专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总.docx

专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总后跖题型解读知识点梳理模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭ID与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4）定义法求轨迹【题型5】设点运算求轨迹方程题型6光学性质【题型7】椭Bl与双曲线共焦点问题模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型91直线与椭圆距离最短【题型10线段和差最值问题【题型11焦点弦的最小值【题型12焦半径的最小值问题【题型13利用基本不等式求最值模块三：求离心率与其它值【题型14结合余弦定理求焦半径【题型15余弦定理用2次【题型16构造齐次化方程【题型17双焦点三角形模型：导边【题型18利用几何性质求离心率【题型20与向量结合【题型21其它计算求值问题【题型22求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1 .如图(1),过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦48=,称为通径.图(1)图(2)2 .如图(2),尸为椭圆上的点，尸1,B为椭圆的两个焦点，且NFlPF2=8,则/IPB的面积为.3 .椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.4 .设尸，A,8是椭圆上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则直线以与尸8的斜率之积为定值I2加夕b21. 2.Dltan-3.a-rc。-c4.ra2a1二、直线与椭圆1 .直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或刃的一元方程：0r2+Z>x+c=0(或炉+8+c=0).(1)若0,可考虑一元二次方程的判别式,有：4>0直线与圆锥曲线;Z=O”直线与圆锥曲线;4<04直线与圆锥曲线.2 .圆锥曲线的弦长设斜率为k(O)的直线/与圆锥也线C相交于4(x,y)i8(x2,")两点，则力8=.答案：1.(1)相交相切相离3 .1÷2X2-=Jl+Iyz-j三、双曲线的基本量运算1 .过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2 .如图，P为双曲线上的点，H,产2为双曲线的两个焦点，且NFlPF2=0,则户IP尸2的面积为3 .焦点到渐近线的距离为4 .设尸，A,B是双曲线上的三个不同的点，其中8关于原点对称，则直线Rl与08的斜率之积为.答案：1.-2.3.64.当atan。2为线段AB中点，则有4a%ca/=2-1An(Ja证明(点差法)：设4(X,y),5(x2,y2),则m(幺产,之三kj+/J.J-为卜kJj2KOM-1，kAB，KAB'kOM-2FX1+X2X1-X2演一工2VA,B在椭圆上，代入A,B坐标得冬必-1+=la2b2两式相减得:+2ii=0,整理得必：%：=_彳a2b2x1-x22a1那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然.其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点4（一。,0）,4（凡0）的斜率乘积等于常数e2-l的点的故迹叫做椭圆或双曲线（不含两个顶点）.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于一1小于。时h2为椭圆，此时/一1二一彳；当常数大于O时为双曲线，此时/一1=一.aa，【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点Z（M,），6（一加,-）的斜率乘积等于常数2/一1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.当常数大于一1小于O时为辅圆，此时e2-l=-;当a1.2常数大于O时为双曲线，此时/-I=.a【证明】48是椭圆=+=l（>Z,>0）上的一组对称点，尸为椭圆上任意点，则有证明(点差法)：设P(x,),A(x2,y2)fB(-x2,-y2),kp4山X1-x2M+乃玉+X2VP,A在椭圆上，代入坐标得÷4=a2b2+=lab-两式相减得：.2个+'J,%2=0,整理得必：一%：=_a2h2x12-X22a2中点弦和第三定义本质上是一样的法二：通过椭圆的垂径定理转换k.kk.kPANPBrvOMNPBb221*¾y核心题画7模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1 .已知方程4+为2+加+小+或+尸=0,其中力6CO2EF.现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程4+砂2+c,+w+/=o其中z5coeF,所以当4=8=1C=0=E=O/=一1时，方程为/+/-I=。，即Y+/=1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当Z=18=C=0=OE=-1尸=一2时，方程为2->-2=0,即N=X?-2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；2£2-1当=28=lC=O=E=0=T时，方程为2+y2-i=o,即V+1二1是桶圆的标准方程，2故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有力B<0,C=O=E=O,尸<0,这与45COE尸矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以其命题有3个.2. （2023上广东深圳高二统考期末）已知椭圆。：三+二=1的焦点在V轴上，则实数攵的取值范围为（）A.（-3,1）B.（1,5）C.（-3,5）D.（1,3）【答案】A3 + >05-k>0,解得一3<“<1.5-k>3+k【分析】根据椭圆C的焦点位置可得出关于左的不等式组，即可解得实数左的取值范围.x2v2【详解】因为椭圆c：+上-=1的焦点在y轴上，则3+k5-k3. （2023佛山高二期末）（多选）己知曲线C的方程为-L+£=i,则C可能是（）25-k9+A.半径为J万的圆B.焦点在X上的椭圆，且长轴长为后二TC.等轴双曲线D.焦点在V上的双曲线，且焦距为22"16【答案】AD25k=9+k【详解】对于A选项，若曲线C为圆，则,解得左=8,25-k>0此时，曲线C的方程为V+/=7,该圆的半径为J万，A对；（25-k>9+k对于B选项，若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则、,八,解得-9<%<8,9+Zr>0此时，椭圆C的长轴长为2反7,B错；对于C选项，若曲线C为等轴双曲线，则25-%+9+%=0,无解，C错：f9+>0对于D选项，若曲线C表示焦点在歹轴上的双曲线，则f八，解得>25,25-A:<0此时，双曲线C的焦距为2j9+>+%-25=22,-16,D对.4. （2023上广东惠州高二统考期末）（多选）已知曲线C:工-廿=1,则下列判断正确的是（）abA.a=-Z>>O,则C是圆，其半径为B.若ab>0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±RC.若-a<b<0,则C是椭圆，其焦点在X轴上D.若a=b=l,则C是两条直线【答案】BC【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可22【详解】若=-b>0时，C：工一匕=1转化为/+/=*半径为夜，故A错误；ab,整理可得y均是。的渐近线，故B正确;若0b>0,当”>0,b>0,C是焦点在X轴上的双曲线，当vv,C是焦点在丁轴上的双曲线,无论焦点在哪个轴上，令二一己二0ab若一<6<0,C:匕=1转化为C:二+口=1,由于>-b>O可知，C是焦点在X轴上的椭圆,aba-b故C正确：22若=6=l,C：三一匕=1转化为/-V=,是双曲线不是两条直线，故D错误.5.（多选）已知方程上+上=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）6-？in-2A.当j>6或m<2时，曲线C是双曲线B.当2<?<6时，曲线C是椭圆C.若曲线。是焦点在轴上的椭圆，则m>6D.若曲线。是焦点在X轴上的椭圆，则2<m<4【答案】AD【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的机的范,困即可.【详解】对于A,若曲线C为双曲线，则（6一帆）（加-2）<0,解得：加>6或zw<2,A正确；6-/M>O对于B,若曲线C为椭圆，则（机一2>0,解得：2<mv4或4vmv6,B错误；6-mm-2对于C,若曲线。是焦点在V轴上的椭圆，则由一2>6-?>0,解得：4<m<6,C错误：对于D,若曲线。是焦点在X轴上的椭圆，8'）6-n>w-2>0,解得：2v"iv4,D正确6.（2023上江苏徐州高二统考期末）（多选）己知曲线C:+工=1,则下列说法正确的是（）m+mA.若C是椭圆，则其长轴长为2而B.若m<0,则C是双曲线C.。不可能表示一个圆D.若加=1,则C上的点到焦点的最短距离为立2【答案】BC【分析】根据/+>zn可知若为楠圆，则焦点在X轴上，进而可判断A,进而可判断BC,根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于/+1=（小一+>O,所以112+l>m,对于A,当加>0时，故。：/一+上=1表示焦点在X轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为2j/+i,故m+mA错误，对于B,当?<O时，C是双曲线，故B正确，对于C,由于苏+>7w,故C不可能表示一个圆，故C正确，对于D,m=l时，C:+-=1,表示焦点在X轴上的桶圆，且此时/=2,从=1,。2=1,21故桶圆上的点到焦点的最小距离为a_c=&_l,故D错误7.（多选）已知曲线UmX?+材=1,（）A.若用>>0,则C的离心率是B.若机> O ,则C的离心率是C.若机<0,则。是双曲线D.若用>O,则C是椭圆【答案】AC【详解】对A、B：若则mn兰+仁=1由于机f+初2=,即Il,表示焦点在J轴的椭圆,故A正确，B错误；对C:若?<0,即加,异号，则!一异号，rnn当>0,一<0wnX2y2故用小+砂2=1,即ifI表示焦点在X轴上的双曲线；mn当L0>0mn故TWX-+即2=1,即1I表示焦点在）；轴上的双曲线,综上所述：若“<0,则C是双曲线，C正确:对D:若小>0,曲线。不一定是椭圆，例如加=>0,曲线C是圆，D错误8. （2023广东汕头统考二模）（多选）已知曲线C=x2+V8s=l,«0,则下列结论正确的是（）A.曲线C可能是圆，也可能是直线B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D.当曲线。表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为J5【答案】ABD【分析】设6=COSae-1，由用的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设加=CoSa-l,l,故曲线。的方程可表示为f+町/=（_«ZM4），对A,当机二O时，曲线。的方程为=,可得=±l,此时曲线C为两条直线；当TW=I时，曲线C的方程为/+y2=,此时曲线C是一个圆；故A正确；2对B,当0<阳<1时，->1,曲线。的方程为+T=1,此时曲线。为焦点在箕轴上的椭圆，故m-mB正确；对C,当曲线。表示椭圆时，离心率为e=jT=Jl-CoSa,则。越大，椭圆越扃，故C错误；对D,当Tm<0时，-一1,曲线。的方程为X11,此时曲线。为焦点在X轴上的双曲mm线,此时离心率为e,由一17M<O,可得e2 ,即它的离心率有最小值，且最小值为J5,故D正确9. （2023宝安中学期中）若方程上一+上=1表示椭圆，则机的取值范围是（易m-3-w错）【答案】（1,2）U（2,3）【解析】由加一1>0,3-加>0且阳-13-机可得./?-1>0r2v2【详解】方程一+=1表示椭圆o<3>0,解得l<m<3且m2.w-13-m.Cm-3-n所以m的取值范围是（1,2）U（2,3）【题型2】双曲线的渐近线相关计算1°（2023深圳高二统考期末）双曲线叱。冷。）的离心率为5则其渐近线方程为A. y = +y2xB. y = ±y3xC.y=±也XD.y=±-22【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.洋解：e=J=也、:.<=&_-=e2-1=31=2,-=V,aaaa因为渐近线方程为y=±gx,所以渐近线方程为丁=±缶，选A.11.（2023上江苏南通高二统考期末）已知双曲线C的焦点在歹轴上，渐近线方程为>=±2x,则C的离心率为（）A.乎B.2C.3D.5【答案】A【详解】由题意，双曲线的焦点在歹轴上,由于双曲线的渐近线方程为y=±2x,12已知双曲吟4=s"）的离心率为哈则双曲线的两条渐近线的夹角为（） B.-4A.-6【答案】C【详解】设双曲线马-二=1的半焦距为Jab-因为双曲线W-E=I的离心率为2叵，ab3所以e=f=?,解得C=a2 +b2 =c2, b2 =c2-a2 f23 )a 31 2 -a 3所以b=a3by=±-x=±a3所以渐近线方程为丁+3，X=+Xa3rSTr所以两条渐近线的倾斜角分别为上和H,66y,所以，两条渐近线所夹的锐角为-gy ;即双曲线的两条渐近线的夹角为三.13. （2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考期末）若双曲线与-W = l（>0,6>0）的渐近线 a b方程为y = ±*,且过点（2后,3）,则双曲线的标准方程为（R y2 2 18 6c y2 X234=1【答案】C【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y = ±x,b b 2a = -bf 2则双曲线方程可化为： 箓一* = 1,由双曲线过点卜0,3）,36 822=1 ,解得：/=4, .=3, 双曲线方程为：工一二 3 41.14 （2023上广东深圳高二深圳中学校考期中）已知年双曲线C十1I的一个焦点，点P在C的渐近线上，。是坐标原点，I。尸|=2|?可，则。尸产的面积为（）A.1B.C.D.y222【答案】B【分析】根据给定条件求出NPO尸，再利用余弦定理求出IOPl即可计算作答.【详解】双曲线。1一/二1中"。户I=2,其渐近线y=±印X,它与X轴的夹角为30。，即N尸。尸=30。，在AOM中，OF=2尸产|=2,由余弦定理得：I尸用2=OP+O用2-2OPO尸ICOSNPo尸，即F=|。尸F+22-292cos30°,整理得：OP2-23OP+3=0,解得IOPI=JL所以AOPF的面积为SGPF=gI。尸II。FlSin/POFWXGX2sin30等.【题型3】求焦点三角形面积15 .已知点P在椭圆'+=1上，£与鸟分别为左、右焦点，若NRPF?=容则片尸鸟的面积为（）A.43B.63C.83D.133【答案】AI尸团+1尸闾=8【详解】由附M明2_|甲丁，又怩用=45解得附I附1=16,r一乖而可一SdF格=；陷忸周Sin"匹=1×16×=43.V2v2516 .已知产是双曲线j-1=l（,b>O）上的点，£,工是其焦点，双曲线的离心率是一,且ab4所质:0,若尸片用的面积为9,则+b的值为.【答案】7不妨设点?在双胸线的右支上.设|产石|=加，|?鸟|=.则加一=2,-mn=9,m2+n2=4c2,即/W?+/一2ZMZJ=加2,所以4c?-36=4。2,又c2=a2+b2,所以6=3.GC5又一=:，a4a2a2+b2t解得"=与a=®所以0=4.169.+b=7.故答案为：7.17 .已知椭圆工+上=1的焦点分别为£鸟，点尸在椭圆上，若IPKl=4,则三角形大”的面枳为92A.与B.3C.23D.43【解答】解：椭圆卷+三=1的焦点分别为打鸟，点尸在椭圆上，则：2=6,若I尸石|=4,所以"=2,2c=27.利用余弦定理:CoSFlPFl22÷42-(27)22×2×4所以NKPE=则：5fpf=1×2×4×=233122218 .已知耳(-4,0)、乃(4,0)是双曲线。：£一£=1(加>0)的两个焦点，点，是双曲线。上一点，且NKg=60。，用的面为【答案】43【详解】因为一4,0)、鸟(4,0)是双曲线u'-1=l(m>0)的两个焦点，S一4法一：由双曲线焦点三角形面积公式可得片MK的面积d-0tan30otan2法二：所以用+4=16,所以m=12;=Zl,MF2=t2f因为点M是双曲线上一点，且N"玛=60。，所以，-2=46;在片“居中，由余弦定理可得：l2+/J-2r1r,cos600=64；联立上述两式可得：12=16,所以片的面积S=gAsin6()o=4jJ.19 .已知斗名为双曲线C：£=1的两个焦点，Pt。为。上关于坐标原点对称的两点，且164IPq二内用，则四边形至。鸟的面积为【答案】8【详解】由题意得，a=4,b=2,c=25,由双曲线的对称性以及P0=阳周可知，四逆形PFQF?为矩形,IlPEI-I尸居Il=2=8所以，|22，解得附Il明=8,+1尸周=4d=80所以四边形刊过鸟的面积为IPGIlP4二8.故答案为：8.【题型4定义法求轨迹20 .如图，已知定圆4的半径为4,8是圆4内一个定点，且卜却=2,P是圆上任意一点.线段8尸的垂直平分线/和半径4P相交于点。，当点尸在圆上运动时，则点0的轨迹是（）C.长轴为4的椭圆D.长轴为2的椭圆【答案】C【分析】连接80,由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得“0+忸0=4P=4>48=2,再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接BQ,因为线段bp的垂直平分线/和半径/P相交于点,所以忸。|=pq,因为|力创+|尸0|=|，?|=4>|45卜2,所以N0+忸0=M=4>MM=2,所以点。的轨迹是以4笈为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆221 .己知仁巴分别为椭圆/:/+/=1的左、右焦点，。是椭圆E上一动点，G点是三角形PKB的重心，则点G的轨迹方程为()A. X2 +9y2 =1B.x2+9=1(jv0)D.+-=l(jvO)819【答案】Bin=3x2【分析】设G(x),尸(加,)，利用三角形的重心坐标公式可得C,将其代入J+/=1可得结果n=3y92【详解】W,后分别为椭圆E:工+/=I的左、右焦点，.K(-2I,0),6(2jI,0)9设Gaj),P(m,),G点是三角形PF1F2的重心-22+2>/2+mx3W=3x则AA,得2,y=3又尸是椭圆E上一动点，.包)(3y)2=,X2+9/=1,又G点是三角形尸£鸟的重心，y所以点G的轨迹方程为/+9y2=l(yWO)22 .(2023上福建三明高二统考期末)已知圆J(x+3)2+=9,圆C2：(工-3)2+/=1,若动圆E与G，G都外切，则圆心E的轨迹方程为.【答案】-22=(x1)【分析】由题可得忸GITEGI=3-=2<GG,然后根据双曲线的定义即得.【详解J圆G：(x+3+V=9的圆心为G(3,0),半径4=3：圆。2：(工一3)2+/=1的圆心为G(3,0),半径弓二1,由于动圆E与圆G,G都外切，设动圆E的半径为，UJFC1=r+3,EC2=r+l,所以忸GlTEC21=3-1=2<C1C2,所以E点的轨迹是以G,G为焦点的双曲线的右支，22设方程为-白=1(。>°,b>0),则4=LC=39b=yc2-a2=2E，a所以E的轨迹方程为2-Zi=I(X1).23 .(2023上广东深圳高二校考期末)如图，已知动点P在GG+Y+=16上，点。(0,0),线段P。的垂直平分线和GP相交于点”，求点M的轨迹方程G.42【详解】C,i(x+2)2+=16,圆心Gb,),半径=4.由C0=2<4连接MQ,由点0在圆G内，又由点/在线段尸。的垂直平分线上.QI=IPMI,.0M+/G=l尸MHMCI=4>0q=Ir2,由椭圆的定义知，点区的轨迹是以G,。为焦点的桶圆，其中2"=4,2c=c=22.24 .已知点A在曲线=1上，O为坐标原点，若点8满足况=&丽，记动点8的轨迹为,求的方程【答案】'+Jl4322【详解】设5(xj),Z(x,v),因为点A在曲线C:二+上=1上，% = WX yA = &y，所以m3L=1,因为刀=&9.所以代入¥+衿可得嗒+嘤=L吟+白，即的方程为上25 .己知。O:/+y2=4交4轴于48两点，P为OO上位于X轴上方的动点，将C)O上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C,求曲线C的方程【答案】Jy2=14-【详解】设所求曲线C上任一点的坐标为(Xj),圆O上的对应点的坐标为(XOjo)由题意可得X=X21.C,因为J+yj=4,所以/+”2=4即C+/=11.yo=2y426 .已知P是圆C/+V=2上一动点，过P作X轴的垂线，垂足为。，点M满足屋=2而,记点”的轨迹为及求E的方程【答案】+-=1123【详解】(1)设M(X/),则0(x,),因为闻=2丽，则尸(x,2y),22因为P在圆C上，所以/+(2犷=12,故E的方程为争卜127 .在平面直角坐标系X。中，已知动点C到定点尸(1,0)的距离与它到直线/:x=4的距离之比为*求动点。的轨迹方程【答案】l+Zl=43【详解】设动点Ca,刃，由动点C到定点F(LO)的距离与它到直线/:x=4的距离之比为得与穿1+化简得小?"即点C的轨迹方程若+/I328 .已知4(-2,0),8(2,0),直线04尸8的斜率之积为-，记动点P的轨迹为曲线C,求C的方程22【答案】+-=l(±22)86【详解】(1)设P(XJ),则直线尸力的斜率=Xgg(x-20),直线08的斜率kpB-(X2>)由题意kp4，kpR='f-7=-T-=,x-22aPBx+22x-22X2-8422化简得+-=l(±22)8629 .（2023上江苏南通高二统考期末）已知点4（-5,0）,（5,）f点P满足直线H,抬的斜率之积为一£，则力8的面积的最大值为.【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出尸点的轨迹方程，再根据轨迹确定.48面积的最大值.【详解】设P（如），由题意可知，kpkp=-,''PJtPBm+5m-5m2-2525整理得匹+t=l（mi5）;得动点P的轨迹为以A,4为长轴顶点的椭圆（除去A,8两点），显然当尸点位于上下顶点时面积取得最大值，因为。=5,b=4,所以母目8）叩=gx26=2030 .己知双曲线+W=l（,6>0）,经过双曲线上的点力（2,1）作互相垂直的直线力MMN分别ab交双曲线于M、N两点.设线段M<4N的中点分别为民C,直线。8、。（。为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为-!，求双曲线的方程4【答案】Jy2=2【详解】解：设"（再,乂）、N（X2，必），线段AM、AN的中点分别为8（加,）、C（p,q）,由已知,-=l:-4=la"bab两式相减得宁-赞=。，即黑号9根据中点坐标及斜率公式，得xl+2=2w,+l=2z,kAM=-r,左勿=.代入，xl-2mx1+2/)2/)2%4得3“后=同理，得Kv限=F，相乘，得的/Kv殳Bb=Faaa%,33-1,W?222由二-二二1,与联立，得/=2,6=1,双曲线的方程为：-V2=La2b22【题型6光学性质31 .椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另个焦点上,已知椭圆Ct=l（0<6v2）,耳亮为其左、右焦点.M是C上的动点，点N（O忑）,若IMM+M用的最大值为6.动直线/为此椭圆C的切线，右焦点耳关于直线/的对称点P（4m）,5=3x,+4y1-24,则椭圆。的离心率为；S的取值范围为.【答案】y7,47【解析】根据椭圆定义得：阿用+IMKI=2,所MN+MFi=JV-MF,21+2aNF,2+2a,因为IMNl+M用的最大值为6,a=2,所以INKI=2,即病/77=2,c1解得c=1,所以离心率为一二：a2右焦点E（LO）关于直线/的对称点尸（不必），设切点为4由椭圆的光学性质可得：P,4月三点共线，所以闺Pl=I耳+4PI=I耳4+M玛=2=4,即点P（X，必）的轨迹是以（-1,0）为圆心，半径为4的圆，圆心（-1,0）到直线叙+”-24=0的距离为哙胃!=*,2772747则圆上的点到直线3x+4y-24=0的距离最小值为彳-4=1，最大值为乜-+4=彳，所以点尸（再,必）到直线3x+4y-24=0的距离为B芭+?24|,所以S=3再+4y-24表示点P（XQJ到直线3x+4y-24=0的距离的5倍，747"则S=3+4y-24-x5»×5，即S7,47.32 .已知椭圆从g+W=l(>b>0)的左、右焦点分别为耳、玛，过行的直线与E交于点A、B,ab直线/为E在点A处的切线，点6关于/的对称点为由椭圆的光学性质知，6、A、M三点,lIbfI5忸6共线.若网=明研=于则丽=【答案】-/0.254【解析】如下图所示：因为点B关于/的对称点为M,则|皿=网,因为I阳+阴+%=(+/闾)+(%+明j=4,且|第=明.l1,忸川|8川BE5所以，I力川+B川=34,所以，r=：7=一,1,l1,l,MFAB-AFa+3a-BF7,可得忸用=,，则|4片=3"忸制=?,IIIIa忸用a31所以，忸周=2"阿I="故鬲寸丁了33 .圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.如图，镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，/P是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点尸发出，射到镜面上点4,反射光线是5C,若NPFB=I20。,DFBC=90",则该双曲线的离心率等于.【答案】3+ll÷3【解析】在平面直角坐标系中，如图,反射光线8C的反向延长线经过双曲线的另一个焦点£,由NpF8=120。，DFSC=90°,可得NBFK=60。,FBF,=90°,在直角三角形尸中，忸耳I=由尸sin60o=jc,忸尸I=山尸ICOS60。=%由双曲线的定义可得忸耳卜忸目=2,所以岳-c=2,即(i-l)c=2,所以e=£=/=73+1,34 .圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另个焦点.如图，从双曲线C的右焦点名发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点6.已知入射光线。的斜率为-2,且鸟尸和反射光线PE互相垂宜(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为【答案】2x+y=0和2x-y=0【解析】设双曲线的方程为输-g=l,设尸伍，几)，F1(-c,0),<(c,0),故=气=-2%广母£=由此M弋JO专人OL人OC乙J所以%4-32公-16 = 0,解得严=4或2=一(舍去)，因此左=±2,所以渐近线方程为：2x+y=0和2x-y=0.35 .双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线氏=-g=1(4>0,6>0)的左、右焦点分别为斗K,a'h从生发出的光线经过图中的48两点反射后，分别经过点C和。，且5CqsZ.BAC=一一,ABBD=O,则E的离心率为（）A半三-fC.粤DM【答案】B【解析】由题意知延长OB则必过点耳,如图:由双.曲线的定义知AFl-AF=2aBF1-BF2=2a，又因为COSNA4。=一看,所以COSNK48=得，因为前屈=0,所以48J,5O,.AF、=3m-2a设力fJ=13%m>0,财为3=5%忸用=12m,因此1口:CCBF2=12m-2a从而由I4周+忸周=|力用得13m一2+12w-2=5m,所以=5m,则忸川=I。，忸尸卜京，GG=2c,又因为忸制?+忸用2=闺周2,所以(£,+(£)=(2c)2,即37T=25c2,即e=也【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题36 .已知椭圆和双曲线有共同的焦点£,F2tP1。分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且31NQF?P=60。,记椭圆和双曲线的离心率分别为G，%则不+不等于()eIe2A. 4B. 23C. 2D. 3【答案】A【解答】解：设梢圆的长半轴长为片,双曲线的半实轴长为生，P在双曲线的右支上,根据椭圆及双曲线的定义可得IPGI+1P5I=2q,I尸石I一|P6I=2%,可得IPGI=q+出，I尸鸟|=q-。2,设l"il=2c,NQEP=60。，四边形耳尸玛。是平行四边脑，所以，NzPK=I20。，区XPFxF1中由余弦定理得，4c2=(al+a2)2+(a1-a2)2-2(al+a2)(1-a1)cos120o,化简得3a；+=4cL3*2cc31该式可化为：学+=4,结合%=一,6=一,.则+f=4c2c2q。2线e237.已知耳、工为椭圆与双曲线的公共焦点，尸是其一个公共点，Z*P=60o,则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为()A.23B.1C.D.22【答案】C13【分析】由桶圆及双曲线的定义，结合余弦定理可得r+r=4,再根据基本不等式求解最值即可.【详解】不妨设IPEI=M,I0用=(?>).椭圆的长半轴长为外,双曲线的实半轴长为由,两曲线的半焦距均为C,由楠圆及双曲线的定义得m+n=2q,m-n=Ia1,于是，m=ax+a2yn=ai-a2,又在尸;怩中，由余弦定理得m2+n2-Imncos60o=4c2=>(1+a2)+(-a2)-(Ql+a2)(a1-a1)=4c2,13则a：+36=4c?,得/+/=4,eIe2由均值不等式得4=4+22nqe?2婚，当q=，c2=。时，等号成立，qe?Yqe2222所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为正.2模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与桶圆距离最短38.已知点尸在椭圆】+与=1上运动，点。在圆(x-a+V=!上运动，贝JP0的最小为()938AOdi。可A.2B.C.224【解答】解：设圆(x以+/=；的圆心为彳，则/(1,0),O设PaMRlJlJPl2=(X-I)2+/,2rX-y3,3x22/.IJP2=x2-2x+l+3=-2x+4,x-3,3,332令。(X)=-X2-2x+4,3.(x)在-3,$单调递减，g,3单调递增,io io io.(外在=g时最小，即I彳尸最小值为,MP扁=萼，''PQminAPmin-r【题型9直线与椭圆距离最短39. (2023上广东广州高二统考期末)若动点尸在直线N=x+上，动点。在曲线=-2y上，则甲0|的最小值为()【答案】B【分析】设与直线y=+平行的直线/的方程为歹=+机，当直线/与曲线f=_2y相切，且点。为切点时，P,。两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线/的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线y=+平行的直线/的方程为y=+m,当直线/与曲线f=_2y相切，且点。为切点时，pf。两点间的距离最小，设切点0(%,N0),X2=-2y,所以歹=-；一,，111y=-Xff=InXo=,=2»二点2(一1,一；)，.二直线/的方程为y=%+；,.P,0两点间距离的最小值为平行线N=X+g和y=X+1间的距离，”,。两点间距离的最小值为Iw.-