经典题型解读第1讲 函数及其表示.docx
第1讲函数及其表示I考点解读一、函数的概念1 .映射的定义设4,3是两个非空集合，如果按照某种对应关系f,对于集合/1中的任何一个元素，在集合8中都有唯一的元素和它对应.那么这种对应叫做集合力到集合3的映射，记作6/1笈2 .函数的定义(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量X和F,如果对于某一个范围内任一个X的值，都有唯一的y值与它对应，那么称y是X的函数，x叫做自变量，y叫做因变量.(2)现代定义：设力，8是两个非空数集，如果按照某种对应关系F,对于集合力中的任何一个数X,在集合8中都有唯一的数F(X)和它对应.那么这种对应叫做集合力到集合8的函数，记作y=f(x).3 .函数三要素!定义域卜自变量X的取值范围.蜉：因变量y的取值范围.I对应关系卜联结X与y的关系，一般即解析式.二、定义域求定义域的根本类型：F(X)为整式：定义域为R；F(X)为分式：定义域为分母不为0；F(X)为偶次根式：定义域为根号下20；f(x)=x：定义域为x0.注意：求定义域时对于解析式不能化简，必须根据原式求定义域；求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.三、值域1.分段函数求值问题(1)分段函数：假设函数在其定义域的不同子集上，因对应法那么不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法那么，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.(2)分段函数求值问题的两种类型自变量求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解函数值求自变量:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.2.函数求值域问题求函数值域的常见类型: 一般型:常见的求值域问题可用根本函数的性质等来处理，比拟简单.绝对发型|：利用绝对值的代数意义将函数以分段函数的形式来表示，各段分别求值域即可.7¾:利用别离常量法将函数变形成反比例函数模型，然后用不等式根本性质运算即可.根式型I：利用换元法将函数变形成无根式的形式，然后对换元后的新函数求值域即可.四、解析式求函数解析式的常见类型：1.类型一：ftr)、g(x),求tg(x)型.代入法：将W(X)代入/U)中的X,即得到外以才)的解析式.2 .类型二：ftg(力、gx),求f(力型.换元法;可设女(力=。从中解出X,代入4(力进行换元,求出F(E)的解析式，再将1替换为*即可.3 .类型三：函数形式确定型.待定系数法:假设函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件列出方程组，解出待定系数即可.4 .类型四：函数自变量对称出现型.条山G)满足某个等式，这个等式除/U)是未知量外，还有其他未知量，如/一)、¢),那么可根据等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f().11解题模板题型一：函数概念的理解例1：判断以下对应是否从/到3的映射：(DN=QN',6Lx3|(2)/=三角形,5=圆,6三角形的内切圆例2：以下各式是否能确定y是X的函数：(l)y=Tz2+zI+2(2)(-l)2+(y-l)2=2(3)-y=3例3：判断以下各题中两个函数是否表示同一个函数：(I)F(X)=X,g(*)=(7)2(2)F(X)=X,g(%)=J?(3)F(X)=X,氯力=近X-4(4)f(x)=J2，式入)=x+2(5)f(x)=N(x+2)2,g()=x+21规律总结：判断映射的具体步骤：看集合力，6是否为空集；看是否4中每一个元素在H中都能找到对应元素，是否4中每一个元素在笈中都能找到唯一的对应元素.判断函数的方法：假设X和y的关系式中没有/或IH,一般都是函数.判断两个函数是否相同的步骤：看定义域是否相同；看对应关系是否相同.题型二：求定义域而例1：求以下函数的定义域：产g+g+/(2)尸岩产芯S6例2：尸。力的定义域为1,2,求尸F(2rM)的定义域.(2)y=r(2x+l)的定义域为1,2,求y=F(x)的定义域.例3：假设函数y='加6mx+m+8的定义域为R,求实数力的取值范围.规律总结：求定义域的根本类型：/'Cr)为整式：定义域为R;F(X)为分式：定义域为分母不为0;FCO为偶次根式：定义域为根号下20;f(x)=居定义域为XHzO.题型三：分段函数求值问题÷1(AO)例1：f(x)=<(X=O),求Ftf(-1)的值.0(XVO)+l(x0)例2：F(X)=,、，假设r=10,求a的值.-2x(AO)x3(10)例3：f(x)-一.，求f(6)的值.t+5)J(XVlO)规律总结：分段函数求值问题的三种类型：自变量求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.函数值求自变量：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.循环结构求值类问题：依自变量的取值仔细代入,粗心易出错，关键在于确定何时循环终止.题型四：求值域丽求以下函数的值域：1.一般型(函数性质)例1：(1)f(x)=x+l(2)f(x)=2-4-22 .双绝对值型(去绝对值法)例2：=x+x-23 .分式型(别离常量法)r+1例3：f(x)=-(x>3)-4 .根式型(换元法)例4：F(X)=2-,J-l题型五:求解析式问题1.f(Jr)、gx),求fg(j型(代入法)例1:f(x)=2x+l,求f(x+5).2 .tgCr)、gCr),求F(X)型(换元法)例2：(1)f(yx+)=x+2yx,求f(x).3 2)F(x+1)=2/+3x+l,求F(X).4 .函数形式确定型(待定系数法)例3：(DFJ)是一次函数，且满足3F(x+D2F(>-l)=2x+17,求F(X).(2)f(x)是二次函数，且满足F(O)=O,f(x+l)=f(x)+x+l,求/'(x).5 .函数自变量对称出现型(函数方程法)例4：函数尸F(X)满足2F(x)+4代=3x,求F(>).(2)函数y=f(x)满足2F(x)÷4(-r)=3x,求F(x).
