第03讲5.3.1函数的单调性（解析版）.docx

课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导，若/'()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数；若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数；若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/'(x)的图象，则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A：当-3<xv0时，(x)<0,则/(x)在(-3,0)上单调递减，故A正确；对于选项B：当l<x<2时，/¢(%)>0；当2<x<4时，,(x)<0:则/(力在(1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故B错误；对于选项C当0<x<2时，/<)>0,则%)在(0,2)上单调递增，故C错误;对于选项D：当3<x<4时，/'(x)<0,则/(x)在(3,4)上单调递减，故D错误；故选：A.知识点02：求已知函数(不含参)的单调区间求y=)的定义域求/'(X)令r)>o,解不等式，求单调增区间令r)<o,解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令/')>0(或/'(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/'(X)=I-L由r()=jL<o有：x<i,XX所以函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为(0,1),故B,C,D错误.故选：A.知识点03：由函数/(x)的单调性求参数的取值范围的方法1>已知函数/(X)在区间。上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/'(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/'(x)0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间<=>3xD使得f,(x)>0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/'(X)<0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/'(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增，则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增，所以当x0,+)时，/'(x)=e'+O恒成立，即-e*在。,+8)恒成立，又(YX)=-1,所以07./max故答案为：-1,+）【即学即练4】（2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习）已知函数/（X）=InX-存在单调递减区间，则实数。的取值范围是.【答案】信，+【详解】函数/'。）=】政-3及-工的定义域为（°，+功，求导得/'（X）-如-1,依题意，不等式/'（x）0在（0,+e）上有解，等价于在（0,+e）上有解，而4-L=（1-IT-J当且仅当=2时取等号，则。一，X2XU2；444所以实数a的取值范围是（-：,内）.故答案为：.知识点04：含参问题讨论单调性第一步：求，=（x）的定义域第二步：求/'（X）（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为g（）对于y=（）进行求导得到/'（X），对/'（X）初步处理（如通分），提出/'"）的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为了'（X）的有效部分（如：/0=珑，-广+2）,则记8（不）=/一"+2为/口）的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了'（X）的正负.第四步：确定导函数有效部分g（）的类型：g（）为一次型（或可化为一次型）g（）为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论歹=（）的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】（2022下湖北高二统考期末）函数/（x）=；/-Mx的单调递减区间为（）A.（-1,1）B.（0,1）C.（l,+）D.（,+oo）【答案】B【详解】解：因为/（x）=；r-nx,所以/，LG)(+),XX令,()<0,得O<x<l,所以x)的单调递减区间为(0,1)，故选：B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0，【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()<o,解得o<x<g,所以/()在IaI)上单调递减.故选：D.【变式1(多选)(2023下吉林长春高二长春外国语学校校考期中)函数/(x)=XlnX的一个单调递增区间是()A.(e,+oo)B.(L+8)C.()D.(口)【答案】ABD【详解】由题意/'(x)=lnx+l,/,(x)=lnx+l>0,x>-,因此/&)的增区间是(士+，ce因此ABD正确，C错误.故选：ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图，则下列结论正确的是()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知，当x(T2)U(4,5)时，/'(力>0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增，故C正确；当2<x<4时，(x)<0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减，-3<x<-lW,<0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，故A、B、D错误；故选：C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/'(X)是函数/(x)的导函数，V='(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【详解】由导函数的图象可得当x<0时，尸卜)>0,函数/(切单调递增；当0vx<2时，,(x)<0,函数/(')单调递减；当j>2时,/钢>0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y='()(eR)的导函数/()的图像如图所示，则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知：当XV-2时，/(x)<O,(x)单调递减，当一2<x<3时，/(x)O,(x)单调递增,当”>3时，f'(x)<OJ(x)单调递增；故选：D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导，y=(x)的图象如图所示，则其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知，/(X)在(y,o)上为单调递减函数，故w(-oo,0)时,Ir(X)<0,故排除A,c；%(o,+)时，函数/()的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f'(%)的值是先正,再负，最后是正，因此排除B,故选：D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调，求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数，则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数，则/'(x)=2-hu-±0在(0,+3)上恒成立，X即2alav+在(0,+8)上恒成立，X设g(x)=lnx+l+2,则g，(X)=J_§=j2,XXxx当x(0,2)时，g'(x)<O,函数g(力单调递减当x(2,*o)时，g,(x)>0,函数g(x)单调递增，可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为：l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设0<"1且"；，若函数/(x)=bg.X+l<x在(0,+功上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知：/'(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0<。<；时，Ina<0,In2a<0,所以/'(x)<O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减；当;v<l时，ln4<0,In2>0,要使/'(x)>0,则ln+ln2<0,整理得InQ所以0<<,解得2_<<也.故答案为：TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性，则。的取值范围是()A. (2,+<o)B. 2,+oo)C. (-,2D. (-oo,2)【答案】C【详解】由/(-V)=(x+l)lnx-ax=>,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时，x)0恒成立，得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng，(X)=I_=!,XXXXX当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增，当O<X<1时，g'(x)<O,g(x)单调递减，所以g(x)min=g(l)=2，因此有2,当函数/(x)=(X+I)InX-仆在(0,+8)单调递减时，/''(x)O*f亘成立，得lnx+'+l,设g(x)=lnx+'+lng'(X)=L一!7=v!,XXXxx当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增，当O<X<1时，g'(x)<O,g(H单调递减，所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数，不等式r()o不能恒成立，综上所述，的取值范围是(-8,2,故选：C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增，则X实数的取值范围是.【答案】a2【详解】由y=lnx+g得V=L二，XXx由于函数=111%+4在2,+8）上单调递增，故旷=_1_二20在e2,+8）上恒成立，XXX因此在x对任意的xw2,+e）恒成立，所以2,故答案为：a<2【变式2（2023海南省直辖县级单位校考模拟预测）若函数）=e*-4e-x在区间0,+8）上单调递增，则实数。的取值范围为.【答案】（TR4（详解】由题设/'（X）=ev+4ex-a0在0,+功上恒成立.4设f=e*l,即f+7在3l,+）上恒成立，又f+:2后=4,当且仅当f=2时等号成立，所以4,即实数。的取值范围为（一%4.故答案为:（-,4题型04已知函数/（X）在区间。上存在单调区间，求参数【典例1】（2023上浙江宁波高二镇海中学校考期中）若函数/（x）=（x-m）2+lnx在区间（1,2）上有单调递增区间，则实数加的取值范围是.【答案】卜0,（）【详解】,（x）=2（x-w）+i（x>0）,由题意八x）>0在（L2）上有解，即/W<x+-在（1,2）上有解，2x根据对勾函数的性质可知，y=x+（在（1,2）上单调递增，所以在=2时取最大值，故册<2+!=g,故实数，的取值范围是（-8,44V4；故答案为：f-00,-J2【典例2】（2023下江西抚州高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数/（）=N在R上存在单调递增区间，则。的取值范围是.【答案】（-1,+8）,/2xev-(x2-)ev2x-(x2-a)2x-x2+a【详解】函数/(X)=一，/(X)=、2=七,e(elcC函数/(x)=gL在R上存在单调递增区间，,/M)=2x-+>o,即.>-2X有解，令g(x)=f-2x,g()=(-l)2-l-l,.当X=I时，g(x)min=-1,.4>-l即可.故答案为：(-1,+8)【变式1(2023下广西高二校联考期中)若函数/(x)=F-；a/+x在1,3存在单调递减区间，则。的取值范围为.【答案】。>4【详解】fx)=3x2-ax+t等价于/'(x)<0在口,3有解，即3fj+l<0在1,3有解，即”>3x+J在1,3有解，所以>卜x+j,令g(x)=3x+g,xl,3,则(3=3-±=专匚>0，即8(可在1,3上是增函数，.g(x)min=g=4,所以a>4.故答案为：a>4.题型05已知函数/()在的单调区间为(是)D9求参数【典例11(2023下高二课时练习)已知函数/(x)=mj+3(1*-w2+l(m>0)的单调递减区间是(0,4),则加=.【答案】；【详解】f,(x)=3mx2+6(m-)x,因为函数/(x)单调递减区间是(0,4),w>0所以J(O)=O,解得加=；,(4)=48w+24(w-l)=0则/'(x)=f4x,令/'(x)=2-4v,得0<<4,所以函数/(x)单调递减区间是(0,4),所以小=；.故答案为：.题型06已知函数/()在区间。上不单调，求参数【典例1】(2023下湖北高二校联考阶段练习)若函数/(x)=22-InX在其定义域的一个子区间(2上-1,2%+1)内不是单调函数，则实数攵的取值范围是()AMBKC同【答案】A【详解】因为函数的定义域为(0,+8),所以2I0,即左弓，XXX令/'(X)=O,得X=；或X=-：(舍去)，因为/S)在定义域的一个子区间(2人-1,2%+1)内不是单调函数,113所以2左一1<一<2片+1,得一一<k<-,244综上，-<k<y故选：A【典例2(2022上河南高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=+(x-l)e'在区间,3上不是单调函数,则实数。的取值范围是()_e(e_£A，46)Bk4,i6jC-36,-16jD，厂可【答案】A【详解】因为/(X)=奴4+("W在区间1,3上不是单调函数，所以r(x)=4"=0在区间(1,3)上有解，即-4a=S在区间(1,3)上有解.令g(x)=y,则g,(x)=('；)".当x(l,2)时，g,(x)<°:当xw(2,3)时,g,(x)>O.故g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单.调递增.又因为g=e,g(2)=今g(3)=e<e，且当Q=-J时，fx)T+Xx=X3f-y-0,1641x4J所以/(x)在区间1,3上单调递增，所以-4ave,解得4e16故选：A【变式1(2022全国高二专题练习)已知函数g(x)=*j2+2x+l.若g(x)在(-2,-1)内不单调，则实数的取值范围是.【答案】(T-2)【详解】由g(x)=g3-+2x+l,得g'(x)=/一衣+2,当g(x)在(-2,-1)内为减函数时,则g'(x)=2-q+20在(-2,T)内恒成立，所以"x+4在内恒成立，X当g(x)在(-2,-1)内为增函数时，则g'(x)=Y+20在(-2,T)内恒成立，7z所以x+j在(-2,-1)内恒成立，令y=x+j,因为y=x+；在(-2,-I)内单调递增，在(-应,-1)内单调递减，所以y=x+：在(一2,-1)内的值域为卜3,2&,所以-3或q-2,所以函数g(x)在(-2,7)内单调时，夕的取值范围是(YO,-3卜卜2"+oo),故g(x)在(-2,-1)上不单调时，实数a的取值范围是卜3,-2&).故答案为：卜3,-2&).【变式2(2022下福建漳州高二福建省漳州第一中学校考阶段练习)若函数/(x)=y-+4x+l在区间(1,4)上不单调，则实数。的取值范围是.【答案】(4,5)【详解】解：:函数/(x)=A-1f+4x+l,/./Cr)=/一0+4,若函数/W在区间(1,4)上不单调，则/(%)=/ax+4=o在(1,4)上存:在变号零点，4由2-q+4=0得=x+一,Xg(x)=x+-,XW(1,4),g,(x)=-2¾-2-XX.g()在(1,2)递减，在(2,4)递增，而g(2)=2+g=4,g(l)=l+=5,g(4)=4+=5,所以4<o<5.故答案为：(4,5).题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)【典例1】(2023上陕西咸阳高三统考期中)已知函数/(x)=lnx-G(R).(1)若=1,求函数/S)的极值；求函数/(x)的单调区间.【答案】函数/U)的极大值为-1，无极小值答案见解析【详解】当。=1时，/(x)=lnx-x,其定义域为(0,+8),XX1 X令r(x)=o,则X=LX当0<x<l时，ff(x)>Ot/(X)单调递增；当x>l时,(x)<0,八功单调递减,函数/(x)的极大值为/(I)=T,无极小值.(2)V/(x)=lnx-x,.f,()=-a=-,XX当0时，,>0,/(X)在(0,+00)上单调递增：当4>O时，由fx)=O,得X=L,a若O<x<L则八x)>0,若>L则/'(x)<0,八X)单调递减，aa当>0时，/(%)的单调递增区间为(0,：),单调递减区间为(5+,综上，当0时，函数/V)的单调递增区间为(0,+):%>0时，函数/W的单调递增区间为(Oq),单调递减区间为【典例2】(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=(x-l)-XlnXgR).求函数/的单调区间.【答案】增区间为(0,e"T),减区间为(e“T,+8).【详解】/(x)的定义域为(0,+8),(x)=-(l+lnx)=-Inx+a-l,令一InX+。-1=0,解得=e°.令八月>0,得0<<e2,令/'(x)<0,得x>e"L/W的单调递增区间为(O,e,),单调递减区间为(e°,+oo).【变式1(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=ah.ax-3(aeR),讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由函数/(x)=lnx-ar-3的定义域为(0,+),且广令/'(x)=O,解得x=l,若>O,当x(O,l)时，fx)>O；当x(l,+8)时，,(x)<O,所以函数/(x)在(0,1)单调递增，在(l,+)单调递减.若>0,当XW(M)时，/'(x)<0:当x(l,+oo)时，f¢(x)>0,所以函数/(x)在(0,1)单调递减，在+8)单调递增.若。=0,此时函数/(x)=-3为常数函数，无单调性.【变式2(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)="(e'-2)TieR).讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意,得函数I(X)的定义域为R,则/'(x)="e'-l,当0时，/'(x)<0对任意x6R恒成立，函数/(x)在R上单调递减；当4>0时，令/C(x)>O,得X>Tna,令/'()<0,得x<Tna,，函数/(x)在(F,Tno)上单调递减，在(-ln,+8)上单调递增.综上，当a0时，/(x)在:R上单调递减；当>0时，/()在(-%-Ina)上单调递减，在(-ln,+)上单调递增.题型08含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)【典例1(2023上江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中)已知函数/(x)=0n+(j24),其中R.若=；是函数/U)的极值点，求的值；若"。，讨论函数/(x)的单调性.【答案】=T答案见解析【详解】.>O,r(x)=22+(1-2")T=(20x+IXA1),XX因为X=；是函数/(X)的极值点，所以/'g)=0,解得O=T,当=T时，,(x)=c2+l0,X若八幻0,则g<x<l,若/'(x)<0,则0<x<；或>l.即函数/W在(,(J上单调递减，在京)上单调递增，即x=g是函数/W的极值点.i = -l.(2) vx> Of,_2ax1+(1-2a)x-_(2ax+)(x-)'J(X)=当<0时，令/'(X)=O,解得X=-A或x=l,当一'-<1,即v-!时，2a2当-；=<时，x)>o,当o<<-!-或时，,()<o,2a2a所以/&)在(,-5)上单调递减，在()上单调递增，在(1,+)上单调递减.当一一>1,即一L<vO时，2a2当E<时，,>0,当0<x<l或时，V)<0,22a所以/(X)在(0)上单调递减，在(I,W)上单调递增，在卜+8卜.单调递减.当W=1,即时，/()0,所以/(X)在(0,+8)上单调递减.综上，当时，/(x)在(0,1)上递减，在(1,-五)上递增，在(-相,+00)上递减；当。=-g时，/(X)在(0,+8)上单调递减；当；时，/在(0,-上单调递减，在卜点/)上单调递增，在(I,+8)上单调递减.【典例2】(2024全国高三专题练习)已知函数/(%)=ln4+2-(2+w,其中。>0.求函数”)的单调区间；【答案】答案见解析【详解】r(力=卜级_伽+1)=RATJ.-啖>0),令r(x)=O得x=g,2=。，当时，/'(x)0,则函数/(x)在(0,+功上单调递增,当0<4<；时，O<x<或x>g时，/(x)>0,a<x<g时，(x)<O,所以函数/(力在(OM),+)上单调递增，在层)上单调递减,当白；时，0<x<；或x>时，O>0,时，z(x)<0,所以函数/(x)在,j),(4,+g)上单调递增，在上单调递减.综上所述，当。=g时，函数/(x)的单调递增区间为(O,+s),无单调递减区间；当0<。<；时，函数/(x)的单调递增区间为(OM),(；,+oc),单调递减区间为(4g);当时，函数x)的单调递增区间为在(,+),单调递减区间为(呆)【典例3】(2023上甘肃庆阳高三校考阶段练习)已知函数/(x)=Xex-£R)若。=0,求曲线V=(x)在点=2处的切线方程；当。>0时，求函数/(%)的单调递增区间.【答案】(I)y=2e3+2e2-4e3答案见解析【详解】(1)当=0时，/(x)=XeX,贝J'(x)=(x+l)e',所以切线的斜率左='(2)=3e2,又/(2)=2e2,所以y=(x)在x=2处的切线方程为丁-2，=2/(工-2),即y=2e3+2e2-44.(2)因为,(x)=廿一4(；/+丫)所以(力=(工+1乂。丫一,令f'(x)=0,得X=T或X=In,又a>0,当=1时，/(x)0恒成立，所以/(x)在R上单调递增.c当OV4<J时，Ina<-1,e令/C(x)>O,得x<ln0或x>T,所以f(x)的单调递增区间为(o,ln),(T,+oo);当。>一时，Intz>-1,e由/C(x)>O,得XVT或x>ln,所以/(x)的单调递增区间为(-8,T),(lna,+oo);综上所述，当。=1时，/(x)的单调递增区间为R；当0<4<L时，/(x)的单调递增区间为(-,ln4),(T,+oo);e当时，/(X)的单调递增区间为(-8,T),(ln,+oo).e【变式1(2023上河南南阳高三校考阶段练习)己知函数)，=InX-g0+(l-)x+l.(1)当。=1时,求曲线/在点(IJ)处的切线方程；(2)当l时，讨论函数/(x)的单调性；【答案】广；(2)在区间(0,3上单调递增，在区间(Le)上单调递减aa【详解】(1)当=l时，=lnx-x2÷l,则y'=L-x,2X所以，当X=I时，y=-l=0,又/=Inl-；+1=(所以，由导数的几何意义知曲线/(X)在点(I,/(D)处的切线方程为y=；.(2)因为N=InX-;OX2+(l-)x+l,易知，x>0,则/=LX+j=S2+03+1=-(l)(x+D.,XXX又l,当O<x<L时，y'>0,当x>L时，y<0,aa所以/(x)在区间(Oq)上单调递增，在区间(：,丑)上单调递减.【变式2(2023上北京顺义高三杨镇第一中学校考阶段练习)已知函数/(力=双'-(x+l)2(m0).当加=0时，求函数/(x)的最小值；当加>0时，讨论/(4)的单调性.【答案】(1)-£答案见解析【详解】(1)当W=O时：/'(x)=(x+l)e"令/'(x)=0解得x=1,又因为当XW(Yo,-1),(x)<0,此时函数f(x)单调递减；当x(-l,+oo),/x)>0,此时函数/(x)单调递增.所以f(x)的最小值为/(-I)=-：.(2)/,(x)=(x+l)(er-n),当m>0时，由f'(%)=O,得X=-I或X=In机.若机=；,则r)=+i)*-jo,故/(%)在(-%+动上单调递增；若加>L则ln"z>-l.故当/¢(%)>0时，X<-IsKX>Inzzj：e当/'(x)<0时，一l<x<ln制.所以/(x)在(-,T),(In叫+8)上单调递增，在(-1,InM)上单调递减.若0<川<：,则Inm<1.故当/小)>0时，x<lnwEx>-l；当/'(x)<0时，Inw<x<-l.所以/(x)在(-,lnm),(T+oo)上单调递增，在(InM,-1)上单调递减.综上所述，当加=1时，力在(-,+8)上单调递增：e当机>,时，/(%)在(In孙+8)上单调递增，在(TInm)上单调递减.e当0<m<(时，/(x)在(o,ln"i),(T,+)上单调递增，在(lnm,-l)上单调递减.【变式2(2023全国高三专题练习)B(x)=(x2-av)lnx-x2+2av,求/(x)的单调递减区间.【答案】答案见解析【详解】易得/(x)的定义域为(0,+8)，,(x)=(2x-a)ln,+x-a-3x+2=(2x-a)lnx-(2x-)=(2x-a)(lnx-l),令/'(x)=0得1=或x=e.当0时，因为x>0,所以2x-o>0,令/'(x)v得OVXVe,所以/(4)的单调递减区间为(0,e).当>0时，若界e,即0<“<2c,当TO时，/明>0,当时，,(x)<0,当x(e,+)时，f¢x)>O,所以/(x)的单调递减区间为6,e)；若=e,即=2e,当XW(O,+功时，f'(x)O恒成立，/(切没有单调递减区间；若>e,即>2e,当x(O,e)时，/心)0,当时，,(x)<0,当X呜,÷时/明>0,所以/(x)的单调递减区间为卜多综上所述，当0时，/(x)的单调递减区间为(O,e)；当0v<2e时，/(x)的单调递减区间为(,e当=2e时，/(x)无单调递减区间；当>2e时，/(x)的单调递减区间为(丐)题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】(2023全国高三专题练习)设函数/(x)=lnx+q,其中。为常数，讨论函数/(幻的单调性.【答案】答案见解析【详解】根据题意，/(x)=lnx+工；则x>0,导数C)="(+i)'分2种情况讨论：当0时，,(x)>0,函数/()在(0,xo)上为增函数;当时，r=-+ X2_ ax2 +(2a + 2)x + aU+1)2令g(x)=OX2+(2a+2)x+af则有A=(2+2)2-4=8+4,当-/时，A0,有g(r)O恒成立,则Wj'()<O,函数/()为诚当-5<q<0时，>0,+(2+2)+=o有两个根,则在区间(0,一("+1)+后不)和(一(“+1)一"",+8)上,g()<o,aa则有/'(x)<0,函数/S)为减函数，在区间(一(。+1)+缶2,-(÷l)-2-H匕aa/'(x)>0,函数/()为增函数；综合可得：当0时，"X)在(0,+8)上为增函数，当a-g时，函数/S)在(0,+8)上为减函数，当一L<“<O时，在区间(0,-(+D+J2+l)2和(T"+iXJ1l,+8)上,函数/(x)为减函数，Cl在区间(-g+D+0R,-g+D-匹')上,函数x)为增函数.aa【典例2】(2023全国高二专题练习)已知函数/(x)=Br+Inx(>0).讨论/(力的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意知，/(、)定义域为(o,+8),ff()=-u-=-2a+1(fl>0);X-X厂令g(x)=2-奴+i(>0),则a=q2-4当A0,即0<42时，,(x)0(当且仅当=2,x=l时取等号)，/(x)在(O,+e)上单调递减；当A>0,即>2时，令g(x)=0,解得再="2&三，g+T三4y22，当“(0,芯)。(%2，”)时，/'(x)v;当Xw(XI,/)时，/C(x)>0;/(X)在,伫华钙三,q上单调递减，在(邙二,喈三)上单调递增；综上所述：当0<2时，/(X)在(0,+8)上单调递减；当。2时，/(无)在o7,竺=i,+8上单调递减，在卜呼m”+呼上单调递增.【变式1(2022甘肃临夏统考一模)已知函数/(x)=21nx+f-h讨论/(x)的单调性；【答案】见解析(2)e+|,+8)【详解】(1)定义域为(0,+8),()=-÷2x-=2x-2,XX令MX)=2-AX+2,当人0时,Q%)>0恒成立,>0,QX)是增函数;女>0时，=)t2-16>当>(),即左>4时，由J)=。得="JVT6,=k+加76,424由/(x)>O=O<xV石或x>*2，/(x)<O=>x<X<X2,故/(X)的单调递减区间为须/2，单调递增区间为(Oj)，(乙，+8)，当0,即0<%4时，/'()0恒成立，/(X)是增函数，综上可知：4时，/是增函数，4>4时，/(x)的单调递减区间为k7k：-16k+qk：-16，单调(八Ik2-T6(k+yk2-6'递增区间为0,+44Z/【变式2(2023全国高二专题练习)已知函数/(x)=hu+g-2x.讨论当。>0时，/(x)单调性.X【答案】答案见解析【详解】由题意可知x>O,(x)=二二2=_2/4+jXX2X2对于二次函数旷=2/_工+4,4二1一8。.当白J时，AOJ'(x)O恒成立，/()在x>0上单调递减；O当0<q<4时，二次函数>=-2/+一。有2个大于零的零点，分别是XLl2正亚,=业区，84'4当<lz2严上Fl时/总)>0./(x)在xc(上W至，*垣)单调递增；当u0,上手ZMI上守,+8卜"，<0,.丫)在XepZ咚可和(上午,+8单调递减综上：当J时/(x)在(0,+8)单调递减O业八,IUIr/八f1一Jl-8。1+Jl-8M,阳,湎尢fn1-J"8)(l+Jl-8a)当0<<1时/(x)在x,IlL倜递增；在XW0,和,+8上单倜8(44Jk4Jl4)递减.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1. (2023上高二课时练习)函数/(x)=(x-3)e'的单调递减区间是()A.(-t2B.0,3C.口，4D.2,+8)【答案】A【详解】函数的导数/(x)=ejf+(x-3)ex=(x-2)e由/'(x)<0得(不一2度<0,np<2,所以函数的单调递减区间为(YO,2；故选：A.2. (2023上嘿龙江双鸭山高二双鸭山一中校考期末)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递增区间是()A.(0,3)B.(-,0)和g+8)C.0,JD.(|,+8)【答案】D【详解】()的定义域为(0,+动，,(x)=2-=,XX.当x