第12讲极值点偏移.docx

第12讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解！极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移：函数/(幻满足定义域内任意自变量4都有")=(2而-力，则函数/(X)关于直线X=Xo对称，X=/必为/(X)的极值点.若F(X)=C的两根的中点为百芳，则刚好有步芦=为，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移.极值点偏移：若受尹工与则为极值点偏移，单峰函数/(X)定义域内任意不同的实数苞，满足/(x1)=(x2),则f与极值点与必有确定的大小关系：若与<美，则称为极值点左偏，即极值点在两根中点的左边.若两>"包，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值后偏移的判定定理求证:对于可导函数y=/(%),在(,力上只有一个极大值点/，方程/(x)=C的解分别为xi,x2,a<xl<XQ<x2<h.(1)若/(xj<f(2xo-)，则Z；&<仆,即函数y=(x)在(%,)上极大值点与右偏.若/(x1)>/(2x0-x2),则百>X0,即函数y=f(x)在&,x2)上极小值点与左偏.证明：(1)对于可导函数y=(x),在(,6)上只有一个极大值点与，则函数/(x)的单调递增区间为(。，Xo),单调递减区间为()，b).由于°<百Vb，有X<,且2/一电<胸.又/(-vI)</(2x0-)fx2ro-x2'<»即函数极大值点与右偏.(2)极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数。和力的对数平均定义：a-bz,、(ab)1.(a，b)=JIna-Inba(a=b)对数平均不等式为：而VL(,b)K.2取等条件：当且仅当=力时，等号成立.只证:当b时，<L(a,/?)<,不失一般性，可设2证明：先证：<LQ,力)式=Ina-Inz=In-21nx<x-(其中x=构造函数：f(x) = 21nx-21则八处二一一1一二X-当x>l时，,(x)<0,函数/(x)在(1，+8)上单调递减.故/(X)/=0，不等式成立.磊(其中京式 <=> na-nb>a + b(2)再证：",b)<4.2构造函数g(x)=ln.v-2"D(x>1),则g,(x)r=工(x+l)X3+I)?x(x+,当x>l时，g<x)>O,，函数g(x)在(1,+oo)上单调递增，故g(x)>g=0,从而不等式成立.综合知，对Va"R都有对数平均不等式必。，b)±!2成立，2当且仅当=8时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下：题型一:若函数/(X)存在两个零点司，勺且N2,求证：%+%2>2%，而为函数/(X)的极值点.题型二:若函数/(x)中存在X，工2且不工“2满足/(Z)=f(%2)，求证：X+工2>2与，%为函数/(X)的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法：证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一：非对称构造构造函数函X)=F(X)-0(2%-X).(2)判断函数人。)的单调性.证明(x)>0或(x)<0即/(x)>/(2而一x)或f(x)<f(2x0-x)J.(4)结合函数的单调性，通过整体代换即可证再+为<2%,或x+x2>2%.构造方式二：对称构造(1)求出函数/(X)的极值点与，及单调区间.作差比较:构造一元差函数F(X)=/(x0+x)-(-x).(3)确定函数尸(X)的单调性.(4)结合7(0)=0,判断F(X)的符号，从而确定/+x),/(与-x)的大小关系，结合函数f(x)的单调性，通过整体代换即可证x+V2与，或x1+x2>2瓦.证法二：引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一：差式引参一般步骤如下：第一步:根据M和勺的关系式，一般为/(再)=/(电)，通过变形，构造出百-12.第二步:通过整体代换，令百-为=八引入参数f,如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数，表示出变量进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二：齐次引参消元一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量百，心满足的等式，并变形出土,然后令a=1.X2X2第二步:用参数，表示出变量进而构造一元函数，将关于有，工2待求的问题转化为关于f的函数问题.第三步:构造关于，的一元函数g(t)求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件.第二步:通过将所有涉及国，X2的式子转化为关于五的式子，将问题转化为关于自变量且(包亦可)的函数问题.再第三步:整体代换区=/,构造关于f的一元函数g(r)求解.电证法四:对数平均不等式法一般步骤如下：第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“ln-心”及“须一局”.第二步:通过等式两边同除以"In-Inx,”构建对数平均数*一In再-InX2第三步:利用对数平均不等式将*一4转化为土后再证明王+<2凤，或Inx1-Inx22x+x2>2xa.【例1】已知函数/(%)=XeT(XWR),如果Xx2,且Fa)=/()，证明：X+2>2.【解析】证明法一：对称构造法广)=(1-工把-“易得/。)在(-<»,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减.x-8时，/(),/(0)=0.Kf+8时，/(x)0.函数/(x)在X=I时取得极大值：/(1)=-.e由/(玉)=/(x2),x1x2不妨设X1<x2.则必有X1<1<X2-构造函数户Gr)=/(l+x)/(l-x),XG(O,1.则F(X)=r。+X)-广(1x)=-(e2x-l)>0.F(x)在Xe(O,1上单调递增，F(x)>F(O)=O,即f(l+x)>/(l-x)对XW(O，1恒成立.由OVKlVlV电,则IfW(O，1.(l+(l-x1)=(2-x1)>/(1-(ITl)=/(X)=(s),BP(2-x1)>(j).又2-百，电(1,+8),且/()在(1,+8)上单调递减，.2-X,<X2»即X+X2>2.法二:非对称构造法欲证司+Jt2>2,印证为>2-司.由“法一”可知OVX<l<x2,故2-X，x2e(,+).又/%)在(1,+8)上单调递减，故只需证明/(x2)<(2-x1).又/(%)=/()，王工芍,，证明/()<(2-马)即可.构造函数H(X)=/一/(2),x(O,l).等价于证明"(x)<0,x(0,1)恒成立.H,(x)=,(x)-(2-)=.(l-e2-2)>0.)在工(0,1)上单调递增.W(x)<W(I)=O,即以证明”。)<0,对x(0,1)恒成立.故原不等式百+x2>2成立.法三：差式引参换元法由/(所卜/仇)，得NeF=r2ef,化简得2F=包.为不妨设工2>司，由“法一"知，O<X<l<令七，贝心>0,工2=，+不，代入式，得e'=，反【解析】出玉=一一.X1e,-1则国+电=2x+=-+f,故要证司+%>2,即证告+>2.Xe,-l>0,等价于证明+(f-2)(d-l)>0构造函数G(Z)=2f+"2)(ez-l),(/>0),则G<r)=("l)e'+1,G(Z)=ez>0,故G,(t)在/w(0,+S)上单调递增，G,(t)>G(O)=0.从而G也在r(0,+8)上单调递增，G(0>G(O)=O,即式成立，故原不等式七+勺>2成立.法四：齐次分式整体消元法由“法三”中式，两边同时取自然对数，可得X-X2=ln%=lnXTnx2.A÷l即屿二生包=1,从而药+=&+引.g±l=±!也/a=ln%百一勺X1一巧W一刍-1均令/='(>1),欲证百+为>2,等价于证明上Llnr>2.1+)构造M") ="四t-x2t-In/,(r>1),则MB)=LT-2hvr(r-D2X4(t)=2-1-2rIntt>1),则>")=2-2(h11+l)=2(f-I-Inf).由于f-l>lnf对Vfe(1,+8)恒成立，故于(f)>0,<p(t)在fw(l,+8)上单调递增.夕(。>以1)=0,从而(r)>0,故Ma)在re(l,+8)上单调递增.由洛必达法则知，IimM=xlHmE=nm(EilM=Hmam+山=2,(下-章会讲)XTl”1XTl(，-1)"Xft)可得()>2,即证式成立,即原不等式x1+x2>2成立.法五:对数平均不等式法由“法三”中式,两边同时取自然对数，可得Xl-X2=In'=lor,-Inx2.X2即=1.把N-W=1代入不等式即可得N-F=1<妇二,即可得芭+为>2.Inx1-Inx2Iilt1-Inx2Inx1-Inx22例2已知函数/(x)=2x-d，上存在两个不相等的数和5，满足")="工2)，求证:xi+x2<21n2.【解析】证明/(=2e"令/'(x)=0得X=In2.当XVIn2时,r(x)>0j(x)在(-oo,ln2)上单调递增.当x>ln2时,/"(力<0,f(x)在(ln2,+8)上单调递减.x=ln2为f(x)的极大值点，不妨设x1<x2,由题意可知x<1112<x2.令F(X)=/(In2+x)-/(In2-)=4x-2ex+2e-x,F,(x)=4-2ex-2e-ex+e-xSlf:,F,(x)0,.尸单调递减.又尸(O)=O,.F(力<0在(0,+8)上恒成立，即/(ln2+x)</(ln2-x)在(O,+a>)上恒成立.(1)=(x2)=/(ln2+(x2-Im)</(ln2-(x2-In2)=/(21n2-x2).X1<ln2,2卜2-七M2,又y(x)在(YOJn2)上单调递增，.xi<2n2-x2.xi+x2<21n2含参极值点偏移含参极值点偏移问题和无参的证法类似,参数可分为在函数中和在不等式中两种类型,可以通过参变分离,把含参问题转换为无参问题,其处理思路和上一节一样,注意将问题转化为/(x1)>(2a-x1),然后构造函数F(x)=f(x)-f(2a-x),利用函数的单调性可得/(内)-/(2。7)>0,从而得出结论.含参型一:函数含参极值点偏移问题例1已知函数/(外=(工-2”，+。(-11有两个零点.求。的取值范围.(2)设是/(x)的两个零点,证明:xl+x2<2.【解析】函数“x)的定义域为R当=0吐/(%)=-2"、=0,得X=2,只有一个零点,不合题意.当40时J'(x)=(X-D(。+2a).i .当4>0时,由尸(X)=O得x=l,由f'(x)>O得x>l,由尸(x)<0得x<1.x=l是/(x)的极小值点,也是/(x)的最小值点.f(4)=(l)=-e<0.又f(2)=>0,.在(1,2)上存在一个零点Z,即1<<2.Y-O1由Iim(x-2)er=Iim=Iim=0-XxX-gX-OC一X又(x-1)2>0,.(x)在(YO,1)上存在唯一零点x,即XVl".a>0时,/(%)存在两个零点.ii .当<0时,由/'(工)=0得X=1或X=In(-2).若In(-2。)=1,HPa=-时,(x).0,故/(可在R上单调递增,与题意不符.若ln(-2)>l,即0<一|时,易证f(x)nux=f=-e<0,故/(x)在R上只有一个零点.若ln(-24)vl,即一：VaVo时，易证./(x)ma=/(ln(-2a)=a(ln2(-2a)-41n(-2a)+5)<0,故力在R上只有一个零点.综上所述,>0.(2)证明法一:非对称构造法由(1)题知，a>0且xi<<X2<2.令MX)=/(%)-/(2-X)=(X-2)，则(x-l)(e20-0-l)、,()=-.,X>1,.X-1>0,e2(x-l)-1>0.hf(x)>0.,.(x)在(1,+8)上单调递增.(x)>A(l)=0(x)>(2-x).(x2)>(2-2).f(x)>f2-x2).,X<1,2-巧<L(x)在上单调递减,，内<2-x2,即玉+9<2.法二:参变分离,再对在构造由已知得Fa)=(w)=o,不难发现苦,2,故可整理得士磬沪霍群.设g(6=镂，则他)=)那么当JCVI时,g，(X)VO,g(x)单调递减.当x>l时,g,(x)>Og(X)单调递增.g'()=(k2f + l(1)3×ex.设m>0,构造代数/1、/1山-1+m-m-l.m+mx.m(m-2mg(l+间-g(l-"?)=×eF-Xe=-×e×e+1设h(ni=-×e2m+l,n>0.则/W)=J：；xe2->O,故单调递增,有(M)>(o)=O.因止匕,对于任意的机>0,g(1+?)>g(1-.由g(xJ=g(X2)可知X,%2不可能在g(x)的同一个单调区间上，不妨设不<“2,则必有玉<1<.令w=l-X>0,则有gl+(lxj>gl(lxjog(2xj>g(xj=g(x2).而2-内>1,J>1送(工)在(1,+8)上单调递增,因此8(2-内)>8(£)02-王>x2.整理得+看<2.法三:参变分M再非对称构造由法二得g(x)=勺当-,构造Ga)=g(x)-g(27)w(o,l)(X-I)利用单调性可证,此处略.含参型二:不等式含参极值点偏移问题【例1】已知函数/(x)=2TnXm*o,R).(I)求函数/(x)的单调区间.(2)若存在两个不相等的正数x1,x2,满足/(1)=f(毛),求证:x,+x2>2.【解析】f(x)=-nx,定义域为(0,+8卜尸(力='一'=±_.当a>()时，aaxaxJ'(x)0,0<x<a,f,(x)<O.当v吐x>0J'(x)<0.故当>0时,/(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(0,+oo).当“<()时,/(力的单调递减区间是(0,+8),无单调递增区间.证明由题知当。<0时,/(x)的单调递减区间是(0,+8),无递增区间，不合题意,故。>0,此时/(x)在(U)上单调递减,在(a,+oo)上单调递增.若存在两个不相等的正数与,工2,满足/(xj=f(w),不妨设X<X2,则有xIW(0,4),9e(4,+00)要证xi+x2>2。,即证x2>2a-xi.x2>a,2a-xi>a.由题知在m+8)上单调递增,故只需证/(&)>"2”大).又/(%)=/(占)，即要证/(芭)>/(2_司)(其中0<&<«).Or(2-x)”考查函数F(x)=f(x)-f(2a-x),尸(x)的定义域是(0,2),F,(x)=f(x)-/(2d-x)=-Iru-+n(2a-x),F,(x)=-+-!aaaxa2a-x当且仅当X=时,才能取等号,F(x)在定义域(O,勿)上恒递减观察知尸()=0,/.当XW(O,)时,产(X)=f(x)-f(2a-x)>0.当(,24)时,尸(X)=f(%)-/(2-x)<0./.当Ke(0,a)B,/(x,)-f(2a-i)>O.xi+x2>2a【例2】已知/(x)=xlnrWX27,me/?.若/(x)有两个极值点玉用，且玉<%，求证:XM2>e2(e为自然对数的底数).【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法欲证x1x2>e2,需证Inx1+Inx2>2.若/()有两个极值点X，w，则函数广有两个零点.又广(力=成-小，.¼w是方程r()=o的两个不同实根.则有fg%=°,解得zw=l!1±g.Inx2-nx2=O菁+/另一方面,由I得lnx,-Inx1=w(x,-i),Inx2-Wir2=O从而可得g1叫=M+g.X2-i1+X,G+ni.,lx1÷1眸=-)=IRN-百i_l又O<%<X,设，=上,则r>1.1叫+nx2U"""J>1.x1t-要证1叫+g>2,即证上业>2">1.即当r>l时,有lm>亚少./-1/+I设函数/()=hv-符7,则/(/)=；-生平普D=卢朱.0,，+11(r+l)r(r÷l).力(。为(1,+8)上的增函数./?(1)=0,/«).川1)=0.于是,当经1时,有lm>亚少.t+:.Inx1+la>2.:.xyx2>e2.法二:含参非对称构造欲证那濡证Ig+g>2.若/(x)有两个极值点XM,即函数r(x)有两个零点.又r(x)=ku"区3,9是方程尸=。的两个不同实根.显然相>0,否则,函数(力为单调函数,不符合题意.由于/(x)J-m=a,故/'(X)在一上单调递增,在XXmJ(,+8)上单调递减./Vl-TMLt1=0.田<=>Inx1÷lnx,=(x+x,),/x2-mx,=0需证明m(x1+居)>2即可.即只需证明+%>2.m设g()5*/,OUg，(X)=等葛>0,故g()在陷)上单调递增,即g(X)VgO=。,故r(%)<r(5T.由于/(»_6=上2竺,故尸3在U上单调递增,在化,+。上单调递减.XXm)m)设XJ<与,令X7,则,(x2)=,(x1)>,f-X11m"m)X.-2，-x1+J'(x)在jL+上单调递减,故有X,>2-,即玉+,>2.原f11mJmJmm命题得证.法三:单调性放缩转换法由x1,x2是方程f(x)=O的两个不同实根得姓吧,X令g(%)=y,g(s)=g(W),由于g'(x)=，因此,g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+00)上单调递减.设O<<e<W,要证明中222,只需证明百>且(0,e),*2只需证明/(%)>/,即J>0,即/(x2)-/>2X2)x2)即hx)=f(x)-ff,x(l,e),"(x)=°InX",Mx)在(Le)上单调递增,故(x)<h(e)=O,即/(x)</(71令X=xpWlJ(x2)=(x1)<,孙J-(e,+oo)J(%)在(e,+oo)上单调递减,.a>上,即再x2>e2.法四:差式引参消元法设G=皿e(0,l),2=Inv2e(l,÷oo),则由僵二得；二：=L=八，设女=%-4<o,贝|=£，匀=工.e-1e-1欲证xlx2>e2,需证InXl+Inr2>2,即只需证明+Z2>2.%(+/)MJ>2Q)(l+e*)<2(e火-1)<>(l+e)-2(e*-l)<0.设g(Z)=Ml+d)_2(eJl)(ZvO),gU)=E3+l,g"仕)=收<0,故g'(&)在(YoQ)上单调递减,故g'(Z)>g'(0)=O,故屋女)在(-oo,0)上单调递增，因此g（八）<g(O)=O,命题得证.法五:分式引参消元法设4=Inx1(0,l)2=huj4)，贝岫；：二;得；W=芭设;=&C(0,1)，则乙=詈/2=普欲证用毛>,需证1叫+1吨>2,即只需证明4+G>2,即(女+1)InZ2(k-l)2(-l)L>2<>nk<LoInA-L<0.k-Tk+A+1设g(k)=lM-芈三*(ke(0,l),gQ)=4>0,故g(k)在(0,1)上单调递增，因此Z+1k(k+1)g(%)Vg(l)=0,命题得证.极值点偏移变形一般题型1 .若函数/(x)存在两个零点S,W且内x2,求证:/'(、>0.2 .若函数/(x)中存在N,£且不工超，满足fM=/(占)，求证:七)>3.若函数“力存在两个零点X,x2且$x2,求证:/Jxm)>04.若函数/(x)中存在8,X2且Hz，满足/(X)=/(2)，求证:,(7)>O-方法核心:要证明/'(与歪)>0,即比较然区与极值点小的大小,得出土产所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于r(M)>o问题,要结合基本不等式，后<土会,转换为比较七区与极值点X0的大小的问题.【例1】已知函数/(x)=Y-(-2)x-HIlr(1)求函数的单调区间.若方程/(x)有两个不相等的实数根X,x2,求证:O.【解析】(1)r(力=(2J(+l)(>0).当时o时,但>°,函数人力在(a+8)上单调递增,.()的单调递增区间为(0,+oo).当>0时,由尸(X)>0得>.由("O得OVX技.j()的单调递增区间为仁,+8),单调递减区间为(Om(2)证明XpX2是方程/()的两个不等实根,.>0.不妨设0<芭<9，则x；-(-2)x1-tlnxl=c,xj-(a-2)x2-anx2=c,两式相减得片一(-2)-aln一W-(a-2)x2-HruJ=O,x1+Inx1-X2-Inx2又/'代卜0，当工>|时/")>5当0<x<”寸,/'(x)<0故只要证明土>£即可,即证1+2>x；+2xf-2汽,22x1+Iar1-x2-Inx22×A-2即证n<2x22,Bpln<_受_ZX+ZZJl设f=五(0<<l),令g)=hv-箸,则g()=V*>0,则g()=ln-箸在(OJ)上为增函数,又g=0,c(0,1)时,g(/)<0总成立,得证.【例2】已知函数f()=2x+(l-2)lnx+g.讨论/(力的单调性.(2)如果方程f()=m有两个不相等的解号,且王<2,证明:/"("习>0.【解析】(l),()=2+j_=2d+(l-,2a)±j(ta)(2x+l)*>o)XX广X当at,0时,tg(0,+oo)J'(%)>0J(x)单调递增.当>0时,Xw(0m)()<0J(x)单调递减;Xeg,+oo),r(x)>0J(力单调递增.综上,当小0时,/(»在(0,+8)上单调递增.当>0时,/")在(OM)上单调递减,在(,+8)上单调递增.(2)证明由(1)题知，当O时,f(力在(O,+oo)上单调递增,/(力=m至多有一个根,不符合题意.当4>0时,/(x)在(0,)上单调递减,在(,+8)上单调递增,则f,(a)=0.不妨设0<X1<«<X2,要证/(0:入)>0,即证”广>a,即证$+乙>2。,即证x2>2-j"H在m+co)上单调递增,即证"W)>(20F),又，(七)=/(百)，即证/()>/(%3),即证f(+x)</(-x),其中=-x,xc(0,).令g(x)=(+x)-("x)=2( + x) + (1- 2)ln ( + x)+ a j -：2(a-) + (1 - 2)ln (-x)+ a - a-X=4x+(l-2a)n(a÷x)-(l-2a)n(a-x)+-a+xa-xF(X) = 4 +-2a -2a aa + x a-x ( + x)2 ("xj4+2。”)CT -Xi2a(a2+x2)4x2(x1-a2-a)(+x)2(-x)2(+x)2(-x)2当(0,)吐g'(x)v,g(x)单调递减又g(O)="+O)Tg-0)=0,当XW(OM)时,g(X)<g(O)=0,即/(+x)<f(a-x).令X=f,XT(0,a),./(%)>/(2。f)后习>0、)【例3】设函数/(*)="-如+(eR)淇图像与X轴交于A(,0),8(w,0)两点,且X1<x,.求实数。的取值范围.证明:r(M)<or()为函数人力的导函数L【解析】(1)/()=，一,xwR.当,O时,r(»>O在R上恒成立,不合题意.当。>0时,易知,x=ln为函数/(x)的极值点,且是唯一极值点.故(IM=。(2-1M.当“XL”.。,即0<,e20,()至多有一个零点,不合题意,故舍去.当/U)<0时,即>e之时,由/=e>0,且/(x)在(YOJna)上单调递减，故/(%)在(Ijna)上有且只有一个零,点.由f(nc)=-2alna+a=a(a+-21n).2令y=4+1-2)na,a>/,贝IJ/=1>0,故a+-2na>e2+1-4=e2-3>0.(lna2)>0,即在(Ina,2Ina)上有且只有一个零点.二.a>c2.由题知,/(x)在(Flna)上单调递减,在(Ina+8)上单调递增,且/(l)=e>O.1<xl<ln«<x2<21na,要证百/)<0,只需证<a,即证JXlX?<In".又yxx2<'广,故只需证取+x2<2na.令(x)=f(x)-f(2na-x)=ex-ax+a-e2'ax+a(2na-x)-a=ex-a2e'x-2ax+2ana»l<x<l116f.则”(x)=炉+aex-2a.2品XaleT_勿=0,.,.h(x)在(IJna)上单调递增.MX)Ve'n-2elnfl-2ana+2ana=0,即f(x)</(21na-x).:.f(xi)<f(2na-x1).又/(XJ=/(巧)，:/(毛)</('no.x2>ln«,2na-x1>ln,且/(x)在(Ina,+)上单调递增，.x2<21n«-x1,即x1+x2<21n.Jx2)<0.