重难点06求直线方程的十四大方法汇总（原卷版）.docx

重难点06求直线方程的十四大方法汇总题型解读/ESi满分技巧!技巧一.由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法。技巧二.由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程,再求解方程，称为公式法。技巧三.过两直线交点的直线系方程过直线A：A×+By+C=0:A2x+B2y+C2=O,交点的直线方程为Ax+By+C+入(A2×+B2y+C2)=0(为参数，不包含h)技巧四.当所求直线与已知直线"+By+C=0平行时,可设所求直线为4v+By+A=0(/1为参数目l。，再结合其他条件求出A,即得所求直线方程.技巧五.当所求直线与已知直线X+By+C=O垂直时，可设所求直线为Bx-Ay+=O（为参数），再结合其他条件求出入即得所求直线方程.公勤题型提分练/题型1直接法【例题U（2023秋高二课时练习）已知直线，在y轴上的截距为4,倾斜角为且COSQ=|.求直线的方程.【变式1-11.（2022秋甘肃嘉峪关高二统考期末）三48C中,BC边上的高所在的直线的方程为-2y+1=0,角4的平分线所在直线的方程为y=0,若点8的坐标为（1,2）.（1）求点4的坐标.（2）求直线BC的方程.【变式1-12.（2020浙江高二统考期末）已知A4BC的顶点A（5,l）,AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,乙8的平分线BN所在直线方程为-2y-5=0.求：顶点B的坐标；直线BC的方程.【变式1-1】3.（2023春重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考期末）已知皿-1,-1）、8（2,5）在直线/上.（1）求直线，的方程；（2）若直线，I倾斜角是直线，倾斜角的2倍，且与/的交点在y轴上，求直线匕的方程.【变式1-14.（2023江苏高二专题练习）直线I的倾斜角是直线5x+12y-l=0倾斜角的一半，且直线I与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线I的方程可能是（）A.5x+y-10=0B.y=-gx+lCW+=1D.5x-y-l=0【例题2（2020秋黑龙江高三黑龙江实验中学校考期末）已知直线过点（1,2）,且纵截距为横截距的两倍，则直线I的方程为（）A.2xy=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或X÷2y2=0D.2xy=0或2%+y4=0【变式2-11.侈选）（2023秋高二课时练习）已知直线,过点P（4,5）,且直线/在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程为（）A.5x4y=0B.xy+l=0C.x+y-9=0D.x÷y+l=0【变式2-12.（2023秋福建莆田高二莆田华侨中学校考期末）直线/过点P（3,2）且与娉由、y轴正半轴分别交于4B两点.若直线，与2工+3y-2=0法向量平行，写出直线，的方程；求A408面积的最小值；【变式2-1】3.（2023全国高二随堂练习）直线1与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2,两截距之差为3,求直线，的方程.【变式2-14.（2022秋山东青岛高二山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知直线1过点P（-3,4）（1）它在y轴上的截距是在X轴上截距的2倍,求直线，的一般式方程.（2）若直线，与X轴负半轴、y轴的正半轴分别交于点4,B,求AAOB的面积的最小值.【变式2-15.（2023秋全国高二期中）过点P（2,l）作直线/分别交”的正半轴于48两点.（1）求4480面积的最小值及相应的直线Z的方程；当|。川+IoBl取最小值时，求直线1的方程.题型3点斜式法【例题3(2021秋陕西渭南高一统考期末)已知圆C过点(2,6)且与y轴相切,圆心C在线段y=2x(1%4)±,过点4(1,0)的直线I与圆C相交于M,N两点.求圆C的方程；若IMNl=23,求直线I的方程.【变式3-11.(2023秋江西宜春高二江西省丰城中学校考期末)已知圆C:(x-l)2+(y-I)2=2.(1)若直线/过点A©,0)且被圆C截得的弦长为7,求直线/的方程；若直线，过点8(3,0)与圆C相交于P,Q两点,求仆CPQ的面积的最大值，并求此时直线I的方程；【变式3-12.(2023秋重庆长寿高二重庆市长寿中学校校考期末)已知以点4(-1,2)为圆心的圆与直线Z1：X+2y+7=0相切，过点8(-2,0)的直线I与圆A相交于M,N两点，Q是MN的中点lMN=219.(1)求圆A的标准方程；(2)求直线I的方程.【变式3-13.(2023秋全国高二期中)在SBC中，4(3,4),(-l,3),C(5,0).(1)求BC边的高线所在的直线的方程；过点A的直线I与直线BC的交点为D,若B、C至II的距离之比为1:2,求D的坐标.【变式3-14.(2023秋福建宁德高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知直线！经过点M(L2).(1)若直线，到原点的距离为1,求直线由勺方程；(2)若直线/与X轴、y轴的正半轴分别交于4B两点，求SMOB的最小值，并求此时直线，的方程.【变式3-15.(2023秋高二单元测试)已知直线!的方程为：(2Tn+1%+(m+l)y-7m-4=0(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线匕，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求。的方程.题型4结构式法【例题412023春上海普陀高二上海市晋元高级中学校考期中）三301+401=1,302+402=1目团02,则经过凯瓦岛）、团（02,团2）的直线日的一般方程为【变式4-11.（2020浙江杭州高二期末）已知直线%文+1y÷l=0和直线做汇+By+1=0都过点4（2,1）,则过点%（%,瓦）和点。2（&，历）的直线方程是（）A.2x+y+l=0B.2xy+l=0C.2x+y-1=0D.x÷2y+l=0【变式4-l】2.（2023春上海黄浦高二格致中学校考期末）已知PIa,瓦）与224，匕2）是直线y=+Kk为常数）上两个不同的点，则关于X和y的方程组b焉=:的解的情况是（）A.无论k、pi、P2如何，总是无解B.无论k、pi、P2如何，总有唯一解；（：.存在1、P2,使之恰有两解D.存在k、Pl、p2l使之有无穷多解【变式4-1】3.（2022高二课时练习）若3%1-4y=2,3x2-4y2=2,则过做与必）、取不必）两点的直线I的方程为【变式4-1】4.（2022全国高三专题练习）已知两直线6+b1y-1=0和做义+b2y-1=0的交点为P（l,2）,则过QI（Ql也），（?2（&也）两点的直线方程为题型5交点系方程法【例题5】（多选）（贵州省2023-2024学年高二上学期阶段性联考（一）数学试题）已知直线，过直线占y=-x+10和，2：3x-y=0的交点,且原点到直线/的距离为3,贝的方程可以为（）A.%=3B.4x-3y-15=0C.4x-3y+15=0D.3x+4y-15=0【变式5-11.（2023全国高二随堂练习）已知直线I过直线3x+4y-2=0与，2：2x+y+2=0的交点，且平行于，3：+2y-5=0,求直线I的方程.【变式5-1】2.(2023全国高二随堂练习)(1)求经过直线毋无+3歹一4=0,22：5义+24+6=0的交点，且过点4(2,3)的直线的方程；(2)求经过直线，1：X-3y-4=0和，2：2x+y-1=0的交点，且与直线，3：3x-4y+5=0垂直的直线的方程.【变式5-13.(2023秋福建宁德高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知?!BC的顶点为A(0,4),8(-2,6),。(一8,0).(1)求AC边上的中线BO所在直线的方程；(2)求经过两条直线L:X-y-3=0和，2：%+y+5=0的交点，且垂直于AC方向向量的直线方程.【变式5-l4.(2022秋山东日照高二统考期末)已知直线，I*+y+3=0直线，2在y轴上的截距为-1,且。112.(1)求直线匕与，2的交点坐标；(2)已知直线G经过。与，2的交点，且坐标原点。到直线G的距离等于2,求直线b的方程.题型6对称问题【例题6(2023春上海杨浦高一上海市杨浦高级中学校考期末)设直线，：-2y-2=0与，2关于直线l.2x-y-4=0对称，则直线。的方程是()A.Ilx+2y-22=0B.Ilx+y+22=0C.5x+y-11=0D.IOx+y-22=0【变式6-11.(2022春安徽宣城高二统考期末)点做3,-4)与点B(T8)关于直线，对称,则直线，的方程为【变式6-12.(2022春湖北黄冈高二统考期末)已知直线h；%+2y-4=0与直线%；%-y-1=0的交点为A,直线/经过点A,点P(l,-1)到直线/的距离为2,直线，3与直线匕关于直线对称.（1）求直线/的方程；（2）求直线。的方程.【变式6-13.（2020秋湖北荆州高二统考期末）已知点Pl（M,%）,。2（不，%）满足1"冷，7依次成等差数列，1,力，力，8依次成等比数列，若匕，P?两点关于直线以寸称，则直线，的方程为（）A.x÷y+l=0B.%y-1=0C.x+y7=0D.2xy5=0【变式6-l4.（2020秋陕西延安高一校考期末港光线沿倾斜角为120。的直线射向X轴上的点A（2,0）,经舛由反射，则反射直线的点斜式方程是（）A.y=-y（x-2）B.y=3（x-2）C.y=-3（x-2）D.y=y（%-2）题型7参数法【例题7】（2023秋浙江嘉兴高二统考期末）已知直线Z与直线匕:2x-y+2=0和：X+y-4=0的交点分别为4B,若点P（2,0）是线段48的中点，则直线48的方程为【变式7-1】L（2022江苏高二期末）已知点M（0,3）,点M、N关于直线，y=l-X对称,若直线过点N且与直线，I交于点P,若S"MN=4,且直线，2的倾斜角大于。的倾斜角厕直线。的斜截式方程为【变式7-12.（2020春全国高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系Xoy中，48为函数、=日国图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线,-3y2+3=0上，则4OAB的面积为A.2B.3C.-D.在23【变式7-13.（2023秋高二单元测试）一直线被两直线占4x+y+6=0J2z3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.【变式7-14.（2023秋四川乐山高二校考阶段练习）解决下列问题：（1）一直线被两直线。：4x+y+6=0,/2：3x-5y-6=0截得线段的中点是P（0,1）,求此直线方程；（2）过点P（2,1）的直线Z交"由、y轴的正半轴于A、B两点，求使：408面积最小时的方程.题型8平行与垂直系直线方程问题【例题8(2023秋河南驻马店高二统考期末)已知直线Z过点。(1,2),且与直线2x-y+3=0垂直,则直线Z的方程为【变式8-11.(2023全国高二随堂练习)写出满足下列条件的直线的方程：垂直于向量(2,3),并且经过点4(-3,4)；(2)平行于向量(3,-5),并且经过点8(1,2).【变式8-12.(2023秋江苏徐州高二校考阶段练习)设直线/的方程为3+l)x+y-5-2=0(R)(1)求证：不论为何值，直线，必过一定点P；(2)若直线。过点P且与直线2%+y-5=0平行，求直线，I的方程；(3)若直线过点P且与直线2x+y-5=0垂直，求直线。的方程；【变式8-l3.(2021春新疆乌鲁木齐高一校考期末)已知直线A3x+y+2=0与直线。*+2y-1=0的交点为M,求经过点M且满足下列条件的直线!的方程：(方程结果用一般式表示)(1)与直线2x+y+5=0平行；(2)与直线3x+2y-4=0垂直.【变式8-14.(2022秋吉林长春高二统考期末)已知直线/经过点P(2,3)且斜率为一,(1)求直线1的一般式方程(2)求与直线，平行，且过点(-3,1)的直线的一般式方程(3)求与直线/垂直，且过点(-3,1)的直线的一般式方程【变式8-15.(2022秋广西桂林高二统考期末)已知直线/经过点P(-2,1),且与直线+y=。垂直(1)求直线1的方程；(2)若直线Tn与，平行且点P到直线Tn的距离为,求直线m的方程.题型9向量法【例题9】(2023秋全国高二期中)直线/过点P(3,2)且与第轴、y轴正半轴分别交于4B两点.(1)若直线与直线2x+3y-2=0的法向量平行，求直线!的方程；(2)如图，若Q=2PB,过点P作平行于X轴的直线交y轴于点M,动点E、尸分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形。力PM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标.【变式9-11.(2023全国高二随堂练习)如图,已知48。的顶点为A(I,-1),B(-1,3),C(3,0),AD是BC边上的高,AE是乙BAC的平分线.求高AD所在直线的方程；求AE所在直线的方程.(提示：在厢上取与正长度相等的向量砥,则福=福+前的方向就是荏的方向.)【变式9-1】2.(2023全国高二随堂练习)B知点4(1,2)和8(-3,-2)点C在直线AB上月IACI=2CB,求过点C且与直线AB垂直的直线的方程.【变式9-13.(2023秋山东临沂高二校考阶段练习)已知直线I过点(1,0),且与直线:3x+y-6=0和G!3x÷y+3=0所分别交于A、B两点，SA=9.求直线I的方程.【变式9-14.(2023秋四川遂宁高二射洪中学校考阶段练习)已知直线/：kx-y+3-k=0交无轴正半轴于力，交y轴正半轴于队（1）。为坐标原点，求aAOB的面积最小时直线，的方程；（2）设点P是直线1经过的定点,求P4PBI的值最小时直线1的方程.题型10直线与圆问题【例题10（2023秋四川凉山高二统考期末）若圆/+y2=4的弦AB被点M（-LD平分，则直线4B的方程为（）A.x-y+2=0B.Xy4=0C.x+y=OD.x+y-4=0【变式10-11.（2023江苏高二专题练习）一条直线经过点M（-3,被圆/+y?=25截得的弦长等于8,这条直线的方程为（）A.X=-3或3x+6y+5=0B.X=-3或y=C.3x+6y+5=0D.X=-3或3%+4y+15=0【变式10-12.（多选）（2023秋广东深圳高二统考期末mQ1x2+y2-2x=0和圆（/+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则（）A.公共弦AB所在直线的方程为-y=0B.线段AB中垂线方程为+y-1=0C.公共弦AB的长为日D.P为圆QI上一动点，则P到直线AB距离的最大值为日+1【变式10-1】3.（2023秋浙江杭州高二杭十四中校考期末）已知圆C:一+（y-2）2=4,直线上mx+y-n1=0.证明：直线I总与圆C相交；(2)设直线I与圆C交于E,F两点，求CEF面积最大时，直线I的方程.【变式10-1】4.(2023全国高二随堂练习)求平行于直线2%-y+l=0且与圆/+/=5相切的直线的方程.【变式10-1】5.(2022秋浙江杭州高二统考期末)已知圆C经过4(2,1)和8(4,-1)两点，且圆心在直线2x+y-6=0上.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点P(3,2)的直线/与圆C交于两点M、Nl且乙MCN=90。，求直线/的方程.题型11距离相等求直线方程问题【例题11(2023秋高二单元测试)已知直线Z经过点(1,1),且力(-4,-1),8(-2,3)两点到直线，的距离相等，则直线/的方程为【变式11-11.(2023江苏高二专题练习)已知直线/经过点(3,4),且点4(-2,2),8(4,-2)到直线的勺距离相等，则直线/的方程为【变式11-12.(2021春宁夏银川高一银川二中校考期末)已知直线/与直线I.3x-y+3=0fflI2!3x-y-l=0的距离相等，则/的方程是()A.3xy+2=0B.3xy2=0C.3xy3=0D.3x-y+l=0【变式11-113.(2022秋广东广州高二广州市从化区从化中学校考期末)过点P(l,2)引直线，使4(2,3),8(4,-5)两点到直线的距离相等,则这条直线的方程是()A.3+2y-7=0B.x+2y-5=0C.3x÷2y7=。或4x+y-6=0D.3%+2y-7=0或+2y-5=0【变式11-14.(2020浙江高二期末)在44BC中,已知4(1,1),8(3,-2)(1)若直线1过点时(2,0),且点48到，的距离相等，求直线，的方程；(2)若直线m：2x-y-6=O为乙。的平分线，求直线BC的方程.题型12距离最大求直线方程问题【例题12】(2023全国高二随堂练习)已知两条平行直线分别过点4(6,2)和8(-3,-1),并且各自绕点4,8旋转,探索这两条平行线之间的距离的变化范围,是否有最大距离？若有,求出距离最大时两直线的方程.【变式12-11.(2021秋上海杨浦高二复旦附中校考期末H知点皿-1,0)和点B关于直线1x+y-1=0对称.(1)若直线人过点8,且使得点/1到直线。的距离最大，求直线。的方程；(2)若直线L过点4且与直线，交于点C,48C的面积为2,求直线。的方程.【变式12-12.(2023秋全国高二期中)已知两条平行直线。与分别过点Pi(IQ)与点。2(0,5),k%之间的距离为d,求d的最大值，并指出此时匕、%的方程.【变式12-13.2023江苏高二专题练习)已知直线，：ax-y+2-=0恒过点P,且与%轴，y轴分别交于力，B两点,。为坐标原点.(1)求点P的坐标；(2)当点。到直线/的距离最大时，求直线/的方程；(3)当IP川P8取得最小值时，求44。8的面积.【变式12-1】4.(2021春贵州黔东南高一统考期末)已知斜率存在的两直线匕与%,直线L经过点(0,3),直线过点(4,0),且hG,(1)若。与，2距离为4,求两直线的方程；(2)若。与%之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程.【变式12-15.(2023秋全国高二期末)已知直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0.(1)证明：直线恒过定点；(2)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少?(3)若直线分别与X轴，y轴的负半轴交于48两点,求44。8面积的最小值及此时直线的方程.题型13最短弦求直线方程问题【例题13】(2023秋高二课时练习)已知点4(2,3)是圆/+y2=25内一点，求过点4最短的弦所在的直线的方程.【变式13-11.(2023春湖南长沙高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试)已知圆M与直线3x-7y+4=0相切于点(1,7),圆心M在%轴上.(1)求圆M的标准方程；(2)若直线/：(2m+l)x+(m+l)y=7m+4(rnR)与圆M交于P,Q两点，求弦PQ的最短长度.【变式13-12.(2023秋全国高二期中)已知直线1:(1+3)x+(1+)y=2+4(4为任意实数),圆C的圆心在y轴上，且经过4(-2,1),8(4,3)两点.(1)求圆C的标准方程；(2)求直线I被圆C截得的弦长的取值范围，并求出弦长最短时的直线I的方程.【变式13-1】3.(2021秋广西河池高一校考期中)已知直线m经过点P与圆°：x2+y2=25相交.(1)若所截得的弦长为8,求此弦所在的直线方程；(2)求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程.【变式13-14.(2022秋四川凉山高二校考阶段练习H知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4/c+3=0.(1)求直线I所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；(2)求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.题型14过X轴定点设直线方程法【例题14(2022秋江苏连云港高二统考期中)在平面直角坐标系中，已知射线OA:2x-y=0(x0),OBix+y=0(x0).过点P(LO)作直线分别交射线OA,OB于点A,B.当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)当AoB的面积为:时，求直线AB的方程.【变式14-1】1.(2023全国高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知射线OA:X-y=0(x0),OB:2x÷y=0(x0).过点P(1,0)作直线分别交射线C)A,OB于点A,B.(1)当AB的中点在直线X2y=0上时，求直线AB的方程；(2)当AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程;当PAPB取最小值时，求直线AB的方程.【变式14-12.(2021西藏拉萨统考三模)已知点F(l,0),动点P到直线=2的距离与动点P到点尸的距离之比为(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点/作任一直线交曲线。于4,B两点,过点尸作AB的垂线交直线X=2于点N,求证：ON平分线段48.【变式14-13.(2015秋山西太原高二阶段练习)在平面直角坐标平面内，已知点A(2,0),F(-2,0),P是平面内一动点，直线P4PB斜率之积为一，4(1)求动点尸的轨迹C的方程;(2)过点Q(LO)作直线/与轨迹C交于M、N两点，。为坐标原点，求"MN面积取最大值时，直线，的方程.【变式14-1】4.(2023河南河南省实验中学校考模拟预测)已知点。在圆Q+IT+y2=8上，4,8的坐标分别为(-1,0),(LO),线段BC的垂直平分线交线段4C于点M.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)P、Q为曲线E上不同于M的两点，直线MP、MQ分别经过点48,求证：直线OM与直线PQ的斜率之积为定值.【变式14-1】5.(2023四川成都成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系XOy中，直线人=-2与X轴交于点A,过I右侧的点P作PM11l垂足为M,且P4=PM+|。川.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点8(1,0)的动直线厂交轨迹C于S,T.证明：以线段ST为直径的圆过定点.