第9讲系数放缩（原卷版）.docx

第9讲系数放缩若已知已(%)>g(x),其中4>0且。是Fa)的系数,要证明力(x)(x)>g(x)恒成立，只需要证明(x)4即可，也就是把。)作为幻的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩.【例1】证明：4sin+2lnx-3x2-10.【例2】已知函数/(X)=箸，设8。)=12+/，(外，其中r(x)为/(X)的导函数.证明：对x>0,g(x)<l+e-2.【例3】已知函数/(x)='-lnx-n(mR).若/W=I,求证:X(/(x)+x-)ln(x+l)-l<-已证不等式放缩这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会产生一个不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦.【例1】已知函数/(x)=JdnX+r+l,R(D当x>0时，若关于X的不等式f(x)(恒成立，求。的取值范围.(2)当x(l,+8)时，证明：K"<InXVW-X【例2】已知函数/(x)=xlnx+e".(1)讨论函数g()=/(X)-(e+l)x的单调性.(2)证明：对任意x(0,+),f(x)+x-l恒成立.e【例3】已知f(x)=lnx+2+(+2)+l(R).(1)讨论函数/*)的单调性：(2)设4cZ,对任意x>0,f(x)O恒成立，求整数的最大值;(3)求证：当x>0时，ex-xlnX+2x3-x2+x-1>O.凹凸性切线放缩如果要证明的两个函数一个是凹函数F(X)(向下凸出的函数)，一个是凸函数g(x)(向上凸出的函数)，则证明f(x)2g(x)时，去找它们的共切线y=反+6,只需要证明/(x)yg(x)即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩.【例1】已知函数/(x)=Inx-,证明：f()<近T77-3.444【例2】已知函数/(x)=e'-(1)求曲线/(可在X=I处的切线方程；(2)求证：当x>0时，-+(2-e'-jgx+L