第6节对数与对数函数公开课教案教学设计课件资料.docx

第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y与对数函数y=logd(a>0,且互为反函数.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .对数的概念如果OA=Nm>0，且。Wl),那么数X叫做以。为底N的对数，记作X=IogjV,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.2 .对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：*g=N;log,=仇。>0,且。21).对数的运算性质如果4>0且“l,M>0,2V>0,那么(J)IogMMM=lg"M+IogaN; log，W=IogaM-IogJV; IogqM"=川OgaMSR).(3)换底公式:Iogab=，段(>0,且l,比>0,c>0,且CW1).10g4，3 .对数函数及其性质(1)概念：函数y=logd3>0,且Wl)叫做对数函数，其中X是自变量，定义域是(0,+°°).(2)对数函数的图象与性质a>O<6Z<1图象T=I)=iogW>)×.y=l,产IogJ性质定义域：(0，+8)值域：R当x=l时，y=0,即过定点(1,0)当x>时,y>0；当0<vl时，><0当>1时，y<0:当0<vl时，y>0在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数4 .反函数指数函数且与对数函数V=IOgaX(>0,且l)互为反函数,它们的图象关于直线y三工对称.它们的定义域和值域正好互换.常用结论1 .换底公式的两个重要结论(I)IOg加>0,且U;b>0,且(2)1OgIOga"。>0,且aWl；b>0;m,nR,且mW0).2 .对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标N:为相应的底数.故OVCVdV1<a<b.窿由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)(l)lg2X2=21g2X.()(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.()J+函数)，=1町=与y=ln(l+x)-ln(lX)的定义域相同.()(4)当心>1时,若IOgHJogfcX,则a<b.()答案(1)×(2)×(3)(4)×解析(I)IOg2%2=21og2x,故(1)错误.形如y=logx(>0,且Nl)为对数函数，故(2)错误.(4)若O<*l<4,则当x>l时，logwX>log*,故(4)错误.2.1og29Xlog34+21og510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案D解析原式=21og23X(21og32)+log5(l2o.25)=4+log525=4+2=6.3.(2020全国I卷)设Hog34=2,则4=()ab9c8dI答案B解析法一因为HOg34=2,所以k>g34"=2,则4。=32=9,所以4一2法二因为log34=2,所以。=高区=2iog43=log432=log49,所以4"=4k%9=4%9,=91=.4 .（2021新高考11卷）已知=log52,Z?=logs3,c=,则下列判断正确的是（）A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c答案C解析a=Iog52<log55=Iog822<log83=b,即a<c<b.5 .函数y=log-l）+2（d>0,且Wl）的图象恒过的定点是.答案（2,2）解析当x=2时，函数y=log（-l）+2（G>0,且。Wl）的值为2,所以图象恒过定点Q,2）.6 .（易错题）已知函数段）=logQj）在区间|,"上恒有段）>0,则实数。的取值范围是.答案（；，1）a>lf解析由题意得22X1->l,OVaVl,或3解得IVaVL0<2×a<lf2考点突破题型剖析|考点一对数的运算1 .设2"=5'=m,且'+'=2,则相等于()A.TB.10C.20D.100答案A解析由已知，得=k>g2W,b=0g5m,则*ii+氤=l°g2+log，5=logJ0=2.解得2=而.包(1log3)2+log62log618Z计算：log64=-答案1解析原式=121og3+(log63)2+log6log6(6×3)log64121ogs3+(IOg(,3)2+1-(IOg63).log642 (1-log63)log661。出3log6221og2-log2-log62°3 .已知4>Z>l,若log疝+Iogwz=,ah=ba,则Q=,b=.答案42解析设Iogba=1,则Ql,因为f+:=,所以，=2,则0=从.又4=，所以b2b=bf"1f即2b=b29又4>b>l,解得b=2,4=4.4 .(多选)(2022北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C=WIog2(1+筋是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率。取决于信道带宽卬、信道内所传信号的平均功率S、信q道内部的高斯噪声功率N的大小，其中扁叫作信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：Ig50.6990)()A.若不改变信噪比,而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S,而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍C.若不改变信道带宽W,而将信噪比扁从255提升至1023,则C增加了25%qD.若不改变信道带宽W,而将信噪比R从999提升至4999,则C大约增加了23.3%答案ACD解析A正确;对于B,因为WlOg20十袍Wlog2l+(Q=2Wlog2(1+§,所以B错误；qvvio29(1+1023)Ioq9?10对于C,若将信噪比凯255提升至1023,则飞7E为二一l=jT=当一1=；,所以C增加了25%,所以C正确；O4对于D若将信哮比*从999提升至4999则团喻9-2?也1噌5(X)OJ、D'右时1口求吃MaW旋k王4W,人Wlog2(1+999)Iog2I000.50001Ig5+31.l5圻r/n下港一Ig100()3J30233,所以D正确.感悟提升1.在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、赛再运算.3H=N=Z?=IOgaMa>0,且0Wl)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.J考点三对数函数的图象及应用例1(1)(多选)(2021重庆一模)小b,cR,且8>0,若e，=ln8=:，则小b,c的大小关系可以是（）A.a<h<cB.h<c<aC.c<a<bD.a<c<b答案ACD解析设e=ln=1="2,如图，在同一坐标系中画出函数y=ex,y=nx9y=:的图象,当直线y=机与三者都相交时，交点的横坐标即为mb,C的值，由图知，当m从大到小时，依次出现CVaV/?、a<c<b.aVVc.故选ACD.IogM,x>0,（2）已知函数应¥）=1”YC且关于X的方程Ar）+%。=0有且只有一个实、3,XW0,根，则实数的取值范围是.答案（1,+）解析如图，在同一坐标系中分别作出y=«r）与y=x+l'的图象，其中。表示直线y=x+在y轴上的截距.由图可知，当时，直线y=-x+。与y=7U）只有一个交点.（3）已知函数段）=logM,实数处（满足OVaV4且/（）=j电）,若於）在片,力上的最大值为2,则5+方=.答案4解析Vx)=log2T,.JU)的图象如图所示，又/()=y(b)且OVaVA,0<a<l,b>且缶=1,a2<6t,由图知，J(x)ma×=J(a2)=log22=2iog2=2,.a=y.b=2,÷Z？=4.感悟提升1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法值个四1103- 54-3,求解.训练1(1)图中曲线是对数函数y=k)gd的图象，已知。取L则对应于Ci,C2,C3,。4的。值依次为()aS 4 3 LA" 3, 5, 10c4 S 3 _Lc*3, Y'' 5' 10答案Ab.l , I dI 5j 5解析作直线y=l,由IOga=I得=a,L431则对应G,C2,。3,。4的。值依次为小，W亍j.(2)当x(l,2)时，不等式。一IpVlOgd恒成立，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(l,2)C.(l,2D.(,0答案C解析设力(X)=(R1)2,及(X)=IOgd,要使当x(l,2)时，不等式(-l)2<log。恒成立，只需在区间(1,2)上，力(X)=(X-1)2的图象在及(X)=IogflX的图象的下方即可.当OVaVl时，显然不成立.当a>时，如图所示，要使在区间(1,2)上，力(X)=CrIp的图象在力(x)=logd的图象的下方，只需力(2)W及(2),即(2-l)2log,2,所以IOga221,解得IVaW2.J考点二对数函数的性质及应用角度1比较大小例J2(1)设。=IOg412,Z?=log515,C=Iogel8,则()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a答案A解析a=+log43,j=l÷log53,c=1÷log63,*/log43>logs3>log63,a>b>c.(2)(2021天津卷)设=log23,=logj0.4,c=0.4则小Cc的大小关系为2()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b答案D解析Vlog20.3<log21=0,：.a<0.Vlog10.4=log2.4=l0g2>log22=1,.b>.2VO<O.4o3<O.4o=1,0<c<1,9a<c<b.角度2解对数不等式例3(2022湖州调研)已知函数人X)是定义在R上的偶函数，当XWo时，单调递减，则不等式川og32-5)>4og38)的解集为.答案(1*16)u(r+8)解析因为函数段)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0上单调递减，所以可将(logJ(2-5)>U0g38)化为log/2-5)>log38,即log3（2-5）>k>g38或log3（2-5）<logs8=l0g3-,8即2-5>8或OV2x5VI，解得x>与或。VXV粤OZZIO角度3对数函数性质的综合应用2x+1例4（1）（多选）已知函数应0=始无=7,下列说法正确的是（）A（x）为奇函数BU）为偶函数C於）在&+8）上单调递减DjX）的值域为（一8,0）U（0,+）答案ACD.r.2x+1a2x+1斛析x）=ln令>0,J2-12x1f2x+-l2x+l=lnl三J=-lnT=一段），7Ax）为奇函数，故A正确，B错误.2x+ll2、又Kr）=InE=I“1+元R，2令，=1+7;/>0且zWl,y=ln/,2-z又E=l+在+8）上单调递减，且y=n/为增函数，,危）在&+8）上单调递减，故C正确;Jy=In/的值域是（一8,0）U（0,+）,故D正确.(2)若y(x)=lg(f20r+l+)在区间(一8,1上单调递减，则。的取值范围为A.l,2)B.l,2C.l,+8)D.2,+8)答案A则有<g(1)>0, zl,解析令函数g(x)=x1-2ax+1+a=(-a)2+1+a-a2f对称轴为x=a9要使函数在(-8,1上递减，2a>0f即1解得lV2,即l,2).介1,感悟提升利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.训练2(2022济南调研L)己知4=log32，b=3°7,C=Sin3,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案D解析因为log3gviog3l=O,所以V0,因为3°7>3°=1,所以TT因为V3<,所以OVSin3V1,即OVCV1,所以b>c>a.(2)(多选)已知函数/U)=InX+ln(2一x),则()A於)在(0,2)上单调递增Bi在(0,2)上的最大值为OCAX)的图象关于直线X=I对称D(x)的图象关于点(1，0)对称答案BC解析%)=lnx+ln(2-),定乂域为(0,2),fix)=lnx(2x)=ln(x2÷2x),令r=-x2+2y=nr,.=-x2+2x,x(0,2),在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，JU)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；x)max=l)=O,故B正确；,:艮1÷x)=ln(l÷x)÷ln(lx),Klx)=ln(l-x)÷ln(l+x),.U+x)=y11r),(x)的图象关于直线X=I对称，故C正确，D不正确.分层训练巩固提升A级基础巩固1 .己知4=log2.2,b=202fc=0.2°3,则().a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.h<c<a答案B解析由对数函数的单调性可得=Iog2.2<log21=0,由指数函数的单调性可得6=2°2>2°=1,O<c=O.2o3<O.2o=1,所以<c<'2 .在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足?2一如=IIg,其中星等为侬的星的亮度为&(仁1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.lO,o,B.10.1C.lg10.1D.1010,答案A解析由题意可设太阳的星等为阳2,太阳的亮度为良，天狼星的星等为如，天=E1-F2Ig577N则E1-E2,577N狼星的亮度为Ei,则由n2-m=lg曾，得一26.7+1.4525.25,Ig兽=-10.1,Ig普=10.1,；普=Iom.dI3 .已知函数Kr)=Ig(3、+*+机)的值域是全体实数，则实数m的取值范围是()A.(-4,+)B.-4,+)C.(8,4)D.(8,4答案D解析由题意可知3*+*+机能取遍所有正实数.4又3“+下+机27+4,所以w÷40,即n4.，实数机的取值范围为(一8,-4.4 .(2020新高考全国11卷)已知函数yU)=lg(f-4x5)在(，+8)单调递增，则Q的取值范围是()A.(8,IB.(8,2C.2,+8)D.5,+)答案D解析由x24x5>0,得xv1或x>5.令f=x2-4x5,则函数r=f4尢-5在(一8,1)单调递减，在(5,+8)单调递增，函数y=lgf为增函数，故要使函数外)=lg(x2-4x5)在(m+8)单调递增，则有(,+)(5,+o°),即心5.5 .已知lgo+lgb=0,则函数yU)=/*与函数g(x)=logr的图象可能是()答案C解析由Ig。+Igb=0,得ab=l. (x)=因此/U)=".与g(x)=log单调性相同.A,B,D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.6 .(多选)(2021临沂期末)若Ioa=4,10,=25,贝J()A.+b=2B.b-ci=1C.>81g22D.b-a>g6答案ACD解析由10=4,Ia=25,得=lg4,b=lg25,则4+b=lg4+lg25=lg100=2,故A正确；万一=lg25-lg4=lg蓍>lg6且Ig/VI,故B错误，D正确；ab=g4lg25=41g2lg5>41g2lg4=81g22,故C正确.故选ACD.7 .若Ig43=711g23,则IOg2W=.答案一2解析Vlog43=log23,，阳=5，,logyvn=-2.8 .已知函数段)=log(8-ax)(>0,且l),若於)>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是.解析当。>1时，yU)=k>g(8-0r)在1,2上是减函数，由凡。>1在区间1,2上恒成立，则J(x)min=«2)=Ioga(82d)>1,即S-2a>a,且8-24>0,Q解得i<«4当（Xa<1时，7U）在1,2上是增函数,由兀0>1在区间口，2上恒成立，知x)min=(l)=lg48«)>1,且82a>0.Sa<aS.8-2«>0,此时解集为Q综上可知，实数。的取值范围是0,引.9 .设实数m8是关于X的方程IIgXl=C的两个不同实数根，且<h<10,则。历的取值范围是.答案(0，1)解析由题意知，在(0,10)±,函数y=lgM的图象和直线y=c有两个不同交点(如图)，.ab=t0<c<lg10=1,，出?C的取值范围是(0,1).10 .设Kr)=Ioga(I+%)+log(3-)(>0,且。#1),且<1)=2.(1)求实数a的值及火尢)的定义域；"3"(2)求段)在区间,引上的最大值.解(1)V1)=2,log<4=2(rz>0,且¥1),l+x>0,，。=2.由1得一IVXV3,3x>0,函数应0的定义域为(-1,3).(2)J(x)=l0g2(l+x)+log2(3X)=log2(l+x)(3-)=log2-(-l)2+4,当x0,1时，7U)单调递增；当r(i,I时，人工)单调递减，故函数兀0在r . 一 3-2O,上的最大值是/U)=log24=2.11 .已知函数7U)是定义在R上的偶函数，/0)=0,当1>0时，x)=iog2(1)求函数Tu)的解析式；(2)解不等式«?1)>一2.解(1)当XVO时，一%>0,则(-x)=log(-x)2因为函数/U)是偶函数，所以五一)=U)所以RVO时，x)=log-),2所以函数於)的解析式为C1logx,x>0,©=<0,=o,IOM(x)，XV0.(2)因为7(4)=k4=-2,TU)是偶函数，2所以不等式兀x2-l)>-2可化为川f-l)N4)又因为函数«¥)在(0,+8)上是减函数，所以OVF-IlV4,解得一小VXV/且x±l,而f1=0时，五0)=0>2,所以x=l或X=-L所以一小VXV小.所以不等式的解集为3小VXV小).B级能力提升2iog2fx+l-Lr+A-212 .函数yu)=-Lp/的图象为()答案D解析火X)=fO<x<l,=1故选D.一，xLIx13.(2021.重庆调研)设函数兀¥)的定义域为。，若满足：/(x)在。内是单调增函数；存在pn,nQD(n>i)t使得/)在m,网上的值域为n,n9那么就称y=(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=log"(2v+r)3>0且"l)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是()1-4O,znA.1-4C."jd.&+H答案A解析因为g(x)=k)g"32+f)是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数,且g(x)在加，网上的值域为7,故g(x)=w,g(n)=n9即g(x)=x有两个不相同的实数根.又oga(azx+t)=x9即2x-ar÷r=0.令S=OV,s>0,即V-s+/=。有两个不同的正数根，7>o,可得<J=l-4r>0.解得0<z<.14.(2022竦州适考)已知函数4E)=IInxl+x,若於1)=(x2),其中XlHX2,贝J()A.xi+x2<2Bjl+x2>2C-+-<2D-+->2XlXlXX2答案D解析根据题意不妨设0<x<l<X2,则由<XI)=/2),得一Inx+xI=InA：2+x2,即lnx2+InXl=InaIX2)=xix2<O,所以O<xx2<l.因为x+x2>2yxx2i所以一十LX+X2XX2l 2>温>2,故选D.15.(2021北京卷)已知/U)=lgx一点一2,给出下列四个结论：(1)若Z=O,则7U)有两个零点；(2)来<o,使得yu)有一个零点；(3)3R0,使得7U)有三个零点；(4)3>0,使得iU)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案(4)解析零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.令w=lgx-k-2=0t可转化成两个函数y=lgx,p=Ax+2的图象的交点个数问题.对于(1),当Z=O时，”=2与y=lgx的图象有两个交点，(1)正确；对于(2),存在0,使*=履+2与V=IIgM的图象相切，(2)正确；对于(3),若Z<0,V=IlgM与”=京+2的图象最多有2个交点，(3)错误;对于(4),当QO时，过点(0,2)存在函数g(x)=IgMQl)图象的切线,此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.16.已知函数«¥)=321084，g(x)=k)g2x.(1)当xl,4时，求函数新力=及0+4g(x)的值域;(2)如果对任意的xl,4,不等式y(x2)次也)>kg(x)恒成立，求实数Z的取值范围.解(1)(X)=(421og2x)log2x=22(log2-1)2.因为xl,4,所以log2xO,2,故函数万(五)的值域为0,2.由式开)式心>kg(x),得(341og2x)(3Iog2x)>%log2x,令r=log2x,因为xl,4,所以f=log20,2,所以(3旬(3。乂4对一切r0,2恒成立，当t=0时，ZR;当W(0,2时，k<怛成立，即2<4，+715,993因为4f+212,当且仅当4/=*即时取等号，9所以4÷-15的最小值为-3.所以N3.综上，实数的取值范围为(一8,3).