一元微积分的编程实现.docx

2.2实验2一元微积分的编程实现【实验目的与要求】实验目的：熟悉用Mathematic进行一元微积分计算的编程方法。先修内容：第一篇计算机数学第1章极限与连续和第2章微分与积分。实验要求：掌握数学表达式的正确书写格式；熟悉Mathematic有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。【实验原理】MathematiC的基本语法、数学表达式的正确书写格式；有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。【实验步骤】2. 2.1实验内容1极限Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有表2.2.1种的一些命令。表2.2.1极限的主要命令及说明命令说明Limitexpr,xx当X趋向于x时求expr的极限Limitexpr,xx,Directionl当X趋向于x时求expr的左极限Limitexpr,xx,Direction-1当X趋向于x时求expr的右极限Infinity无穷大趋向的点可以是常数，也可以是+8,-8。注意MathemiCa没有区分8和+8,求X8时的极限要小心。下面就具体操作几个运行极限的Mathemica程序。1 .求IimG+2XTOO3%-6利用Limitexpr,xInfinity命令，计算Iimexpr；再将表达式expr转化成“”is3x-6其中SqrtA2+2是指&+2。具体运行程序参见图2.2.1。vx2+2j图2.2.1运行IIm的Mathemica程序XTOo3x-6Cq,.sin2X2.求Iim利用Limitexpr,x0命令，计算IimeXPr；再将表达式expr转化成SinJ,其中XTO2Sinx2是指Sin2Xo具体运行程序参见图2.2.2。1. smxj图2.2.2运行hm的Mathemica程序x0XZ3.求IimInx.rO*利用Liinitexpr,x->0,Direction->T命令，计算Iimexpr；再将表达式expr转化x0+成Inx,其中Logx是指Inx。具体运行程序参见图2.指3。图2.2.3运行IimInx的Mathemica程序.v0+2. 2.2实验内容2函数的微分在MathematiCa中，计算函数的微分或是非常方便的，命令为Df,x,表示对X求函数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种如表2.2.2。表2.2.2关于函数微分的几个主要命令及说明命令说明Df,x计算导数或dxDf,x,n计算n阶导数fdxn下面就具体操作几个运行微分的Mathemica程序。例2.2.1求函数e'sinx的导数。利用Df,x命令，计算f的导数；再将表达式f转化成e*sinx,其中Expx是指elt0这样就可得到函数e×sinx导数的Mathemica程序。具体运行程序参见图2.2.4。图2.2.4运行e,sinx的导数的Mathemica程序例2.2.2求函数Ssinx的二阶导数利用Df,x,n命令，计算f的n导数；再将表达式f换成sinx,其中Expx是指e'；n换成2。就可得到函数e'sinx的二阶导数的MathemiCa程序。具体运行程序参见图图实验2.5函数e,sinx的二阶导数的MaIhemiCa程序例2.2.3假设a是常数，对SinaX求导。这题仍可以利用Df,x命令，计算f的导数；再将表达式f转化成SinaX,其中a不做任何处理，就可视作普通的字符(或称为常数)。具体运行程序参见图2.2.5。图2.2.5函数sinax的导数的Mathemica程序MathenIatiCa也可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。如下面例2.2.4o例2.2.4求Xg(X)对X的导数和4阶导数。首先，求函数Xg(X)对X的导数。首先利用Df,x命令，将f转化成表达式xg(x)。其运行结果是gx+xg,x。具体运行程序参见图2.2.6o再求函数Xg(X)对X的4阶导数。首先利用Df,x,n命令，将转化成表达式xg(x),n换成4。其运行结果是4gx+xgx具体运行程序参见图2.2.6。图2.2.6函数Xg(X)对X的导数和4阶导数的Mathemica程序对复合函数的求导上面的方法仍适用。如例2.2.5。例2.2.5求函数ghx对X求导。为了求函数ghx对X求导,首先利用Df,x命令,将f转化成表达式ghx°其运行结果是g，hxh'x。具体运行程序参见图2.2.7。图2.2.7函数ghx对X求导的Mathemica程序如果要得到函数在某一点的导数值可以把这点代入导数即可。如例2.2.6中求(2)o例2.2.6设f(x)=e*sinx,求P。首先,利用Df,xx2命令求P(2)。再将f用表达式Expx*sinx替换,其中Expx表示e'。具体运行程序参见图2.2.8。-ll ×l一 H1超求微分nb*hPO:=DExpx*SiAx,x/.x2OutpO=CtCos(2+ciSi2InRl:=H%Outpi=3.64392100%'jj图2.2.8求F(2)的Mathemica程序2.2.3实验内容3计算积分1.不定积分在MathematiCa中计算不定积分命令为TntegerateEf,x,当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。例如求JSin(Sinx)dMaIhematica就无能为力。其运算结果见图2.2.9。图2.2.9积分Sin(Sinx)dxMathematica运算结果但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatiCa还是能轻易求得，例如下面例题2.2.7o例2.2.7求用du o若用手工运算相当麻烦，但用MatheMatiCa程序运算就容易多了。先用工具栏直接输入不定积分式，在运行结果。如图2.2.10的MatheMatiCa程序设计结果。L2图 2.2.10积分（-里】-du的Mathematica运算结果J2+1Im2积分变量的形式也可以是一函数，例如例2.2.8中计算JSin(SinX)d(sinx)也可以利用MatheMatica程序设计。例2.2.8计算Jsin(sinx)d(sinx)o先用工具栏直接输入不定积分式，即可求得正确结果。具体结果参见图2.2.11。图2.2.11积分JSin(SinX)d(sinx)的MathematiCa运算结果对于在函数中出现的除积分变量外的符号，统统当作常数处理，例如例2.2.9积分(a2+bx+c)dx中a、b、C在运算过程中就当常数处理的。例2.2.9计算积分J(ax2+bx+c)do首先，输入J(ax2+bx+c)dx的Mathematica运行程序后，即可以得到结果c+%+Q0具体运行情况参见图2.2.12。23图2.2.12积分j(ax2÷b×+c)dx的MathematiCa运算结果2.定积分定积分的求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入积分限IntegrateEf,x,min,max,或者使用工具栏输入也可以。例2.2.12定积分Ix2et,'dxo利用命令TntegrateEf,x,min,max,将f转化成表达式xzeax,其中ExPax表示en其运行结果是空它。具体运行程序参见图2.2.13。-ll ×l3S积分nb*In8：=Integratex2E>ax,x,-4z4128CixOut8三3100%-<I图2.2.13定积分，X2eaxd×的Mathematica运算结果命令Integratef,x,min,max),也可以求广义积分。例如下面例2.2.13。例2.2.13求积分f4-dx.Jo("2)2这是一个瑕积分，照例用命令Integratef,x,min,max直接输入即可得到结果。详见图2.2.14。图2214积分一!Jo (x-2)2dx的Mathematica运算结果同样，命令Integratef,x,min,max也可求无穷积分。例如例2.2.14。例2.2.14求积分公。这是一个广义积分，照例用命令Integratef,x,min,max直接输入即可得到结果。详见图2.2.15o图2.2.15积分Idr的MathematiCa运算结果Jl4如果广义积发散也能给出结果，例如例2.2.15。例2.2.15求积分jgdx。这是一个发散的广义积分，照例用命令IntegrateEf,x,min,InaX直接输入也即可得到结果。详见图2.2.16图2.2.16积分J：-g公的MathenmiCa运算结果对于广义积分如果Mathematica运算程序无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如例2.2.16,其运算结果参见图2.2.17o例2.2.16f2ld(>JoX照例用命令Integratef,x,min,max直接输入，因为X=O是奇异点，按一般广义积分的定义，这个积分发散，这是出现提示，返回的只是原输入式的输出形式。具体结果参见图2.2.17o图2.2.17积分fLr的MathematiCa运算结果JoX如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关,它也能给出在不同情况下的积分结果例如例2.2.17。例2.2.17求积分JlXP用命令Integratef,x,min,max直接输入，+8用Infinity代替。输出结果含有一个字母参数P，这时返回的结果是一个条件表达式，当P的实部大于1时值为一,否则-1+p发散。具体结果参见图2.2.18。f4>1图2.2.18积分Idx的MathCmatiCa运算结果JlXP在Integrate中可加两个参数Assumptions和GenerateConditions例如例2.2.17中,只要用ASSUnIPtiOnS->Rep>l就可以得到收敛情况的解。0积分nb*In20)：=Integratelxpz(xzlzIftfiftity),ASSlnT(tioAsRep>11Outp-1+p100%«I-ll×l图2.2.19积分广dx在p>l的情况下的Mathematica运算结果XP3.数值积分数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用InIegrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。它的主要命令格式为表2.2.3中的命令。NintegrateEf,x,a,b在a,b上求f数值积分Nintegratef,x,a,xl,x2,，b以xl,x2.为分割求a,b上的数值积分Nintegratef,x,a,b,MaxRecursionn求数值积分时指定迭代次数n.下面我们求SinSinX在0,冗上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分可以求得近似值。如例2.2.18。例2.2.18求积分Jsin(sinx)dxo这个被积函数f(x)=sin(sinx)找不到初等的原函数,用命令Integratef,x,min,max直接输入，得不到结果。但用命令NintegratelXx,a,b输入，即可得到近似值。具体情况参见图2.2.20,其中Pi表示/。图2.2.20积分fsin(sinx)dx在Mathcmatica程序下的数值解Jo如果积分的被函数存在不连续点，或存在奇异点我们可对积分进行分段求解。例如例例2.2.19求积分J：-=rdx<,被积函数;在T,1上，显然有=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分,x必须在其中插入点0。于是，利用数值积分命令Nintegratef,x,xmin,Xi,x2,，xmax-ll Xld输入，其中X”x2,是奇异点。这样就可得到积分的数值解。具体操作参见图2.2.210积分nb*I中工厂WIfttegarte1/Sqrtl)sxzxz-1,0,1)General:spelll:Possiblespellingerror:ewsybolae"NItegarte"issimilartoexistingsymbol,NI11tegrate".Outp2=NI>tegarte-,×,-1,0z1)lAbsxI<P5:=Nlfttegrate1/SqrtMjsxfxz-1,0z1OUt35=4.图2.2.21积分J：jdx在Mathematica程序下的数值解对无穷积分，也可求得积分数值解，例如例2.2.20。例2.2.20求积分e"dx0对于求无穷积分的数值解，也可以直接用命令Nintegratef,x,a,b,其中b可以用无穷大Infinity替换。具体操作参见图2.2.22。图2.2.22积分j：e*dx在MathematiCa程序下的数值解思考题：可以将第一篇中的习题一、习题二中的题用Mathematica程序做一下。