zly,若巨即,=独”三的值域为士也.若且cosX-2L33故答案为：z且，z也【专训1-1(2023河北校联考三模)函数y=浮竺的值域是.I-COSX【答案】j+8)(详解】函数y=二”的几何意义是在仃.角坐标平面内定点A(l,2)叮动点M(COSXfSinx)连线的I%.1-cosx易知动点M在以(0,0)为圆心，1为半径的圆除(LO)以外的点上，易知直线AM的斜率存在，设为屋则直线AM为y-2=«v-l)即丘-y+2-k=0,则gLl,解得A,即值域为"+s.F+14L4)故答案为：;，+8)考点清单04：直线方程【考试题型1求直线方程【解题方法】直线方程五种形式【典例1】(2023上北京大兴高二统考期中)已知“1BC中，点A(T,0),点3(2,0),前C(O,币).(1)求边AC上的高所在直线的方程；(2)求/朋C角平分线所在直线的方程.【答案】>=-¥。-2)>邛*+1)【详解】(I)因为点4(一LO),点C(O,#),所以边AC所在直线斜率须0=石,所以边AC上的高所在直线8。的斜率k=-B,口过点5(2,0).3所以边AC上的高所在在线的方程为y=-程(彳-2).(2)由A”.二6得ZfiAC=6O。，所以/BAC向平分线的倾斜角为30。，所以4AC角平分线所在直线AE的斜率k、=tan300=W.又因为NBAC角平分线AE过点A(TQ),所以284C角平分线所在直线的方程为y=3(x+1).【典例2】(2023上四川内江高二校考期中)已知直线/：(m+l)x+(m3)y+2帆+10二0(wR).(1)求证：直线/与直线3x+7y-2=0总有公共点；(2)若直线/交X轴的负半轴于点A,交)轴的正半轴于点8,。为坐标原点，设&AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线/的方程.【答案】(1)证明过程见解析(2)S最小值为16,此时直线/的方程为x-2y+8=0.【详解】(1)直线/变形为相(x+y+2)+x-3y+10=0,fx+y+2=0fx=-4,、令；SZ解得o，故真线/恒过点T2,(x-3y+10=0y=2X3×(-4)+7×2-2=0,故点(-4,2)在3x+7y-2=0上，故直线/与直线3x+7y-2=0总有公共点；(2)直线/交X轴的负半轴于点A,交V轴的正半轴于点3,故直线/的斜率存在且大于0,in+lO7i-3O,（，+1）%+（2-3）+2/«+10=0（"71<）中，令y=0,得X=二“三;,（团+1）工+（2-3）丁+2/72+10=0（，£1<）中，令X=0,得y=-"”+10,2m+10八<0显然o,n+!n,解得T<*3,2”?+10八>0tn-3rlllr12w+10(2n+102(m+5则广由E令m+5=f(4,8),=2-二It2=2=2则,二一(-4)(-8)=2-12÷32=3212+1=Tj71，因为!eUl所以当时,N取得最小值,最小值为16,所以S的最小值为16.t84Jt16此时加+5=与，%,直线/的方程为x-2y+8=0.【专训11】(2023上四川内江高二校考期中)根据下列条件，分别求满足条件的直线的方程:过原点，且点(1,2)到该直线的距离为1；(2)经过两条直线4：x-2y+4=02:x+y-2=0的交点P，且与直线4：x+4y-5=0垂直.【答案】(I)X=O或y=:4(2)4x-y+2=0【详解】(1)当直线斜率不存在时，直线方程为R=0,此时点(1,2)到该直线的距离为1,满足题意,-233当直线斜率存在时，设直线方程为V=丘，所以TT=1,解得2=3,此时宜线方程为y=',l+2443综上，所求直线方程为X=O或y=J4f%2y+4=0(2)由',得到X=O,y=2,所以P(0,2),x+y-2=0又因为直线4的斜率为女=-!，所以，所求直线方程的斜率为4，4所以，过点尸(0,2),且与直线g垂直的直线方程为：J-2=4xtW4x-y+2=0.【专训1-2(2023上全国高二专题练习)若直线/经过直线4：2x+y-8=O和4"-2y+l=0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为求直线/的方程.【答案】x-yT=0或4x-9y+6=0【详解】方法一：由j2x+y-8=0,x-2y+l=0,得交点M(3,2),由题意可知直线/在X轴、)，轴上的截距均不为零,故可设直线/的方程为2+q=("o)321-1- - = L a b 扣悯=；,3 2 1I + - 1,所以a bab = (无解,3 2 14 = L 舍去)或Ja bab = -,解得所以直线/的方程为:+=或J/3即x-y-l=0或4x-9y+6=0.f2x+V-8=0>方法二：由CI八，得交点”(3,2),x-2y+l=0,由题意得直线Z的斜率女存在且k0,设直线/的方程为y-2=k(x-3).2令X=0,得y=2-3%;令y=0,得工=3-7.由5=m2_3修3_=:，解得Z=I或&=当k=1时，直线/的方程为y-2=x-3,即x-y-l=0;44当=时，直线/的方程为y-2=1*-3),即4x-9y+6=0.方法三：易知直.线工-2)，+1=0与坐标轴围成的三角形的面积So=；xlxgwg,所以直线/的方程不可能是x-2y+l=0.故可设直线/的方程为2x+y-8+x-2y+l)=0(2为常数)，即(2+2)x+(l-2)y+-8=0.由题意得(2+4)(l-2l)("8)0,令X=0,得y=一令尸。，得X=-=41242+Z10_oIlI-21所以直线，与两坐标轴围成的三角形的面枳S=7-广=-丁=7，Z12/1112+ZZ所以(48)2=|(124)(2+义)|,解得；1=3或;l=-22.当几=3时，直线/的方程为-y-i=0:当；I=22时，直线，的方程为4x-9y+6=0考点清单05：两条直线平行与垂直关系【考试题型H两条直线平行与垂直关系的判定【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1【典例1】（2023上山西朔州高二校联考阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线4x-yT=0垂直的是（）A.4x+j-1=0B.x+4y+l=0C.2x÷8y-3=0D.8x-2j+5=0【答案】BC【详解】直线4x-y-1=0的斜率为4,则与直线4x-yT=0垂直的直线的斜率为-：，符合条件的为B、4C项.故选：BC【典例2】（2023上河南高二校联考期中）“a=4”是“直线4：（a+2）x+2=0和直线22Mfx+"2）T=0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C3【详解】当1=4时，/3x+2y+l=0,2:3x+2y-l=0,两直线斜率都为L=-I且不重合，所以两直线平行；当两直线平行时，由3+2）（。-2）-（-l）=0,即°-4=0,解得a=4,经检验=4时，两直线平行，故=4.综上河知，“a=4”是“直线4（+2）x+2=0和宜线/2：（。-1）工+（。-22一1二0平行”的充要条件.故选：C【专训11】（多选）（2023上高二课时练习）下列各直线中，与直线2x-y-3=0平行的是（）A.20c-a+6=0（a0,-2）B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=0【答案】ABC【详解】两直线4：A+4y+G=OJ2：A2x+s2y+c2=0,其平行的充要条件为=4四且A1C2或C1B2C2B1,对于A项，易知2x(-)=Tx2且一3x2w26,即A正确；对于B项，易得y=2x=2x-y=0,有2x(1)=-1x2且0x2w-3x2,即B正确；对于C项，易知2x(T)=-IX2且5x2-3x2,即C正确；对于D项，易知2lw-lx2,D项不符合.故选：ABC【专训l-2(2023上江苏淮安商二淮阴中学校考开学考试)直线4：Z7tx-3y-l=0,12：(3m-2)x-+2=0t则"=0或-g”是FU”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【详解】当m=0时，直线心J=-,2:x=l,两直线倾斜角分别为0和90，4,七当m=一；时，直线4的斜率为一1,4的斜率为9,-×9=-1,l±2.充分性成立，直线I：mr-3><-l=0,I2：(3n-2)x-wy+2=0,l12,则有w(3n-2)+3n=0,解得m=0或m=-g.必要性成立.所以“加=O或-;”是U的充要条件.故选：C【考试题型2】根据两条直线平行与垂直关系求参数【解题方法】斜率相等或斜率相乘为T【典例1】(2023上湖南高二嘉禾县第一中学校联考期中)设直线：XSine-ycos9=l,Q6r+yT=0,若%则6可以为()C兀一2兀、5兀A.-B.-C.D.6336【答案】A【详解】因为直线4：XSine-ycos6=l,Z2：+y-l=0,且，(，则SineX6-COSeXl=0,所以Sine=立COs。，即tan。=立3CoSe3所以J=F+E,AeZ,故。可以取到.66故选：A.【典例2】(多选)(2023上江苏泰州富二泰州中学校考期中)若三条直线/3x+"7y-l=O,(3x-2y-5=O,h6x+y-5=O不能围成三角形，则机的值可以是()A.2B.-2C.LD.一22【答案】ABC【详解】三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：33“4,则有一三=9,解得Z=-2：m231。3,则有-±=-6,解得m=gm2/"2,3相交于同一个点，f3x-2j-5=01i6x+j-5=0，解得F=：代入3x+“y1=0,可得3-m-l=0,解得7=2；IJ=-I故选:ABC.【专训11】(2023上江苏徐州高二统考期中)已知直线4：%+(m+1)丁+m一2=0,，2：2，心+4)，+16=0平行，则这两条平行直线之间的距离为.【答案】外叵5【详解】已知两直线平行，IjliJ1×4-2w×(m+1)=0,解得利二-2或1,当AW=-2时，两直线方程相同，舍去，当n=l时，I1:x+2y-l=0,Z2:x+2y+8=0,则两直线间距离为t=芈.故答案为：巫5【专训12】(2023上甘肃武威高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中)已知直线C0r-y+2=0,Z2.(a+2)x-ay-2=0.(1)若“2,求实数。的值；若4IL求实数的值.【答案】(1)4=2(2)=-3或0【详解】因为直线/：Gr-y+2=0,Z2:(«+2)x-a>'-2=0,J12,i-a2=-(a+2),三U2(.÷2解得"2(2)因为L4,则(+2)+=/+M=0,解得。二一3或0.I考点清单06：根据直线平行，垂直求直线方程【考试题型H求平行，垂直的直线方程【解题方法】斜率相等或斜率相乘为T【典例1】(2023全国高二课堂例题)已知直线/的方程为3x+4y72=0,求直线的方程，使满足:过点(T3),且与/平行；过点(T,3),且与/垂直；【答案】3x+4y-9=0(2)4x-3y+13=0(3)4x-3y+46=0K4x-3y-46=03 3【详解】(1)方法一/的方程可化为了=-9+3,/的斜率为一;4 4/，与/平行，./'的斜率为-1.4又r过点(-1,3),由点斜式得直线r的方程为y-3=+l),即3x+4y-9=0.方法二由/'与/平行，可设r的方程为3x+4y+m=0(w-12),将(-1,3)代入得加=-9.,所求宜线方程为3x+4y-9=0.方法三由/'与/平行，且过点(T3),则/'的方程为3(%+l)+4(y-3)=0,即3x+4y-9=0.(2)方法一/的方程可化为y=-=+3,/的斜率为444由/'与/垂宜，得r的斜率为又/'过点(1,3),.由点斜式得直线r的方程为y-3=g(x+l),即4x-3y+13=0方法二由/'与/垂直，可设/'的方程为4x-3y+"=0,将(T3)代入得=13.所求直线方程为4x-3y+13=0.【典例2】(2023上广,东广州高二华南师大附中校考期中)已知直线满足下列条件，求直线方程：(1)经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-l=0的交点，且平行于直线5x-y+100=0；【答案】(l)5x-y-3=02x-3y=O或/+y-5=0+2y5=01:八，解得一寸即交点坐标为。，2)，3x-y-l=0y=2因为所求直线平行于直线5x-y+100=0,所以所求直线斜率化=5,所求直线方程为y-2=5(xT),5x-y-3=Q.【专训1-1】(2020上.四川成都.高二校考期中)已知直线/经过点P(-2,2).(1)若直线/平行于直线3x-2y-9=0,求直线/的方程.(2)若直线/垂直于直线3x-2y-8=0,求直线/的方程.【答案】(l)3A2y+10=0(2)2x+3y-2=0【详解】(1)因为直线/平行于直线3x-2y-9=0,故设直线/的方程为3x-2y+W=0,又直线/经过点P(-2,2),则3x(-2)-22+m=0,解得根=10,故所求直线方程为3x-2y÷10=0.(2)因为直线/垂直于直线3x-2y-8=0,故设直线/的方程为2x+3y+=0,又直线/经过点P(-2,2),则2x(-2)+32+30,解得=-2,故所求直线方程为2x+3y-2=0.I考点清单07：直线过定点问题【考试题型1】直线过定点问题【解题方法】两条直线相交交点坐标【典例13.(2023上河北石家庄高二石家庄一中校考期中)不论2为任何实数，直线(2&-1)*-伏+3)，-(女-11)=0恒过定点，若直线如+”=2过此定点其中如是正实数，则士十丁的最小m2值是()a2127c21-27A.-B.CD.4422【答案】B【详解】由直线(2A-I)X-伏+3)y-(A-II)=On(2x-y-l)A-x-3y+ll=0,2x-y-=Ox=2,、得："11,产二，即恒过点2,3,-x-3y+ll=0y=3因为直线s+y=2过此定点，其中是正实数所以2，+3=2,l311(31、Go139h则一+丁=7+(2"?+3)=彳6+不+一,tnIn2m2n)22mn)i+2J-×-1=V*当且仅当相=3=?时取等号；22VwnJ43故选：B【典例2】(2023上浙江高二校联考期中)设帆R,若过定点A的动直线x+my=0和过定点8的动直线皿一尸?+2=0交于点P(x,y),贝JM归目的最大值是()A.-B.2C.3D.52【答案】A【详解】依题意，直线工+切=0过定点A(0,0),直线侬-y-m+2=0可整理为相(X-I)+(2-y)=0,故直线过定点8(1,2),又因为直线+妆=0和直线侬-丁-加+2=。始终垂直，。为两直线交点，所以PA±PB,则M=IF2+p2=(I-O)2+(2-O)2=5,由基本不等式可得附郴I归"时=增=当且仅当IPAl=PB=萼时取等号，所以EM的最大值是故选：A.【专训11】(2023上全国高二专题练习)已知明6满足%+b=l,则直线以+3y+b=0必过定点()【答案】D【详解】由2+6=1,得b=l-2a,代入直线方程奴+3y+6=。中，得r+3y+l-2=0,即(x-2)+3y+l=0,x-2=0fc,3»=。解得所以该直线必过定点2,一故选：D【专训12】(2023上广东深圳高二校考阶段练习)点P(-2,-l)到直线/l+34)x+(l+4)y-2-4l=0(;lR)的距离最大时，直线/的方程为()A.3x+2j-5=0B.3x÷2y+8=0C.2x-3y-2=0D.2x-3+l=0【答案】A【详解】直线+I)X+(1+X)y2-4l=0(lR)可变形为x+y-2+(3x+y4)2=0,由“:；+；2；：)解得I；1'故直线/过定点4(草)当附为点'到直线的距离时点P(T-I)到直线1.(l+34)x+(l+;l)y-2-4>l=0(lR)的距离最大，-1-123此时直线RA的斜率为即A=V4=3故此时直线/的方程为>-1=-1又-1),整理可得3x+2y-5=0.故选：A考点清单08：直线与坐标轴围成图形面积问题【考试题型U直线与坐标轴围成图形面积问题(定值)【解题方法】三角形面积公式【典例1】(2023上山东高二校联考阶段练习)已知直线/与直线弘+4)，-7=0的斜率相等，且直线/与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24,则直线/的方程为()A.3x÷4y+12=0B.3x+4y+24=0C.3x+4j-12=0D.3x+4y-24=0【答案】D【详解】可设直线/的方程为3x+4y+C=0(Cw-7),CC令X=O得,=-1，令y=o得X=因为直线/与两坐标轴在第象限内所围成三角形的面积为24,CC所以I>o,>I故c<o,且Hd=24,解得C=-24,故直线/的方程为3x+4y-24=0.故选：D【典例2】(2022上湖南长沙高二校联考阶段练习)已知直线/:依-y+l+2A=0(AR).证明：直线/过定点；(2)若直线/不经过第四象限，求左的取值范围；(3)若直线/交X轴负半轴于A,交y轴正半轴于3,AOB的面积为S=4(。为坐标原点)，求直线/的方程.【答案】(1)证明见解析，。+8),(3)x-2j÷4=0.【详解】(I)证明：直线/的方程可化为Hr+2)+(l-y)=0,a(x+2=0,x=-2令仁3解得K所以无论Z取何值，直线/总经过定点(-2,1).1+2(2)由方程知，当A0时，直线在X轴上的截距为卢,在y轴上的截距为1+23K要使直线不经过第四象限，则必须有30kl+20解得2>0；当上二O时，直线为y=i,符合题意，故的取值范围是O+8)(3)由题意可知A0,再由直线/的方程，得,0),8(0,1+24).1+21依题意得1,解得上>0.l+2>0,因为S=/IQAIOB=:.l+2kZ乙K1 (1+22)2«1八2 k2k)所以=；，所以直线/的方程为x-2y+4=0.【专训11】(2022江苏高二专题练习)直线/经过两条直线/1：1+丁-4=0和/2»7+2=0的交点,且试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.与直线2x-y-l=0平行，直线/在K轴上的截距为-；.(1)求直线/的方程；(2)求直线/与坐标轴围成的三角形面积.答案(l)2x-y+l=0吟【详解】解：选直线/经过两条“线4：x+y-4=o和z"-y+2=0的交点,x+y-4=0C2=。,解得A卬即机储直线/与直线2x-y-l=0平行.1,，可设直线/的方程2->'+w=0,把P(l,3)代入可得加直线/的方程为2x-y+l=0,选；直线/经过两条直线4"+y-4=o和4-y+2=o的交点,x+y-4=0x-y+2=0解得x = ly = 3,即 P(l,3),由题意可知直线的斜率存在，设为女且女工0,则y-3)过(总。代入即0_3=收_1)解得女=2,直线/的方程2x-y+l=0,(2)解：在直线3-y+l=0中，令X=O可得y=l,令y=o可得%=-；，所以直线/与坐标轴围成的三角形面积S=:lg=!224【专训12】(2022上北京西城高二北京市西城外国语学校校考期中)已知M平面上的直线/:依-y+l+2k=0MwR,且/与X轴和)，轴分别相交于点4,B.当%>0时，求“OB面积的最小值.Q(2)若-AOB的面积为求k的值.【答案】(1)4;(2)/=或或/=13±3折4«【详解】(1)直线/：kx-y+2k=0f令X=O可得y=l+2k：令y=o,可得X-2k,B(0,l+2),因为女0,所以aAO8的面积S=T-I-2k÷=f÷)=(4÷4/CJK,4+2新g(4+22)=4,当且仅当)=必即女=；时等号成立，S的最小值为4,K乙(2)由(1)可得JOB的面积S=T匚尹l+2K=I口牛U=T写”,2k22因所以39-=3,整理可得必2+必+1-9网二。.2k2易得A0,当0时，方程可转化得4公-5k+l=0，解得Z=I或=：；当k0时，方程可转化得4/+13左+1=0,解得=73±37,8综上所述，Z=I或T或&=i3±3i748【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题(最值)【解题方法】三角形面积公式+基本不等式【典例1】(2022上四川成都高二校考阶段练习)已知直线/：H-y+l+2A=0(#GR).(1)若直线/不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,求一AOB面积的最小值.【答案】(I)ZzO(2)q4O8面积的最小值为4【详解】(1)直线/：行一y+l+22=0(AwR),即MX+2)y+l=0,所以直线/过定点(-2,1),&是直线/的斜率，所以A0(2)因为直线/交X轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点8,所以攵0+7c取y=0,X=；取x=0,y=+2kk所以A1岑甸,8(0,1+2江所以S2=TOAO8=g-(l+2%)=2A*+22J2k(+2=4,当且仅当2k=±,k=g时等号成立.22【典例2】(2023上河南洛阳高二校考期中)已知直线方程为(2-n)x+(2m+l)y+3m+4=0.(1)证明：直线恒过定点；(2)?为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？(3)若直线分别与X轴，轴的负半轴交于A、3两点，求二AOB面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)w=y,213(3)4；2x+4=0【详解】(1)直线方程为(2-m)x+(2机+l)y+3m+4=0,可化为(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,x+2y+3=O/X=1对任意加都成立，所以CIC，解得C，2x+y+4=0)'=一2所以直线恒过定点(Tl2)(2)如图所示：点。(3,4)到直线的距离最大，可知点。与定点P(T-2)的连线的距离就是所求最大值,即(3+1)2+(4+2)2=213,此时%=言=I,2所以(2-"z)x+(2w+l)y+3m+4=0的斜率为：可得-=-3z3,解得帆=：.32w+l7(3)如图所示:若直线分别与X轴，y轴的负半轴交于A、B两点,直线方程为y+2=A*+l),k<o,则Ao,0),8(0次-2),所以“嘿"2=鉴)(f=2+住+苧卜2+2=4,当且仅当左=-2时，等号成立，所以AAoB面积的最