立体几何中的折叠与展开问题.docx

立体几何中的折叠与展开问题知识点梳理:1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用.解决此类问题的步骤：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量一I、在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面k利用判定定理或性质定理进行证明.考向导航2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问题来处理.一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.目录类型一折叠问题1类型二展开问题3类型一折叠问题【例1】如图甲，在四边形ABa中，D=23,CD=2,ABC是边长为4的正三角形,把ABC沿Ae折起到4C的位置，使得平面P4C_L平面Aa；如图乙所示，点O、历、图甲图乙N分别为棱AC、PA.AZ)的中点.(1)求证：平面R40_L平面Po/V；(2)求三棱锥M-4VO的体积.【例2】如图，在平面图形PABCr）中，ABa）为菱形，NmB=60。，PA=PD=屈,M为CD的中点，将E4O沿直线AD向上折起，使班_LQM.（1）求证：平面RADj_平面ABa）；（2）若直线PM与平面438所成的角为30。，求四棱锥P-AB8的体积.【变式11】如图甲的平面五边形RmeD中，PD=PA,AC=CD=BD=BAB=I,4）=2,PD1.PA,现将图甲中的三角形PAZ）沿AD边折起，使平面P4O_L平面得图乙的四棱锥P-ABCZ）.在图乙中（1）求证：尸DJL平面。AB；（2）求二面角A-PA-C的大小；（3）在棱Rl上是否存在点M使得BM与平面Pe8所成的角的正弦值为！？并说明理由.3甲BC乙类型二展开问题例1如图，已知正三棱柱ABC-AyBiCi的底面边长为2cm,高为,则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A的最短路线的长为（）A.5cmB.12cmC.13cmD.25cm例2如图，正三棱锥S45C中，NBSC=40。，SB=2,一质点自点8出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A. 2B. 3C. 23D. 33【变式21】如图，在直三棱柱ABCA4G中，AB=I,BC=2,BBi=3,NABC=90。,点。为侧棱84上的动点.(1)求此直三棱柱ABC-A8C的表面积；(2)当A。+OG最小时，三棱锥。-A8G的体积.巩固训练1.把如图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知仅、D2>A三点始终可以重合于点。得到三棱锥O-AC,那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为.2、如图，AB是圆O的直径，点C是圆。上异于A,8的点，PO垂直于圆O所在的平面,且PO=O8=1,(I)若。为线段AC的中点，求证：AC_1_平面尸。O；(II)求三棱锥P-ABC体积的最大值；(III)若8C=,点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.3 .请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.BA(PA+PD)=OiPC=币；点P在平面的射影在直线AD上.如图，平面五边形/Hcr中，MZ)是边长为2的等边三角形，AD/BC,AB=2BC=2,ABJ_8。，将E4f)沿AD翻折成四棱锥尸-ABc£),E是棱尸。上的动点(端点除外)，F,例分别是AB,CE的中点，且.(1)求证：PN/平面总。：(2)当班'与平面Q4。所成角最大时,求平面ACE与平面ACZ)所成的锐二面角的余弦值.4 .如图，在矩形A5CD中，AB=2,AD=2,ABPCDFEE,F分别为4),8C的中点,以。尸为折痕把口开折起，点C到达点尸的位置，使PE=1.(1)证明：平面阳7L平面4?FD;(2)求二面角产一OF-E的正弦值.B参考答案类型一折叠问题【例1】【分析】（I）证明尸OJ平面A8可得尸O_LAD,根据中位线定理图甲图乙和勾股定理可证ADJ_QN,故而A£>_L平面尸ON,于是平面FA。，平面PoN；（2）分别计算AON的面积和M到平面ACD的距离，代入体积公式计算.【解答】（1）证明：PA=PC,。是AC的中点，.POJ.AC,又平面Q4C_L平面A8,平面¾CC平面ACf）=AC,.尸0_1_平面47/）,又AOU平面力C。，.POVAD,AD=23,CD=2,AC=4,AD2+CD2=AC2f.AD工CD,ON是AACD的中位线，:.ONIlCD,Ac)J_QN,又ONPO=O,平面PON,又Az)U平面F4D,.平面皿>_L平面尸ON.(2) MAC是边长为4的等边三角形，.PO=2>,.M到平面ACD的距离d=PO=6,2ON是ACD的中位线，.SAA(W=；SM°=；XgX26X2=*,匕,w=-5mw.-PO=-×-×3=-.lr-V<3V(V2R22【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题.例2【分析】（1）取AD中点E,连接PE,EM,AC,可得PELAD,然后证明8O_LP£；,可得PE_L平面438,进一步得到平面F4O_L平面ABCD；（2）由（1）知，尸石_L平面ABer>,连接田0,可得NPME=30°,求解三角形可得尸E=I,再求出四边形ABc。的面积，代入棱锥体积公式求解.【解答】（1）证明：取AD中点E,连接正，EM,AC,PA=PD,得PEJ_4）,由底面ABCZ）为菱形，得Bf>"LAC,E,Af分别为4）,Ci）的中点，:.EMlIAC,则LHW,又BD工PM,.8DJ平面尸KW,则班）1,PE,.尸石_L平面ABCD,而尸EU平面¾O,.平面BIDjL平面ABCD；(2)解：由(1)知，依_L平面ABa),连接EW,可得NPME=30。,设Ae=,则PE=J2一.,EM=与=*a,故 P-ABCD=g - smmjfiBCD , PE = ry-【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题.【变式M【分析】（1）推导出ABL4AB_L平面R4。，ABYPDtPDA-PA,由此能证明P£）_L平面¼8.（2）取4）的中点。，连结。P,OC,由AC=S知OCJ以。为坐标原点，OC所在的直线为X轴，OA所在的直线为），轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-依-。的大小.（3）假设点”存在,其坐标为（4,y,z）,与平面PAC所成的角为,则存在/It（0,1）,有AM=P,利用向量法能求出在棱PA上满足题意的点M存在.【解答】证明：（1）AB=tAD=2,BD=小.AB2+AD2=BD2,.-.ABA.AD,平面RLD_L平面Aea),平面¾DC平面ABCr)=AD,.AB_L平面又尸DU平面¾O,.AB±PD,又PD±PA,PAAB=A.丹)_1平面弘8.解：(2)取AD的中点O,连结OP,OC,由平面HW_L平面ABC。知PO_L平面ABCD,由AC=8知OC_L04,以O为坐标原点，OC所在的直线为X轴，OA所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图示，则C(2,0,0),P(0,O,I),0(0,-1,0),A(0,1,0),B(l,1,0).P=(lJ,-l),PC=(2,0,-1),PD=(0,-1,-1),设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),mPB=Ozr,(a+b-c=OA/口由1,得，令=l得。=1,c=2,W=(1,1,2),wPC=O2a-c=0PD_L平面A4B,.OP=(O,1,1)是平面QAB的法向量，设二面角A-PA-C大小为。，则cos"底。户=,IwDPIJ6>J22既IB乃，.二面角A-PA-C的大小。=巴.6(3)假设点M存在，其坐标为(x,y,z),BM与平面P8C所成的角为,则存在;Iw(0,1),AM=AAP,即(x,y-l,z)=2(0,-1,1),M(0,1-A,),从而sin a =|m BM .-I=I 戊 HBMl1 6l + 220, 1, . = 10-3,则BM=,4A在棱PA上满足题意的点M存在.【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.类型二展开问题【例1】【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱A8C-4MG沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6x2=12,宽等于5,由勾股定理<=122+52=13.故选：C.【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题.【例2】【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，利用三角形的边的关系容易解得边长的值，从B而得出其中的最小值.【解答】解：将三棱锥S-ABC沿侧棱SB展开，其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论.根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为:j4+4+2x2x2xg=2有故选：C.【点评】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题.【变式2工】【分析】（I）直三棱柱43C-A4G的表面积：S=2SMBC+Sm形ABfliA+S矩形BCGBl+S矩形AcGA.（2）将直三棱柱ABC-AiBlCl展开成矩形ACGA，如图，连结AG，交84于0,此时A。+。G最小，当AO+Z）C最小时，BD=I,此时三棱锥力-45G的体积：Vd-abci=Vq_abo,由此能求出结果.【解答】解：（1）.在直三棱柱ABC-AqG中，AB=I,BC=2,BB=3,ZABC=90°,二.此直三棱柱48C-AqG的表面积：S=2SAABC+S矩形A84A÷S矩形BCG瓦+S矩形AcClA=2×-×l×2÷l×3+2×3+Jl+4X32=ll+35.(2)将直三棱柱ABC-A&G展开成矩形ACGA，如图，连结AG，交BBl于D,此时40+OG最小，AB=I,BC=2tBBi=3,NABC=90°,点。为侧棱8耳上的动点,.当A。+OG最小时，BD=I,此时三棱锥O-4BG的体积：VD-ABG½7-ABD=；SMBDXBC=；XABXBDXBIG=-×-×1×1×2=-.323.当AO+Z>G最小时，三棱锥O-ABG的体积为g.【点评】本题考查几何体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题.巩固练习1.【分析】在三棱锥。-ABC中，当且仅当以，平面ABC时，三棱锥的体积达到最大，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，进而可以求解.【解答】解：在三棱锥。-ABC中，当且仅当"，平面AeC时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R,球心为O,球心O到平面ABC的投影点为F,则有N=OA2=OF2+AF2,所以N=($2所以球的表面积为S=4R2=4r×=50万，2故答案为：50".【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题.【分析】(I)由题意可证AC_LDO,又尸O_LAC,即可证明AC_L平面PDO.（三）当CO_LAB时，C到AB的距离最大且最大值为1,又A8=2,即可求ABC面积的最大值，又三棱锥P-AfiC的高产0=1,即可求得三棱锥P-ABC体积的最大值.(In)可求PA=Ti77F=PC,即有PB=PC=BC,由OP=O8,CP=CB,可证后为PB中点,从而可求OC=OE+EC=立任=6+遍,从而得解.222【解答】解：(I)在AOC中，因为。A=OC,。为AC的中点,所以ACJLn9,又尸。垂直于圆。所在的平面，所以PO_LAC,因为OOPO=O,所以ACj_平面/YX?.(II)因为点C在圆。上，所以当COLAB时，C到Ae的距离最大，且最大值为1,F又AB=2,所以A8C面积的最大值为J2l=l,2又因为三棱锥P-ABC的高PO=I,故三棱锥P-ABC体积的最大值为：JXIXl=L33(In)在PO8中，PO=OB=I,ZPO3=90°,同理PC=,所以PB=PC=BC,在三棱锥尸-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面，如图所示，当O,E,C共线时，CE+OE取得最小值,又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分M,即石为尸8中点.从而OC=OE+EC=-+-=y+.222亦即可+。石的最小值为：&+>.【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题.3.【分析】（1）取C。中点为G,连接MG,FG,GM/IPD,FGHAD,进而可证平面MFG平面孙。，可证RV/平面D；（2）根据条件选择：由已知可证AAj_平面E4O,尸O_L平面ABcD,以点。为坐标原点，以OC为X轴，OD为），轴，。尸为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法平面ACE与平面RS所成的锐二面角的余弦值.同理选择，可求平面ACE与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.【解答】（1）证明：取CD中点为G,连接MG,FG,则MG,AG分别为三角形CDE,梯形AHCO的中位线，:.GMHPD,FGfAD,GFG=G,，平面MPG/平面皿,EWU平面MGf',.fM/平面QAz),（2）解：取4）为O,连接PO,FG,EG.选择：因为B4（尸A+PO）=0,PA+PD=IPO,所以BAPO=O,即KA_LPO.又班_LAD,ADQPO=O,所以44_L平面/HO.连接A£,EF,所以½fF即为所与平面RV)所成的角.AP1因为UmNAEF="=一，所以当Af最小时，ZAEF最大,AEAE所以当AE_LR即E为尸。的中点，A£：最小.下面求二面角余弦值法一：4u平面ABC。，.平面ABa)_L平面PAD,平面ABcD_L平面QAD,平面ABa)C平面¾T=AD,POVAD,APOl5FEfABCD,以点O为坐标原点，以OC为X轴，OD为y轴，O尸为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,O),E(0S岑)，C(2,0,0).所以AE=(O,|,*)，AC=(2,1,0).设平面CAf的法向量为加=(3,加4),则2'+2勺°,，令ZI=G,得?=(LfG)2xi+y=0由题意可知：平面ABCr)的法向量为=(0,0,1),所以 CoS"?, =22T17所以平面ACE与平面PAO所成的锐二面角的余弦值为百.法二：在平面RA。内，作ERJ_4。，垂足为R,则承_1_平面438,过R作RK_LAC,连接EK,由三垂线定理及逆定理知火为平面ACE与平面ABC。所则EK =成的锐二面角的平面角,在RlMR中，易得ER=W,RK=%25所以c°sEKR=展=噜所以平面Aa与平面所成的锐二面角的余弦值为坦.17选择：连接OC,则OC=AB=2,OP=6因为尸C=",PC2=OP2+OC2,所以又BA_LAD,AonPO=。，所以84_L平面皿).连接AE,EF,所以44£户即为所与平面ED所成的角.Ap1因为tanNAE尸=,所以当AE最小时，NAM最大，AEAE所以当AEJ_尸£),即E为尸。的中点，A£最小.下面求二面角余弦值，法一：BAU平面ABC£>,.平面ABCr)J_平面24£),平面ABa)_L平面BAO,平面ABa)C平面QW=4),POLAD,.，OJ_平面ABCZ),以点O为坐标原点，以OC为尤轴，OD为y轴，”为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是A(0,-1,O),E吗岑)，C(2,0,0).所以AE=(Oq,亭，AC=(2,1,0).设平面CAE的法向量为m=(芭,yl,z1),令 Zl=6，得m=（；,一1,6）.36八则炉+了2xi+y1=O由题意可知:平面ABCr)的法向量为=(0,0,1),所以 cos<n, ）=ImH-I25l17所以平面ACE与平面"所成的锐二面角的余弦值为专.法二:在平面RAo内，作ERJ_4。，垂足为R,则£/?_!_平面ABCf),过R作RK_LAC,连接EK,由三垂线定理及逆定理知NEm为平面ACE与平面AAC。所成的锐二面角的平面角,在RrEKR中，易得ER=更,RK=予，则EK=2yj5所以c°sNEKR啜=噜所以平面ACE与平面FW所成的锐二面角的余弦值为项.17选择：因为点尸在平面ABe。的射影在直线AO上，所以平面FAo平面ABCD.因为平面RAOC平面ABCf>=8,OPU平面RU),AD±PO,所以OP_L平面A8C。，所以84_L尸O.又84_LAt),AonPO=所以AA_L平面。4D连接AE,EF,所以乙正厂即为所与平面Q4。所成的角.因为tanNAEF=丝=一，所以当AE最小时，NAEb最大,AEAE所以当AEj_PQ,即E为Pz)中点，AE最小.下面求二面角余弦值，法一：4u平面AAC£>>1,二平面AB8J_平面/½D,平面ABa)C平面RV),平面A88C平面RU)=AD,POLAD,.PO,平面ABC。，以点。为坐标原点，以Oe为X轴，Of)为y轴，。尸为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是A(0,-1,O),E(O,-,jy)|C(2,0,0).所以AE=(O,g),AC=(2,1,0).巨，43-11.-设平面CA£的法向量为m=,y,Z),则2'2，',令z=6,得7=(q,T,G).【2芭+凹=0由题意可知：平面ABC。的法向量为=(0,0,1),所以 COS切,= ZW "mn25T17所以平面ACE与平面RV)所成的锐二面角的余弦值为迥.17法二：在平面皿>内，作ERj_A。，垂足为R,则研，平面A38,过R作RK_LAC,连接EK,由三垂线定理及逆定理知NEKR为平面ACE与平面A3CD所成的锐二面角的平面角，在RnWR中，易得ER泻,RK=亲则EK=昌，所以c&EKR=展=噜所以平面AcE与平面功所成的锐二面角的余弦值为笔1.【点评】本题考查线面平行的证明，以及面面角的求法，属中档题.4.【分析】（1）推导出EFA且。七=6，ADLEF,DELPE,ADLPE,由此能证明AO_L平面PE/,从而平面正F_L平面A8E>.（2）过点P作PH工EF交EF于H,由平面垂直性质定理得P”_L平面ABFD,过点P作尸OJ>£>产交小于O,连结O”,则LO产，从而NPOH为二面角P-OZ7-E的平面角，由此能求出二面角POFE的正弦值.【解答】证明：（1）E、尸分别为A£）,BC的中点，二瓦7且OE=6，在矩形A38中，ADA.AB,.ADLEF,由翻折的不变性，PD=ZPF=CF=DE=GDF=百，又庄=1,有PbI=PE2+DE?,:.DE工PE,即AoJ_PE,又PEEF=E,PE,EFU平面庄尸，.平面注尸，ADu平面45X>,.平面附1"L平面ABT>.即二面角的正弦值畔.解：（2）过点P作PHLEF交EF于H,由平面垂直性质定理得P”_L平面BH）,过点P作Po_Lo/交。尸于O,连结OH,则OH_LOb,P【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题.