线面角计算的四种方法.docx

线面角计算的四种方法一.基本原理直线与平面所成角(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面。相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点P向平面。引垂线P。，过垂足。和斜足A的直线Ao叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.tJT(2)范围：直线与平面所成的角。的取值范围是0,由上述定义可知，计算线面角的关键点在于向平面做垂线，找到这个垂线段的长度，为了找到垂线并且能够有效的计算出垂线段的长度，除了定义法之外，可以利用等体积法来计算点到面的距离.此外，可以利用面面垂直的性质找到点到面的垂线段，这些都是计算线面角的常用方法之一，最后，再加上一个刻画线面角性质的三余弦定理，它也可以用来计算线面角的大小.二.计算方法方法1.定义法1方法2.等体积法；方法3.垂面法I方法4.三余弦定理二.典例分析：例1.已知正方体48CoAAGR,典I(A.直线BG与DA所成的角为90°C.直线8G与平面88QQ所成的角为45。)B.直线Ba与CA所成的角为90。D.直线8G与平面A58所成的角为45。例2.(2022年高考全国甲卷数学(理)在长方体A3CZ)-中，已知BQ与平面ABa)和平面MgB所成的角均为30。，则()A. AB = IADB. A6与平面A8CQ所成的角为30°C. AC = CB1D.片。与平面BqCC所成的角为45。例 3.四棱锥 P-ABS 中，0D_L底面 AB8, CDAB, AD= DC = CB = i, AB = 2 , PD = W .(1)证明：BDA.PA;(2)求与平面以4的所成的角的正弦值.例4如图，四边形ABCQ为正方形，Ef)_L平面ABC£>, FB/ ED9 AB=ED = IFB = I.(1)求证：ACliSBDEFi(2)求8C与平面AEf'所成角的正弦值.使得点A到达点P,如图2(1)证明：BnL平面Rl0;例5.在四棱锥"一ABa）中，QDJ_底面A8C。，CD/AB,AD=DC=CB=I,AB=2,PD=+.(1)证明：BD1.PA;(2)求与平面¼4的所成的角的正弦值.例6.如图1,在平行四边形ABCO中，ZA=60,AD=I9AB=4,将AABO沿BO折起,(2)当二面角D-¾-8的平面角的正切值为"时，求直线30与平面PSC夹角的正弦值.例7.如图，在四棱锥片一ABCO中，平面COE_L平面ABc0,NABe=NoA8=90。,EC=AO=2,AB=BC=I,DE=>/2(1)证明：ABj_平面AD£；(2)求直线EB与平面E4C所成的角的正弦值.例8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A=45o,AB=&D,E为AB的中点，将AAoE沿直线OE翻折成APO&使平面尸DEJ_平面万C。，尸为线段尸C的中点.(1)证明：BF平面PDE；(2)已知M为线段OE的中点，求直线MFt与平面PQE所成的角的正切值.