重难点07数列的通项公式（十二大题型）（解析版）.docx

重难点07数列的通项公式【题型归纳目录】题型1:观察法题型2,叠加法题型38叠乘法题型4：待定系数法题型5,同除以指数题型自取倒数法题型Z已知通项公式/与前项的和S“关系求通项问题题型8:周期数列题型9：前项积型题型10：因式分解型求通项题型Ih。"+2=MN+网”题型12：取对数法【方法技巧与总结】类型I观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.类型II公式法：若已知数列的前项和S与%的关系，求数列/的通项为可用公式z=E'S=l)构造两式Sn-S”,("2)作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即q和%合为一个表达，(要先分=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).类型In累加法：an-an-=/(«-0形如4.1=%+/()型的递推数列(其中/()是关于”的函数)可构造一%一%"(-2)a1-ax=/(1)将上述叫个式子两边分别相加，可得：an=f(n-)+f(n-2)+./(2)÷/(1)+ap(n2)若/()是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若/()是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和：若了()是关于的二次函数，累加后可分组求和；若/()是关于的分式函数，累加后可裂项求和.= (-1)= (w-2) an-2类型IV累乘法：形如4.l=q"5)也=/()型的递推数列(其中/()是关于的函数)可构造:将上述吗个式子两边分别相乘，可得：an=f(n-1).f(n-2)./(2)(l)a1,(n>2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.类型V构造数列法：形如4+LP4+4(其中P，夕均为常数且PWO)型的递推式：(1)若=时，数列”为等差数列；(2)若夕=0时，数列%为等比数列；(3)若"且qw时，数列%为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：San+l+=p(an+A)»展开移项整理得%+=P%+(p-l)"与题设。川=MlI+夕比较系数(待定系数法)得4=Vp/O)=%+-=pS"+-)=>4+V=p(4+-)，即1%+一)构p-p-p-p-p-p-lj成以4+”为首项，以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1%+/二的通项整理可P-IIp-ij得法二：由川=pan+q得a”=p*+仪2)两式相减并整理得空口=P，即。川-/构成以-qanan-为首项，以P为公比的等比数列.求出。的-%的通项再转化为类型IH(累加法)便可求出.形如a"+1=pan+f(n)(p1)型的递推式：当/()为一次函数类型(即等差数列)时：法一X设+B=+4(-1)+8，通过待定系数法确定/、8的值，转化成以4+彳+B为首项，以P为公比的等比数列m+A+8,再利用等比数列的通项公式求出%+痴+5的通项整理可得见.法二：当/'()的公差为d时,由递推式得：an+l=pan+fn)>/=pa”_+/(-1)两式相减得：a-an=p(an-an,l)+d令2-4得：=pv+d转化为类型V求出“，再用类型11I(累加法)便可求出当/（）为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设/+/（）=Pkl+通过待定系数法确定4的值，转化成以q+4（l）为首项，以4n=G¾为公比的等比数列%+4”）,再利用等比数列的通项公式求出%+之/（）的通项整理可得%.法二：当/（）的公比为夕时，由递推式得：An+1=pan+f（n），an=pa+f（n-两边同时乘以夕得=1+4（一1），由两式相减得。用=p（“-乎*），即，XL=p,在转W%化为类型V便可求出4.法三：递推公式为%.小氏+夕"（其中p,9均为常数）或a.=3"+处"（其中P，夕，均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以夕川，得：=+-,引入辅助数列帆（其中”=±）,得:qqqqq“X=K"+'再应用类型V的方法解决qq当/（）为任意数列时，可用通法：在=".+/（）两边同时除以P'川可得到编=2+噌，令之=瓦，则加="+噌，在转化PPPPP为类型小（累加法），求出“之后得勺=P边类型VI对数变换法：形如aw+1=Pag（P>0,aw>0）型的递推式：在原递推式a”.=Pag两边取对数得Ig%=glg%+lgp,令:=Iga”得:+1=qbn+p»化归为4.=p%+夕型，求出之后得/=10"（注意：底数不一定要取10,可根据题意选择）.类型Vn倒数变换法：形如%7-%=p%M（P为常数且PWo）的递推式：两边同除于勺/“，转化为'=一+P形式，anan-化归为%=P4+g型求出!的表达式，再求凡;*还有形如。川=K的递推式，也可采用取倒数方法转化成一=!+'形式，化归为PA+q%+1q%P%+=pan+q型求出:的表达式,再求an-类型Vl形如.2=PaN+q*型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列%-%7的形式求解.方法为：设/+2-m+1=g%-他），比较系数得h+k=p,-hk=q，可解得、左，于是/+-是公比为力的等比数列，这样就化归为z+=pa“+型.总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.【典例例题】题型I：观察法1357例1.（2023上河南高三校联考期中）数列-而,的一个通项公式为（）a.(7)0 岁 b. (Tr 与 22C. (T)'2n【答案】【解析】设该数列为叫，“=”FF二一76选项A,tf,=-p 不满足题意，故A错误;选项B,4=!，不满足题意，故B错误;6选项C,tf1=-p 不满足题意，故C错误;选项D,I3574=7,。2=-了Mq=7，%=-2，均满足题意.248Io故选：D.例2.（2023上山东青岛高二统考期中）写出数列LHB的一个通项公式%=（）A.2/1 1B.In 1C.2 + lD.2 + 1【答案】B【解析】数列中，3579则其分母为2"T，分子为2-1,则其通项公式为In I故选：B例3.（2023上福建龙岩高二校联考期中）数列5,2,-3,-10,-一的通项公式可能是（）B. a=6-niA.a=6-n1D.an=8-3w【答案】A【解析】对于A中，由勺=6-2,可得q=5,%=2j%=-3,%=TO,，符合题意，所以A正确;对于B中，由4=6-K可得4=5,2=-2,不符合题意，所以B错误；对于C中，由4=6-，可得=5,%=4,不符合题意，所以C错误；对于D中，由%=8-3，可得q=5,%=Z%=-l,不符合题意，所以D错误.故选：A.579变式1.(2023上甘肃张掖,高二高台县第一中学校考阶段练习)数列：1,»».»的一个通项公式是()A.%=(T)"N+)B.勺=(-1,N+)n+nIi+3/7C.an=(-ir+)AzL(WeN+)D.=(-1)N+)n+2nn+In【答案】D35791【解析】观察数列m各项，可写成：丁三，-三，一7，-7,选项D满足，选项A中，%=；,选项B1x32×43×54x6231中，卬=：,选项C中，4=；,均不符合题意.故选：D变式2.(2022上福建漳州高二校考期中)下列不能作为数列2,0,2,0,L的通项公式的是()A.=l÷(-l),+lB.=1-(-1)"C.%=1+(-1)"D.an-1-COS万【答案】C【解析】A选项：通项为勺=1+(-1)向的数列的前4项分别为4=1+(l=2,2=1+(-1/+,=0,a3=1+(-l)+l=2,4=1+(-l)4+'=0,成立；B选项：an=1-Fly=1+(1)+成立；C选项：通项为4=1+(-1)”的数列的第1项分别为。产1+El)I=0，不成立；D选项：通项为q=I-cos“的数列的前4项分别为q=Hcosr=2,a2=1-cos2=0,ai=1-cos3=2,a4=1-cos4=0,成立，故选：C.变式3.(2023下江西上饶高二上饶市第一中学校考阶段练习)数列-1,3,-乙15,的一个通项公式可以是()A.an=(-)n(2n-)B.%=(T)”(2-1)C.1=(-l+1(2w-l)D.%=(T严(2-1)【答案】A【解析】数列各项正、负交替，故可用（-1）"来调节,X1=2i-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,.,所以通项公式为4=(-iy(2n-l),wN*故选：A.题型2：叠加法例4.（2023黑龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考期中）3已知数列q满足q=:，%/=4+一一2求应的通项.（2）数列/中，q=1,=-T（为正整数），求22勺+1【解析】因为。n%+土，所以/=-z=n +n z(w + l) n w + 1所以q=勺一勺-1-能-2+见-2 - 4-3 +- 4+% =w-1 n n-2w-13_2n.131综上i二5二而4=3符合上式，故=廿因为L=备所以2位粉着一"2021202220202021201920201， 22022嫁、1".：二TTTT2022例5.（2023甘肃天水统考一模）在数列4中，q=2,且勺H% + In 1+ J求数列/的通项公式.【解析】由题设= In2+ + lnj + 2 = 2 + ln 且 2,所以q=（可一%_1）+.+（生一。1）+。1=In显然q=In1+2=2满足上式,所以勺=2+ln例6.（2023全国高三专题练习）已知数列可满足可”=q+3-2（wN+）,且=1,求数列为的通项公式.【解析】因为%+=%+3/-2,所以。.一。时1=3-5(w2),.,%-=l,所以即+（w2）（累加）,37又q=l,所以二2-+3(>2),2237因为当=1时，一F×1+3=1=fl,2257所以=±2一,+3(wN+).2 2变式4.(2023全国高三专题练习)若在数列%中，=1,an=an+n2t求通项。2%=1,、3-a2=22,【解析】由-=(+/,得：勺一%T=("T)2,以上个式子相加，又+22+3?+3="5+1)(2"+1),6所以0=1+3+32+.+(一1)2=1+('1)；伽-1)=243+6变式5.(2023全国高三专题练习)在数列凡中，=3,可“=%+7=，求通项公式【解析】原递推式可化为nn+ltll1111则%=q+11%/+二屋11114=3÷T7*，an=an-+-7-，3 4W-In逐项相加，得=+l-Ln4,，1故%=4.n题型3:叠乘法例7.(2023全国高三专题练习)在数列,中，q=l,=»求通项4.+11a,f+，ananla.a.n-n-23211解析由条件等式3=；得，×-×*×-×-=×一××7×7=an+1%an_2a2axnn-21nn例8.（2023全国高三专题练习）已知应中，%=号4，且4=2,求数列通项公式.z.»,ann-【解析】数列4中，。用=an,«1=2,显然见工0,当“2时，=7»+/+1a, a, 勺=% a a2n -4 n 3 n2 n 14n -2 n -1 n n +1 £ +1 )q =2也满足上式,、4所以数列%通项公式是勺=而JJ例9.（2023全国高三专题练习）已知：1=-,%=三二7（2）求数列%的通项.32/7+1【解析】在数列。“中，当"2时，an='an_,显然。小工。，则=f_J，32+1a»i4?十1a1a.a1352w-111*4=%-=7*TiF?也满足上式，1a2n.l3572w+12n+13所以数列%的通项是q=.变式6.（2023江西南昌统考一模）已知正项数列/满足。尸1,2,的=64,且=履3（wN*）.（1）求情的值;（2）求数列/的通项公式.解析】（1）当=I时，=ka；=3=4%,当=2时，a-,a4=kaj=>128=Zr（4A:）2=>Zr=2；（2）因为=2,所以44+,=2。3，则“il=2也,凡令"二空，所以加=2”,则也是等比数列,n因为a="=2,q=2,所以“=w"7=2",所以也=2",aanana.a.a,则an=×-iij-×-2z××-×1an-an-2an-3Cl变式7.（2023全国高三专题练习）已知数列q满足：4=g,%=答4，求数列凡的通项公式.【解析】由题意得%L=L当2时，又4=/也满足:式，所以见=合.故Y.题型4：待定系数法例10.（2023甘肃临夏高二校联考期中）已知数列%,且e=2,an+i=2an-,zzN(1)求“的通项公式；【解析】(I)因为劣+=24“一1,所以。”+1-1=2%一2=2(%-1),其中4-1=2-1=1,故%-1是首项为1,公比为2的等比数列，故%-l=2f所以勺=2N+1；例11.(2023河南周口高二校联考阶段练习)已知数列M满足:=3q+I=3q4+2,eZ.证明:-2是等比数列；【解析】(1)由=3-4+2得，%一2(+1)=3an-6=3(an-2n),又-2=1,故%-2是以1为首项,3为公比的等比数列.例12.(2023辽宁沈阳高二校联考期末)已知数列”的前项和为S“，S1=2q-3,且q=%如一2(“2).(1)求数列%的通项公式；【解析】(I)由S=q=2q-3,解得q=3.因为勺=2。“_|一2,所以勺-2=2(%-2),小2).又外-2=1,所以数列4-2是首项为1,公比为2的等比数列，所以4-2=lx2Z=2wl所以/=2+2.变式8.(2023,全国高三专题练习)已知：4=1,2时，an=-an-l+2n-lf求4的通项公式.【解析】设/+4+8=；/_1+力(/?-1)+8所以“”=3/_|；/一3438-；，=2,fj=-4；1,解得：L，JGb=T偌=622又4-4+6=3.血-4+6是以3为首项，为公比的等比数列，凡-4+6=3(；%=3+4-6变式9.(2023江西南昌高二校考阶段练习)已知数列4中，1=2,且勺=2勺_-+2(2,').求知生，并证明(-是等比数列；(2)求见的通项公式.【解析】(1)由4=2,&=2%T-+2(2/Nj,得=24-2+2=4,3=Ia1-3÷2=7,an-n=2an,l-2n+2=2。小-(一1),1-1=1,a,'n.=2(¾2N+),一(一1)勺-是首项为1，公比为2的等比数列;(2)由(1)an-n=×T:.an=2,-i+n.+ l(w2).变式10.（2023江西南昌高一南昌市外国语学校校考阶段练习）数列为满足q=l,勺=g,若'=32,求证：也为等比数列;（2）求4的通项公式.【解析】(1)由于q=L%=gqt+l("2),所以%-2=5（。小-2）（，壮2）,g=*（"2）,所以数列也是首项为q-2=T,公比为措的等比数列.（2）由（1）得"=一击，所以勺-2=一击,4=2一击.题型5：同除以指数例13,（2023全国高二专题练习）已知数列”满足/.=24.+4x3"T,q=l,求数列%的通项公式.【解析】解法因为勺+尸2勺+4x3'设+，3"=4（%+33小），所以a+1=2an+Z-r-,-3n=a+(-3),1=2£-3，解得 = -4A2 = 2HP+1-4y=2(-4×3-),则数歹J%-4x3"”是首项为q-4x3i=-3,公比为2的等比数列,所以a”-4X3",=-3×2ni,即凡=4X3"T_3X2"、；解法二：因为=2%+43f两边同时除以尸得筋彳号+提,所以也一自二2川以3日 3 3区_33" 3所以%3" 37是以T为首项，（为公比的等比数列,一（|）所以勺=43R3x2"，例14.（2023高二课时练习）已知数列勺中，1=3,+1=3+2×3+>JV求数列4的通项公式;【解析】由。/尸3%+2x3叫得:23fl+,÷1 3”%+_/_93+,3"即数列率是首项为1，公差为2的等差数列,$21，得见=（2-1）3".例15.（2023宁夏中卫高二中宁一中校考阶段练习）已知数列%,"满足=2,%+产2q+2用也=2-1（1）证明:为等差数列，并求可通项公式;【解析】（1）因为%+=2%+27所以两边同除以2向得：爵=崇+1，即符曰”又因为q=2,所以修的首项1=1,所以崇是首项为1，公差为1的等差数列，所以（=l+（-I）XI=，所以Qjf=小2"变式11.（2023江苏南京高二南京市第二十九中学校考开学考试）设数列为的前项和为S“=2”“-2”.设CL。川-2勺，求证：数列f是等比数列；（2）求勺及S”.【解析】（1）证明：当=1时，=S=2q-2,解得q=2,J=S用一邑=22角一2%+2”，化为勺+1-2%=2"，所以。“二4.2勺=2”，可得f2j.=2,ct=2,Cn则数列q是首项和公比均为2的等比数列；（2）由%24=2"，可得"“+1A华2+,T2，则停为公差为!首项为的等差数列，可得/=+g（"D'则见=5+l）2Z;所以S.=2/-2"=（+1）2-2"二小2".变式12.（2023贵州遵义高一校考阶段练习）己知列勺满足q=2,且可讨=2%+2川，N*.（1）设“喙，证明：数列也为等差数列；（2）求数列%的通项公式；【解析】由题设知：爵等=1，且$1，同是首项、公差均为1的等差数列，又喙，则数列也为等差数列，得证.（2）由（1）知："=/=,V.题型6：取倒数法例16.（2023全国高三专题练习）设6>0,数列/满足=b,4=她T（“2）,求数列忆的通an-+f1-l项公式.【解析】M=W752）,%=如屿，两边取倒数得到山=廿4+4），3+14+-hanbhan=vc+1=-cb÷-,cb+1=ch÷1,.,c+1-c=1,.数列%是首项为g=5=1'公差为1的等差数列.l=l+(-l) = w,1'数歹uj+p是以CI+丁=，+丁=；+T=TT/二'为首项，4为公比的等比数列.1/)1-0a1-0bI-Oo(I-o)b_1_111_,%+T三=b(-b)布=b"(l-b)'11.*.Ch=,"bn(l-b)-b.n1_1,'abn-b)Tb111_1"-bn(-b)Tbbn(-b)'“-b"例17,(2023陕西渭南高二渭南市杜桥中学校考阶段练习)已知数列凡满足q=g,4+=(1)求证数列'L是等差数列；(2)求“的通项公式；(3)试判断嬴是否为数列4中的项，并说明理由.【解析】(1)由题可得一L=L+3,L-L=3,%&anan是以3为首项，3为公差的等差数列；(a11)(2)由得，一=3+3(-1)=3，%'an=-3(3)令勺=；=焉，解得=673,673SN',故总是为数列,中的项例18.(2023全国高三专题练习)已知数列%满足：%=2,4=产七(之2),求通项/.【解析】取倒数：=+2<>-=2,故是等差数列，首项为_L=1，公差为2,%an-4%IAJ%2=+2(zj-1)=2w-,22,2a=n4w-3变式13.(2023全国高二专题练习)已知数列凡满足凡+产,q=l,求数列q的通项公式.n【解析】=-,%2an首项，=1,公差为5,421/2-(w÷1),art=-.若4 = 1,求数列%变式14.(2023全国高二专题练习)已知数列(满足=；,向的通项公式.【解析】将4=1代入已知可得=41+4所以有十二置二H,所以十-A"又一=2,4所以,数列是以2为首项，1为公差的等差数列,所以,-=2+(-1)×1=+l,an所以,题型7,已知通项公式q1与前项的和S“关系求通项问题例19.(2023江苏南通高二校考期中)已知数列4的前项和为S”，且q=g,2(Sz-S“)=(+1)%.求叫的通项公式;【解析】(1)由2(S.“S“)=(+1”“，得2=(+l)勺,则当 2时,2("1)'所以 Q -.". =_2!ST"% an-2 a 1 2(-1) 2(-2)当 =1时，上式成立，2 1 n X= 2 2 2例20.（2023广东高三校联考阶段练习）已知数列4,4的前项和分别为S, Tnf且满足2=3"%,1 Sn an %=1, 2- = -2.n + 2求数列”的通项公式;（2）若7； >102,求的取值范围.【解析】由一知今号所以SL呼,当2时，SR=竽，两个等式相减得a- =（+；”"-坞女 2）,整理可得% = 4j7("2),n -l等式左右分别相乘可得,因为4=1,所以q=，(2)由(1)得"=3"%=3"%所以=1x3+2x32+3x33+小3”，所以37；=Ix3?+2x31334+岁,一，-2Tn=3+32+33+-+3-3n+1n,即_27；=之士-:Ti"1-3所以T=(2.-1)3叫3,n4则a=(2"二)3"+3,7；F=(2Tu+3；(»3声+3一-O恒成立,所以北=色二苧是关于的增函数，且4=102,所以1>102,所以>3,即4例21.(2023江苏苏州高二吴江中学校考阶段练习)已知数列”的前项和为S”，求下列数列凡的通项公式.Sff=S+2.【解析】当2时，凡二S=又q=0满足勺=2”2,故%=2n-2；(2)当=1时，=S=5,当2时,afl=-5.l=(r+2)-(3-,+2)=2.y-*,故。"=尸,:；变式15.(2023全国高二专题练习)已知数列4的前项和为SlIM=I,S'="区.求数列为的通项公式；【解析】由于S“=(+?"",所以2S,=("+1)%，当2时，2S,t=*，得2见=(+1)%-加岛，空理得2*"T所以强总至=士，累乘可得工=，且4=1，所以q=，a经检验可得，4=1也满足上式，所以数列4的通项公式为凡=.变式16.(2023全国高三专题练习)已知数列凡的前项和为S.吗=1,(+3电=阪+"1<).求数列%的通项公式；【解析】因为(+3电=迅川，显然耳>0,所以，二S,S.SxSlS4567当2时，由累乘法得不，-。1-y2-=-y-则W+2）,又SiLL所以s.（"叭"2）,Sl6"6所以当2时，=-5,r11）,=i时，4=1也符合，“W7«I2所以为=智.变式17.（2023全国高三专题练习）在数列%中，a,=l,其前项和S“满足2S”=（+1”“,/1<求数列%的通项公式明;【解析】2S.=5+1）%,之2时有2S”_=加“_1,则2时有2%=2S"-2Sr=（+1）%-勺_1可得（-1）（=m*（"2）,即区=（“2）,an-n-l凡a”1,-12anC所以工_I=-=w,得=，即=%”2,an-凡-2a“T-21q经检验4=1满足上式子，故凡=变式18.（2023江苏连云港高三统考期中）已知数列%满足,+'+°+2=.aa2。3an求数列/的通项公式【解析】（I）V+-=w（D,q%&册当=l时，y=1,故a=l,1352n-31."2时，+÷-+÷="%a24%2n-一得=>an=2n-"2）,而q=1也满足上式，an.*.an-2n-.变式19.（2023江苏淮安高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知数列。“的前项和为S,且SjJl3。“-42'求数列”的通项公式；【解析】（1）因为福二二，所以邑="+-23。“一4223当"=1时，K=SI=54+1-2,所以=2：当2时，Sl=Tal+(一1)233©得%=5。”-%-+1，即。“=3。小一2,则凡-1=3(%-1),所以数列也一1构成以4-1=1为首项，3为公比的等比数列，则凡-l=3",所以勺=3'+l.变式20.(2023甘肃庆阳高二校考阶段练习)已知各项均为正数的数列4的前项和为S”，且“j+4=2Sf,.(1)求数列6的通项公式；【解析】(1)由4+%=2S.得,“+你“=说”故两式相减可得：。3+%+(4+“)=25川-25，化简得由于4各项均为正数,所以。川+%>0,故。向-%=1(常数)，又当=1时，a；+%=2S=24,由于q>0,故%=1,所以数列凡是以1为首项，1为公差的等差数列；故见=.变式21.(2023江苏苏州高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习)已知数列4满足：3a1+a2+a3+,=-(3w-l).(1)求出数列%的通项公式；【解析】(1)因为4+%+%+%=(3”-1)，所以当"2时，al+a2+a3+.+art-1=-(3n,-1),两式相减得，=|(3n-l-3B-'+1)=3(2),当=I时，a1=3,满足上式%=3"(“2),所以数列为的通项公式为凡=3"；变式22.(2023云南大理高二云南省下关第一中学校考期中)设数列q的前项和为S“，若3%=l,Sfj=a"一5"("-l).=l,2,3,(1)求数列%的通项公式；3【解析】(1)因为St=IarJ-万为3当2时，5w.1=(n-i,1-(w-l)(w-2),an=-s,-1=nan-IX_j-?(H-1)+(11-l)0-2)，V(w-l)an-(n-l)art.1-0«-(w-2)=O.(n-)an-(n-)an,l-3(w-1)=O,则%-%=3,又=1,所以%是以1为首项，3为公差的等差数列，故ql=l+(-l)x3=3-2.变式23.(2023山西吕梁统考二模)已知正项数列凡的前项和为S”，且满足6S,=(4+2)(4+1),首项。产1,zrN*.(1)求数列6的通项公式；【解析】(1)6Sn=(an÷2)(an÷l),可得6S用=(%+2)(6+1),两式相减可得6art+1=(n+1+1)(%+2)Y%+1)(%+2,化简可得(。“+1+4”)(。”+1-。“-3)=0,由正项数列q知aw+l+aa>0,所以可“-%=3,又6S=(q+2)(%+l),解得=2或=1(舍去)，所以4是以2为首项，3为公差的等差数列，an=2+3(-l)=3n-l.题型法周期数列例22.(2023上福建高二统考期中)已知数列应满足川=1二，4=T,则w=()l-anA.-1B.yC.2D.1【答案】A【解析】由题意，数列可满足q=T,可得的=；，%=2必=-19=；,，1-Cin22所以数列%构成以3项为周期的周期数列，则4=%x33+l=4=-1.故选：A.例23.(2024上重庆高三重庆巴蜀中学校考期中)已知数列q满足2例+2=可”用，且=3,则O2g=()14A.3B.-C.2D.-【答案】B2-%【解析】由题意数列%满足2。e-2=。屋。1,则=故由q=3,得出=百=-2M=G=Ta=0=%R=:ZZ23由此可知数列凡的周期为4,4J1“乂202344x505+3=43=万，故选：B例24.（2023上甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列q满足凡X=J-（£此），若l-anq=2,则/OO=（）A.-1B.yC.1D.2【答案】D【解析】因为数列凡满足q+=/二吗=2,所以生=1!一=-1,。3=7二=；，%="=2=%,I,-anl-a1I-a12l-tz3所以数列q是以3为周期的周期数列，所以00=%=2.故选:D.变式24.（2023上江苏盐城高二校考期中）已知数列%中，q=2,an=l-（n2）,则取必等于an-（）A.1B.C.D.222【答案】D【解析】根据=2并利用%=1-一可得/=1-工=Lan-%2所以可得数列q是周期为3的周期数列，即2023=%<674÷l=4=2.故选：D变式25.（2023上甘肃白银高二校考期中）在数列q中，若4=2M=I（22）,则4二（）an-A.-1B.gC.2D.1【答案】C解析由题意得q=2,=1-=1-=-,/=1=1-2=-1,%22a2a4=1+1=2,%故%为周期数列，一个周期为3,故a2023°674<用=4=2故选：C变式26.(2023上湖南高二校联考期中)已知数列,中，4=3,ar=-(n2),则的必等于()an-a4bIcId3【答案】D【解析】因为=3,an=1-(w2),an-,1,12,1,31,1Ce所以。2=1一=1-=,“3=1=1-=-,%=1=1+2=3,LLLa133a222ai所以数列4是以3为周期的周期数列，又2023=3x674+1,所以出023=%=3,故选：D.题型9：前项积型例25.(2023河南高三期中)已知数列6的各项均不为0,其前项的乘积7；=20七%+若/为常数列，求这个常数；(2)若=4,设"=10g2,求数列t的通项公式.【解析】(1)已知9=2"Tq当=2时，有%=2"2+=%q=2q,因为q为常数列，所以4q=2q=>%=2故这个常数为2.(2)已知。=2"。1,所以当2时，(=，=芸也=红幽=匕=2%,加2%两边同时取对数，则Iog2rt+1=21og2-1=Iog2n+1-l=2(log2an-),当=1时,7I=1=2=4,Iog22=2,因此log?%-1的首项为1,且从第二项开始，是首项为1,公比为2的等比数列，l,n=l2,w=1所以嗨%-1=2，所以嗨%=2-÷l,rt2所以数列M的通项公式为d22+1,21例26.(2023重庆西南大学附中高三阶段练习)记S”为正项数列q的前项和，且端+其+。(1)证明：d+/=2S”；Q)记数列的前项积为4证明：数列是递增数歹J.【解析】(1)证明：当=1时，a：=S；=q2,因为fl>0,所以4=1,当2时，由；+w+c