极值点偏移问题判定定理（解析版）.docx

极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间（心勿上只有一个极大（小）值点七,方程/（）=o的解分别为巧，X2,S,axx2b,（1）若）（2of）,则甘&（»用,即函数/=%）在区间（如引上极（小）大值点儿右（左）偏；（2）S（x1）（2x0-x2）,则"i（）°,即函数y=f（x）在区间（和与）上极（小）大值点儿右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（）,在区间血力）上只有一个极大（小）值点,则函数f（）的单调递增（减）区间为m,%）,单调递减（增）区间为（为力），由于axlx2b,有XVXO,且2/一勺VXo,又/（X）v（2-七），故W（）2%-2,所以空（）%,即函数极（小）大值点与右（左）偏；（2）证明略左快右慢(极值点左偏O?土产)左慢右快(极值点右偏o?土爱)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1 .方法概述：(1)求出函数/*)的极值点与；(2)构造一元差函数F(X)=+x)-(-x)；(3)确定函数?'")的单调性；(4)结合F(O)=O,判断尸。)的符号，从而确定/(%+外、/(%-工)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2 .抽化模型答题模板：若已知函数/3满足/(项)=/(毛)，/为函数Ax)的极值点，求证：xi+x22x.(1)讨论函数/(X)的单调性并求出了(X)的极值点；假设此处/5)在(-8，/)上单调递减，在(x°,y)上单调递增.(2)构造7(x)=(%+x)-(Xu-x)；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)=/*)-/(2x0-x)的形式.(3)通过求导/(X)讨论汽X)的单调性，判断出Ax)在某段区间上的正负，并得出/*。+工)与/(与一工)的大小关系；假设此处尸。)在Qy)上单调递增，那么我们便可得出P(X)>产(Xo)=/(%)-/(/)=O,从而得到：XXO时,/(+)>(0-).(4)不妨设x1v%<W,通过/(X)的单调性，/()=(),/(/+力与/C)的大小关系得出结论；接上述情况，由于>°时，/(/+幻>/(与一幻且</<%2,/(X)=F(Z),故/(-V1)=f(x2)=/+(-)>f-(x2-)=/(2x0-X2),又因为XV%,2%-<X。且M在(-8,)上单调递减，从而得到NV-,从而E+£<2/得证.(5)若要证明/'(七2)<0,还需进一步讨论七包与工的大小，得出营所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为斗+毛<2/,故WI<陶，由于，(*)在(-8，/)上单调递减，故七B<0【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明*o+x)与/(x°r)(11g(2x0-x)的大小关系;若试题难度较大，则直接给出形如X+毛<2/或，(后Z)Vo的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析,利器显锋芒1 .已知函数/U)=KeT(XwR).(I)求函数f(x)的单调区间与极值；(II)若XWX2,且U)=(三),证明：X+S>2.2 .函数/O)=XJgV与直线y=(>一g)交于A(N,a)、B(2,o)两点证明：x+X2<2.23 .已知函数)=一+lnx,若XHX2,且/(%)=/(M证明:。+巧>4.X4 .已知函数/(x)=(a2"+(x-if有两个零点.设/，是/("的两个零点,证明：x+x2<2.四、招式演练5 .已知函数/(x)=+lnx-3有两个零点、/(X1Vx2).X(1)求证：O<a<e2；(2)求证:x+x2>2a.26 .已知函数/(x)=21nx(R,a0).(1)求函数/W的极值；(2)若函数/(%)有两个零点和WaVX2),且a=4,证明：x1+X2>4.7 .已知函数/(x)=x-2Ltr-,+1,X(I)讨论函数/("的单调性；(2)当。=1时，正数4,满足)+(W)=2,证明：x,+x22.8 .已知函数/(x)=lnx+(a；卜一2r,eR.(1)讨论/("的单调性；(2篇/(可在定义域内是增函数目存在不相等的正实数中Xz使得"5)+(w)=-3,证明：西+吃>2.9 .已知函数/(x)=F(0)e(1)求函数/U)的单调区间；(2)当=1时，如果方程/(x)=，有两个不等实根X，求实数/的取值范围，并证明x+X2>2.10 .已知函数f(x)=lnx-x(。为常数).(I)求函数/(x)的单调区间；(H)若。>0,求不等式/(力-/弓7)>0的解集；9(In)若存在两个不相等的整数毛，%满足/()=f(A2),求证：3+2>-.11 .(1)试比较2/加与八-,。>0)的大小.X(2)若函数/*)=X-加的两个零点分别为七，占，求m的取值范围；证明：1+<2M.12 .已知函数)=(3x2-6x+6)ex-x3(e为自然对数的底数).(I)求f()的图象在ml处的切线方程；(2)求/(%)的单调区间和极值；(3)若士工X2,满足/(3)=/(乙)，求证：%+)<0.13 .设函数/("=1-二.(1)证明:xR,f(x)x；(2)令Mx)=Mf(X)求(力的最大值；如果NHZ,且力=WX2),证明：i+2>2.14 .已知函数f(x)=xT+"r(1)讨论/(x)的单调性；(2)设冷与是/(x)的两个零点，证明：X+%>4.15 .设函数/(x)=f-(-2)x-lnx.(1)求函数/O)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数，的值；(3)若方程/(X)=C有两个不相等的实数根毛，求证：/'(工产)>0.16.已知函数/(x)=e'-加(awR)在(0,+0)上有2个零点七、2(x1<x2).(1)求实数的取值范围；(2)证明：X1+X2>4.17 .已知/(x)=In(x+-nr("zR)求8)的单调区间；(2)设心1,Xm为函数/(X)的两个零点，求证：.-vl+<018 .已知函数/(x)=Inx,g(%)=+次一1,(,b三R)x(1)当。=1"=0时，求曲线y=()-g(x)在入=1处的切线方程；(2)当Z?=0时，若对任意的xl,2,/W+g(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当4=0，>0时，若方程Kt)=g(t)有两个不同的实数解R,X2(X<X2),求证：x/+*>2.19 .已知函数/(x)=lnx+-s(seR).(1)讨论/("的单调性；(2)当r=2时，若函数外力恰有两个零点大,毛(0<西为)，证明：-v+>420 .已知函数f(x)=-or+xlnx.(1)若函数/0)=1-办+月门的图象与X轴有交点，求实数。的取值范围;(2)若方程/(X)=；有两个根为，且内<不，求证：X+>l21 .(1)试比较2加与x-'(x>0)的大小.X(2)若函数/*)=X-加的两个零点分别为巧，演，求"7的取值范围；证明：Xy+X2<i.参考答案：1 .(1)f()的单调增区间为(y,D,单调减区间为+),函数Ja)在X=I处取得极大值/，且/；(2)见解析.e【详解】试题分析：(I)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间以及极值(2)为极值点偏移问题,先构造函数产(x)="x)(2r)1X(O,1,根据导数可得F(X)单调性，即得/(2-N)(N注/(乙)，最后根据/W单调性得2-x1<x2,即证得结论试题解析：(I)由尸(X)=(IT)/,易得外工)的单调增区间为(Fl),单调减区间为(1,÷),函数/(X)在X=I处取得极大值/。)，且"I)=B(II)由/(%)=/(W),X工七，不妨设玉<巧,则必有0<N<1<当，构造函数P(X)=/(l+x)-(IT),xe(0,lf则E'()=r(+)+f'(i)=言(*T>o,所以尸3在X上单调递增，F(x)>F(O)=O,也即/(l+x)>(l)对x(0,l颉立.0<x1<l<x2,则1一芭(0,l,所以/(1+(1TJ)=/(2-xj>(l-(I-N)=/(-V1)=/(x2),即/(2f)>(x2)f又因为2-$,x2(l,+),且/(x)在(Ly)上单调递减，所以2-王</，即证内+Z>2.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数力(X)=/()-g*)根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2 .证明见解析【解析】由已知函数/O)的单调减区间为(-,1),增区间为(1，田)，依题意可设N<占，且当<1,%>1;然后构造函数Pa)=+)-f(i),利用导数证明：7>o,从而可证x+x2<2成立【详解】设Nr,函数/()=fTv的单调递减区间为(,i),单调递增区间为(L+),有工2>I,设厂(X)=/(l+x)-F(I-X),F,(x)=8(3-2x+l)>0,故F(X)单调递增区间为(f,田)，又P(O)=O,所以当工>0时，F(x)>F(O)=O,即x>0时，/(l+x)>/(l-x)f/(%)=/(9)=/(1+(9-1)>/(2-%)，又为<1,2-,4又函数/(%)=£-§/单调递减区间为(-,D,所以耳<2-%，即N+%2<2.【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，主要考查学生的转化与化归思想，属于难题3 .证明见解析【解析】利用导数求得函数/(X)的单调性，得到/U)="/)时,必有M<2<七，得到4一内2,2222化简/(王)一/(4一玉)=+Inx1+ln(4-x1),令/?(%)=+lnx+ln(4-x),%4-士X4-x导数求得函数(力的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，因数)=2+inx的定义域为(o,÷),n'=-4÷-=,XXXX当XW(O,2)时，r)<o,函数x)单调递减；当x(2,+)时,V)>0,函数/(“单调递增,若/0)=/(%),则必有为<2<，所以4>2,22而/(百)一/(4-Xl)=+In石+ln(4-xl)X14xi22令Mx)=+Inx+ln(4-x),X4-x2则。)=-72117 +(4-x) X 4-X-2(4-J、-2f+(4-处2+J(4-J)2(4-)28。一2).(0a-2(4-)2'所以函数人“)在(0为减函数，所以力(X)>力(2)=0,所以/(王)一/(4一七)>0,gpU,)>(4-x1),所以/(”2)>/(4-9)，所以芭+S>4.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围；也可分离变量,构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.4 .证明见解析【解析】先求导证明函数的单调性.由单调性可知+%<2等价于/&)>/(2-/)，即/(2-)<0.设g(x)=-)/,则屋(幻=0-1)(/，/)则当x>l时，g'3<0,而g(D=Of故当x>l时,g(x)1°.从而g(三)=f(2-W)vO,故苦+巧<2.【详解】解：因为/(x)=(x-2)+(x-if,(x)=(X-I)/+2a(x-I)=(X-l)(e*+2d).设=0,则AX)=/O)只有一个零点.设0>0,则当c(-,i)时，/()<o；当工£。，+8)时，,(x)>0.所以Fa)在(70,1)单调递减，在÷)单调递增.X(D=-e,/“，取匕满足<。且b<ln1,则f(b)>(b-2)+a(b-')2=ab2-Z>)>0,故Ja)存在两个零点.设"Ol由1(X)=。得X=I或X=In(-%).若a-',则ln(-24)l,故当xe-)时,/'(x)>0,因此/*)在(l,+)单调递增.又当xl时/(幻<0,所以/(“)不存在两个零点.若则3-加)>1,故当r(l,ln(-2a)时，,(x)<0;当x(ln(-2),y)时，/'U)>0.因此/(%)在(IJn(-20)单调递减在(ln(-2),+)单调递增.又当x1时J(X)VO,所以Ax)不存在两个零点.不妨设内出，由以上情况讨论知内e(-8,1)-6(1,+00),2-e(一00)，/(X)在(-,1)单调递减，所以+%<2等价于"n)>"2-f),即FQfXO.由于/(2-马)=一w/f+Mw-1尸，而."/)=(/-2)*+4(9-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x-(x2-2)efi.设g(x)=-xe2r-(x-2)/,则g'(x)=(x-l)(e2r-/).所以当x>l时，g'")v,而g(D=O,故当x>l时，S(x)<0.从而g(W)=(2-X2)<0,故X+W<2.【点睛】本题考查解决函数不等式的证明问题,解题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.5 .(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出的范围即可；(2)问题转化为证明/(w)>f(勿-X),设函数g("="x)-f(24一幻,根据函数的单调性证明即可.【详解】(1)由题意，函数"x)=f+lnx-3的定义域为(0,+8),且/U) = -x-a x当"0时，r(x)0,所以函数力在区间(0，+功上是增函数，不可能有两个零点；当。>0时，当Xe(O,。)时，f'(x)<O；当£(凡内)时，尸(力>。，所以/W在区间(OM)上递减,在区间(4”)上递增.所以/("的最小值为G=Ina-2,所以S)vO,BPlna-2<0,解得OvavT(2)由题意，要证芭+x2>2a只要证公>2。-%,S(I)易知公，即20-，而7(x)在区间(GM)上是增函数，所以只要证明")>/(勿f),因为内)=/(W),即证5)>f(2f),设函数g(x)=(X)T(2T),而g()=O,当小。M)时，)=r-)=)=÷=<o,即g(x)在区间(OM)上是减函数,所以g)>g()=O,而g(x)=)-f(2。-N)>。,所以/(%)>(2。一%),即/(七)>(加-M),所以玉+>2.【点睛】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，可以转化为/(七)>(勿F),利用条件/G)=f(占)将不等式转化为求证/(%)>(24-芭)，设出新函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质，进而求解得结果.6.(1)答案详见解析；(2)证明详见解析.【分析】(1)求出尸(力，分两种情况讨论。的范围，分别令r()>o求得X的范围，可得函数/("增区间，r(x)<O求得X的范围，可得函数/(x)的减区间，根据单调性可得函数的极值；(2)为，/为函数/U)零点，可得0<司<2<，要证王+/>4,只需证>4-,/(4-)=21iL-2x1+4-21n(4-x1)z构造函数利用单调性可得结论.【详解】(1)函数的定义域为(0,+8),r()=N-2=空二aXax当。<0时，/'(x)<0,73在(0，+的上是减函数，所以/(x)在(0，y)上无极值；当>o时，若人总。，烟，r)<o,在(0,上是减函数当X(G收)z,(x)>0,/(x)在(后,词上是增函数，故当X=G时，/在(0，+8)上的极小值为/(G)=I-MnG=Ina,无极大值.(2)当=4时,/(x)=-21nx,由(1)知"(x)在(0,2)上是减函数,在(2,帝)上是增函数，x=2是极值点,又演，为函数/(“零点，所以°<X<2v*2,要证±+9>4,只需证E>4一人V(4-x1)=4-21n(4-x,)=i-2x1+4-21n(4-x,),又.(x1)=21nx1=0,/(4a)=21ilv-2+421n(4-x)f令MX)=2lnx-2x+42ln(4X)(OVXV2),则力'(牙)=22+=一(：？)>0,X4-xx(4-x)人(力在(0,2)上是增函数，"(力<人(2)=0,(4-x1)<0=(2),4-xl<x2,ip.r1+W>4彳导证.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题，7.(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析X1球彳r0)=>"<+Jg+00),令(力=f一*+1,则A=4(-l)(+l),X分()和A>0两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；(2)当。=1时得到/。)=1-21仙-+1根据函数/(1)的单调性不妨设0<n1x2,得至|/(2-芯)+/(内)一240,构造函数印(司=/(2-耳+/(力一2.X£(0,1,结合导数求得函数gW的单调性和极值，即可求解.【详解】(1)由题意，困数/。)7-2相+1的定义域为(0,+00),Xrz=z,fz、，2alx1-2ax+l可得/(x)=l+=;，Xxx令，(X)=X2-20v+l,则A=M-4=4(-l)(+l).当Tl时，<0,可得/'(x)0对TXW(O,E)恒成立,则/(x)在区间(0,xo)上单调递增.当"<一1或”>1时，>,令.f'(x)=。,得=a-Ja2-1,x2=a+>a21.(i)当<T时，为<<0,所以(x)NO对U(0,+)恒成立.则“X)在区间(0,+8)上单调递增.(ii)当时，0<1<x2.若x(0,%)"”(力>0,函数/(x)单调递增；若x(0z),W<,函数/(”单调递减；若xQ2,+8)f()>0,函数Fa)单调递增.综上所述：当时，/(X)在区间(0,+8)上单调递增.当。>1时，在(Om-77)和(。+户,+8),上/(X)单调递增;在(-7T,+7=T)/。)单调递减.(2)当。=1时，函数f(x)=x-21nx+l,X由(i)可知/3在区间(o,÷)上单调递增，又易知/=I,且F(N)+FG)=2,不妨设O<N1%,要证玉+/N2,只需证/之2-R,只需证F(M)NfQ-X),即证2T)f(27),BPilE(2-x1)+(x1)-20,构造函数g(x)=f(2)+"x)-2.x(O,l,所以X(x)=2-21n(2)-v!-2lnx-,x(0,l,2-xXE“、2121-4(x3-3x2+3x-1)-4(x-1)32-x(2-x)Xx(2-x)x(2-x)x当x(O,l时，g'(x)O,所以函麴(x)在区间(0,1上单调递增，则g(x)g=。,所以,f(2N)+f)2。彳导证，从而再+X22.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围；也可分离变量,构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8.(1)当时，”x)在(0,1)上递增，在(LR)上递减；当;时，在(OJ)上递增，在上递减，在(占，+上递增；当。=1时，在(o,y)上递增；当时，/在(。,二y上递增,在(二U上递减，在0,y)上递增；(2)证明见解析【解析】(1)对/3求导，分g,g<<l,。=1进行讨论，可得/(M的单调性；(2)/(刈在定义域内是是增函数，由(1)可知=l,/(x)=lnx+2-2x,i<2,可得%)+玉)=-3=21),则O<xi<l<再，设g(x)=f(2T)+f(x)+3,x(0,l),对g(x)求导,利用其单调性可证明X+电>2.【详解】解：/(x)的定义域为(0,+8),E(x)=,nx÷22,所以r3=L(2Z)>24=陞一"一2奴+1=(1)(2")XT,XXXl1人Iy(X)>O,(x)<o,当4J时，令，得OVX<1,令，得QI；2x>0>0当;<“<l时，则上>1 ,令< "；）>° ,得O<xvl ,或rW< x>0当。=1时，r()o,当2时，则。<得不，令K邸得备Ki；综上所述,当J时"U)在(0,1)上递增,在。，同上递减；当夫。<1时，小)在(0，1)上递增，在1，W上递减，在(击,+8)上递增；当a=l时"在(Qy)上递增;当“>l时，”力在(0,三y上递增，在(止PI)上递减，在。，也)上递增；(2)“力在定义域内是是增函数，由(1)可知=l,此时/(x)=lnx+J2-2x,设x<x2,又因为/&)+/(%)=-3=2/，则O<%<l<x>设g(%)=(2)+(x)+3,x(0,l),则8，(力=一/(2力+/'(力=一+=>0对于任意(0)成立，ZXXXIZAI所以g()在(0,1)上是增函数，所虚寸于UW(0,1),有g(x)<g(l)=2f(1)+3=0,即Xx(O,l),有/(2)+f(x)+3<0,因为O<<l,所以f(2-)+f(±)+3<0,即/S)>“2f),又力在(0,也)递增,所以>2-内，即用+/>2.【点睛】本题主要考查利用兼研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想,综合性大，属于难题.9.(1)当>0时,/的单调递增区间是(,I),单调递减区间是(l,+)；当。<0时J(X)的单调递增区间是(l,*0),单调递减区间是(YO,1)；(2)(0()，证明见解析.【解析】(1)求出F(X),对。分类讨论，分别求出/(X)>OJ'(X)<O的解，即可得出结论；(2)由(1)得出/(%)=，有两解时/的范围，以及1小，七关系，将N+/>2,等价转化为证明SrI)>2,不妨设N>,令，二不一修，则，"O,e'">l,即证ex'x2-1(m-2)em+m+2>0,构造函数g(x)=(x-2)/+x+2(x>0),只要证明对于任意x>O,g(x)>O恒成立即可.【详解】(1)/3的定义域为R,且/'(X)=<义.e由Y>0,得x<l；由一<0,得x>lee故当。>0时，函数/(X)的单调递增区间是(F,l),单调递减区间是(L”);当。<0时，函数/*)的单调递增区间是(1,包)，单调递减区间是(-,1)(2)由(1)知当。=1时，/(幻=三，且/(X)max=AD=J当x<0时，/(x)v；当x>0时，/W>0. 当Ou时，直线y=/与y=F(X)的图像有两个交点，e 实数/的取值范围是方程/(X)=/有两个不等实根小巧， ,今=f,-=r,.xl=tex',x2=tex2,gpz=A4.、/e-e要证内+x2>2,只需证)>2,即证gl>2,不妨设N>勺.ext-ex2令7=内-修，则6>1,则要证(,”+1)>2,即证(加2)/+m+2>0ew-l令g(x)=(x-2)e'+x+2(x>0),则g'(x)=(x-l)+l令1(x)=(X-I)e'+1,则'(x)=XeX>0,.(幻=(D/+1在(0,+)上单调递增,.(x)>(O)=O.g'(x)>O,g(%)在(0,+8)上单调递增，.g(x)>g(O)=O,即(x2)+x+2>0成立，SP(w-2)en,+w+2>O.,.x1+x2>2.【点睛】本题考查因数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数国数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.10 .(I)答案见解析；(II)；(III)证明见解析.【分析】(I)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；(II)设Fa)=/(x)-/弓7),根据函数的单调性求出不等式的解集即可；(In)求出>o,不妨设0"，则2-须f-,+,根据函数的单调性得到aaa)f(x)<弓一XJ,由/(%)=/(%),替换即可.【详解】(I)/(力的定义域为(0，也),，(1-axf(X)=,XX(1)当,o时，恒有r()>o,故/(力在(Qy)上单调递增;(2)当>0时，由/(力>0,得0<x<,a故/(x)在(,)上单调递增，在(+)上单调递减，综上(1)(2)可知：当0时，/3的单调递增区间为(0,y)；当>0时，/(x)的单调递增区间为(。，£|,单调递减区间为15+8；22(II)f(x)的定义域为(0,y),所以x>0,且一x>0,而>0,O<X<-;设"(x) = (x)-(;) = lnxe-Fa)= :2 % .，且当且仅当 Xx-ln-+-xj = Inx = ln-2ov + 2 ,X = L时取等号， a所以尸(力在(。目上单调递增，又因为XM时，P)T*0,aa所以当XW(Oq)时,尸(x)<。，当Xe(Tq)时,尸(力>0,故/a)-HX)>°的解集为m(In)由(1)知,0时，/(“在(0,y)上单调递增，三(x1)=(x2),故。>0,而/()在。3上单调递增，在(%+)上单调递减,若存在两个不相等的正数4，Z满足/(%)=/(%),则X一4必有f在(。，；!上,另f在g+又由(11)知Xe(0，廿时，尸(x)<0,即/(力-/(j-x)<°,不妨设0<%<1所以")</仁一须)，因为/(%)=/(%),所以F(W)<(j,又因为/(x)在弓，+g)上单调递减，所以%/为，0n2即X+2>.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.11 .(1)答案见解析；(2)(l,+);证明见解析.【解析】(1)构造函数ga)=2/zu-x+'a>o),对函数求导，结合导数可求函数的单调性,X进而可比较大小；(2)利用导数可分析函数F(X)的单调性,然后结合零点存在条件即可求解加的范围；由()的结论可得M-"=/司>；($_"),Ar2-ZM=Zzu2<(x2-),即片_24>_,x-2三2<-1,由不等式的性质即可得到证明.【详解】(1)设g*)=2心一x+-(x>O),则g")="T=弋匚,0,XXX故g*)在(0,+8)上单调递减.因为g(I)=0,所以当OVXVl时，gQ)>O；当x=l时，g")=0；当x>l时，g(")<0.艮|当OVXVl时，2bc>x-;A-当x=l时,2lnxx-;当工>1时，Ihix<X-.X1丫_(2)因为/(X)=/一/心一机，所以f(%)=l-二，XX令/(幻>0,得x>l;(x)<0,得OVXV1,则”X)在(0,D上单调递减，在(1,4功上单调递增，故/./=I-ZW.因为/O)有两个零点，所以I-MVo,即心1.因为A*)=*2m>0,f(e-m)=e-m>O,所以当/“)有两个零点时，加的取值范围为(Ly).证明：因为4,而是/3的两个零点，不妨设玉</，则0<%vl<W.因为不一InXI-，n=0x2-Inx2-m=0lxm = lnx >-即xl2-2mxx>-llX?-2mx1<-1,贝JjX:一考一2WXl+2WX2>°,gp(x1-x2)(x1+x2)-2m(xl-X2)>0,即(Xx2)(xl+x2-2m)>0.因为X<%2,所以王一毛<0,则%+工2-2m<0,即+/<2？.【点评】本题主要考查了利用导数比较函数值的大小，还考查了由零点存在的条件求解参数范围及利用导数证明不等式，属于中档题.12.(1)y=(3e3)x+2；(2)/(x)的增区间是(O,+),减区间是(>,0),极小值/(0)=6,无极大值；(3)证明见解析.【分析】(1)根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)根据导数与单调性的关系及极值存在条件即可求解；(3)要证X+X2<0,等价于证明/(X2)=f(xl)</()，结合函数/(x)在(0,+)上单调性即可证明.【详解】(I)'U(X)=3x2ex-3x2=3x2(ex-1),.V(I)=3(e-l),即在X=1处的切线斜率为k=3(e-1).又,/(1)=3e-1,函数/(x)的图象在犬二1处的切线方程为,'，-(3-1)=3(e-l)(x-l),整理得.v=(3e-3)x+2.(2)*.*/(X)=3x2ex-3x2=3x2(ex-1),，当x>0时J(X)>0；当x<0时J(X)<0.则f(X)的增区间是(0,+8),减区间是(8,0),所以/(X)在x=0处取得极小值/(0)=6,无极大值.(3),.*/(Xl)=/(42)且XX2,由(1)可知X/,X2异号.不妨设用<0,&>0,则F>0.令g(x)=/(X)-f(-X)=(3x2-6x+6)ex-(3x2+6x+6)e'x-2x3,则g'(X)=3x+3X-6x2=3(ex+ex-2)0,所以g(x)在R上是增函数.又g(x)又(*)(同)<g(0)=0,V(X2)=f(xi)<(-XI),又(x)在(0,÷oo)上是增函数，.*X2<-X/,即X+X2<0.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及单调性，极值关系的综合应用及利用导数证明不等式，属于中档题.13.(1)证明见解析；(2)MX)的最大值为-；证明见解析X+X2>2.e【分析】(1)令g(x)=/(X)T=I-二一,则g'(x)="'7,利用导数求出函数g()的单调性与最值，由此可证明结论；(2)由题意得MX)=泥r(H=(I-"二，利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值；由题意不妨设XVX2,又(M)=力(看)，可得。"<1<与，令H(X)=MA:)-(2-X),X«1，)，利用导数可得函数”(x)在L*o)上单调递增,从而可推出(6>(2-工)，结合条件可得/?(豆)>(2-,易得用,22<l,从而借助函数MX)在(-,I)上单调递增即可证明.【详解】(1)证明：令g(%)=f(x)=l-e-*-x,则/(力="'-1,由/(x)0得x0,由g'(x)>O得x<0,，函数g(r)在(-,0)上单调递增，在0,w)上单调递减，函数g")在x=0处取得极大值，也是最大值，(x)<(O)=l-eo-O=O,即xR,/(x)x；(2)解:(x)=(1-(x)=xl-(l-ex)=x¢jf,hx)=(-x)e-x,由"(x)()得xl,由(力>0得'I, 函数MX)在(e，i)上单调递增，在1，钟)上单调递减， 函数MX)在=l处取得极大值，也是最大值，:."(X)的最大值z(x)ma=(l)=6,；由王W,不妨设N<%,又人(X)=力(占)， 当>o时，MX)=MT>o,且Mo)=0,.0<x1<1<X21*/()=(x)(2-=xex(2-x)ex2fxl,+)z则(力=(IT)I-(-1+2-力/2=(e2E-)e.l,2x-20,2-UO,：.H,(x)0l 函数H(X)在LE)上单调递增，又H(I)=O, 当X>l时,W(x)=(x)-A(2-x)>(l)=0,即(x)>z(2-力，贝必缶)>。(2-),又(X)=力,则(XJ>(2-毛)，O<xl<1<x2z2-X2<1;gp1,2-x2<ll而函数MX)在(e，1)上单调递增，/.xi>2-x2.*.xi+x2>2.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考直利用导数研究函数的单调性、极值与最值,考查利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，考查转化与化归思想,属于难题.14.(1)见解析(2)见解析【详解】分析：(1)求导，对参数4分MV。两种情况进行讨论，令/。)>。得函数”X)的单调递增区间，令/'(X)VO得函数/V)的单调递减区间；(2)令/=O,分离参数得，令g(x)=r,研究函数g(x)的性质，可将证明$+W>4转化为证明I-Xeg(W)>g(4演)，即证明(百-3)e2*I+±-l<0成立，令Hr)=(X-3)+x