期权定价模型.docx

期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。本章要紧介绍了著名的Black-Scholes期权定价模型与由J.Cox、S.Ross与M.Rubinstein三人提出的二叉树模型，并对其经济懂得与应用进行了进一步的讲解。学习完本章，读者应能掌握BIaCk-SChOIeS期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。自从期权交易产生以来，特别是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlackMyronSChoIeS发表期权定价与公司负债I一文，提出了著名的BlaCk-SChOleS期权定价模型，在学术界与实务界引起强烈的反响，SChoIeS并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各类期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J.Cox、S.Ross与M.Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析与探讨2。第一节Black-Scholes期权定价模型一、BIaCk-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：1 .期权标的资产为一风险资产（BlaCk-SCholeS期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动3,即dSJJ=dt+dz其中，dS为股票价格瞬时变化值，力为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为力的无穷小的随机变化值（dz=£J加，称之标准布朗运动，£代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为LO的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），。则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。与都是已知的。简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称之漂移率，能够被看成一个总体的变 Black, F., and Scholes （1973） i*The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81（ May-June）, p. 637-659从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其懂得，而不具体推导模型，更深入的 内容可参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出版社,2003.第六章3有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的全面信息，可参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出 版社,2003. 115 页-121 页化趋势；二是随机波动项，即bdz,能够看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2 .在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1与2,意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。3 .没有交易费用与税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2与3,意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。4 .该标的资产能够被自由地买卖，即同意卖空，且所有证券都是完全可分的。5 .在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者能够此利率无限制地进行借贷。6 .期权为欧式看涨期权，其执行价格为X,当前时刻为I,到期时刻为了。7 .不存在无风险套利机会。二、Black-Scholes期权定价模型(一)BIaCk-SChOIeS期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black与Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：t+ rS2fS2其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过解这个微分方程，Black与Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：C = SN即一 XeSN(d2)(11.2)其中,ln(5X)+(r+22)(T-r)T-td=4 -yT-tn(SX)+(r-22)(T-t)<TTc为无收益资产欧式看涨期权价格；N(X)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于X的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有N(-X)=I-N(X)。(二)BlaCk-SChoIeS期权定价公式的懂得1.期权价格的影响因素首先，让我们将Black-SchoIes期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来。在第十章中，我们已经得知期权价格的影响因素包含：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间与现金收益。在式(11.2)中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外，其他几个参数都包含在内，且影响方向与前文分析的一致。8 .风险中性定价原理其次我们要谈到一个关于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。观察式(11.2),与第十章中的期权价格影响因素分析，我们能够注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定价公式中消失了。这关于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。由于迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法。期权价格与"的无关性，显然大大降低了期权定价的难度与不确定性。进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率/并未包含在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（三）、执行价格（X）、时间（t）>证券价格的波动率（。）与无风险利率它们全都是客观变量，独立于主观变量一一风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们能够利用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个能够大大简化我们工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下（有的时候我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都能够等于无风险利率r,这是由于风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都能够通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。为了更好地懂得风险中性定价原理，我们能够举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们明白在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不可能提早执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头与单位的标的股票多头构成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11-0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11-0.5=9=0.25因此，一个无风险组合应包含一份看涨期权空头与0.25股标的股票。不管3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%,则该组合的现值应为：225>,i×o,25=2.19元由于该组合中有一单位看涨期权空头与0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：10×0.25-/=2.19f=0.31元这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。从该例子能够看出，在确定期权价值时，我们并不需要明白股票价格上涨到11元的概率与下降到9元的概率。但这并不意味着概率能够随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升与下降的概率也就确定了。比如，在风险中性世界中，无风险利率为10%,则股票上升的概率P能够通过下式来求：10=e-o,x0,BIaCk-SehOIeS期权定价模型的具体推导过程参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出版社,2003. 115页-133 页×llP+9(l-P)P=62.66%o又如，假如在现实世界中股票的预期收益率为15%,则股票的上升概率能够通过下式来求：10=e-015x025×1IP+9(1-P)P=69.11%,可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，不管投资者厌恶风险程度如何，从而不管该股票上升或者下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。3.对期权定价公式的经济懂得。首先，从BIaek-SChOleS期权定价模型自身的求解过程来看I,N(ch)实际上是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，eS-0XN(d2)是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，能够看成期权可能带来的收入现值。SN(d)=e"E)SN(d)是ST的风险中性期望值的现值，能够看成期权持有者将来可能支付的价格的现值。因此整个欧式看涨期权公式就能够被看作期权未来期望回报的现值。其次，A=N(4)=g,显然反映了标的资产变动一个很小的单位时，期权价格的变aS化量；或者者说，假如要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要单位的标的资产空头加以保值。事实上，我们在第十二章中将看到，=N(4)是复制交易策略中股票的数量，SN(d)就是股票的市值，eHT-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权能够分拆成资产或者无价值看涨期权(Asset-or-notingcalloption)多头与现金或者无价值看涨期权(cash-or-nothingoption)空头，SN(d)是资产或者无价值看涨期权的价值，-UTmXN(d2)是X份现金或者无价值看涨期权空头的价值。这是由于，关于一个资产或者无价值看涨期权来说，假如标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；假如高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额,根据前文对N)与SN(d)的分析,能够得出该期权的价值为e'r<tN(d1)=SN(d1)的结论；同样，关于(标准)现金或者无价值看涨期权，假如标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；假如高于执行价格，则该期权支付1元，由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2),则1份现金或者无价值看涨期权的现值为-e-r(T“)N(d2)。(三)BlaCk-SCholeS期权定价公式的拓展1.无收益资产欧式看跌期权的定价公式Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系，能够得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：p=c+X"g>-S=Xeri-nN(-d2)-SN(d1)(11.3)2 .无收益资产美式期权的定价公式在标的资产无收益情况下，由于C=c,因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但能够用数值方法与解析近似方法求出。3 .有收益资产期权的定价公式到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，关于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，假如收益能够准确地预测到，或者者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。在收益己知情况下，我们能够把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内己知现金收益的现值部分与一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。b表示风险部分遵循随机过程的波动率I就可直接套用公式（11.2）与（113）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权与看跌期权的价值。当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S-I）代替式（11.2）与（11.3）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨与看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将SeFJ）代替式（U2）与（11.3）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨与看跌期权的价格。在各类期权中，股票指数期权、外汇期权与期货期权的标的资产能够看作支付连续红利率，因而它们适用于这一定价公式。具体的内容，我们将在第十三章深入阐述。另外，关于有收益资产的美式期权，由于有提早执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法与解析近似方法求出。三、Black-Scholes期权定价公式的计算（一）BIack-Scholes期权定价模型的参数我们已经明白，BIaCk-SCholeS期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率与标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率与标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。1 .估计无风险利率在发达的金融市场上，很容易获得对无风险利率的估计值。但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。通常来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利息占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，同时用连续复利的方式表达出来，才能够在BIaCk-SChOleS公式中应用。其次，要小心地选择国库券的到期日。假如利率期限结构曲线倾斜严重，那么不致到期日的收益率很可能相差很大，我们务必选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83,卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们能够推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为I从理论上说,风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率,有风险部分的波动率近似等于整个证券价格波动率乘以S（S-V）,这里V是红利现值。但在本书中，为了方便起见，我们假设两者是相等的。片3=100-8.83 + 8.77 2= 97.947美元进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率:r = 0.0902er(t)_>/0.23=lPih97.9472 .估计标的资产价格的波动率估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率与隐含波动率。（1）历史波动率所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票价格为例，表11-1列出了计算股票价格波动率的一个简单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值与标准差的简单方法。其中，4为股票价格百分比收益率，R（或者者为）则为连续复利收益率（估计）均值，Vhr（R）（或者者cr2）则是连续复利收益率（估计）方差，0就是相应的（估计）标准差（波动率），即Black-Scholes公式计算时所用的参数。在表11-1中，共有H天的收盘价信息，因此得到10个收益率信息。Rt=PJPj_1TR=不EInKlZ=I1 T_2VMR)=五V(In6司表11-1历史波动率计算天数PtRtIn(N)(InK-RF0100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.001410396.750.9872-0.01280.0002344100.501.03880.03800.0012645101.001.00500.00500.0000066103.251.02230.02200.0003827105.001.01690.01680.0002058102.750.9786-0.02170.0005829103.001.00240.00240.00000010102.500.9951-0.00490.000053总计0.02470.004294样本均值"=0.0247/10=0.247样本方差2=0.004294/9=0.000477样本标准差b=0.021843在BlaCk-SChoIeS公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率与波动率。值得注意的是，这三个参数的时间单位务必相同，或者者同为天、周，或者者同为年。年是经常被用到的时间单位，因此，我们常常需要将诸如表11-1中得到的天波动率转化为年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数毕竟按照日历天数还是按照交易天数计算。通常认为，证券价格的波动要紧来自交易日。因此，在转换年波动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，表11-1中计算得到的天波动率相应的年波动率为yea,=day252=0.3467。在我们的例子中，我们使用的是10天的历史数据。在实际计算时，这个天数的选择往往很不容易。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度通常越高。但是，资产价格收益率的波动率却乂常常随时间而变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要注意选取距离今天较近的时间，通常的经验法则是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限。因此，假如要为9个月的期权定价，可使用9个月的历史数据。(2)隐含波动率从Black-Scholes期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是未来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在着较大的缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率的计算。所谓的隐含波动率，即根据Black-Scholes期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数与市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据。显然，这里计算得到的波动率能够看作是市场对未来波动率的预期。当然，由于Black-Scholes期权定价公式比较复杂，隐含波动率的计算通常需要通过计算机完成。(二)BlaCk-SChOleS期权定价公式的计算：一个例子为了使读者进一步懂得Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。例ILl假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%,该股票的年波动率为10%,求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权与看跌期权价格。在本题中，能够将有关参数表达如下：S=50,X=50,r=0.12,=0.1,T=l,计算过程可分为三步：第一步，先算出4与,ln(5050)+(0.12+0.012)×l=F=1.250.1×ld2=41-O.l×F=1.15第二步，计算N(4)与N(4)。N=N(L25)=0.8944N(4)=N(1.15)=0.8749第三步，上述结果及已知条件代入公式(11.2),这样，欧式看涨期权与看跌期权价格分别为：c=50×0.8944-50×0.8749,2x,=5.92美元p=50x(1-0.8749)e3-50x(1-0.8944)=0.27美元在木例中，标的资产执行价格与市场价格正好相等，但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。其中的原因在于利率与到期期限对期权价格的影响。在本例中，利率高达12%,到期期限长达一年。在这种情况下，执行价格的现值将大大降低。关于欧式看涨期权来说，这意味着内在价值的大幅上升；而对欧式看跌期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在计算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看跌期权则是一个虚值期权。事实上，由于实际中的市场短期利率通常较低，期权到期期限通常不超过9个月，因此假如标的资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的看涨期权价格与看跌期权价格通常比较接近。四、BlaCk-Scholes期权定价公式的精确度实证要求证Black-Scholes期权定价公式的精确度，我们能够运用Black-Scholes期权定价公式计算出期权价格的理论值，然后与市场上的期权价格进行比较。假如两者不存在显著的差别，那么这个定价公式的精度应该是令人满意的。从总的实证研究结果来看，Black-Scholes期权定价公式存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一。与CAPM解释股票价格差异的能力相比，Black-Scholes期权定价公式能够较好地解释期权的价格差异。这也正是Scholes得以获得1997年诺贝尔经济学奖的重要原因。通常认为，造成用Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因要紧有下列几个：1 .计算错误；2 .期权市场价格偏离均衡；3 .使用的错误的参数；4 .Black-Scholes期权定价公式建立在众多假定的基础上。五、Black-Scholes期权定价公式的应用BIack-Scholes期权定价公式除了能够用来估计期权价格,在其它一些方面也有重要的应用。要紧包含评估组合保险成本、给可转换债券定价与为认股权证估值。(一)评估组合保险成本证券组合保险是指事先能够确定最大缺失的投资策略。比如在持有有关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。假设你掌管着价值1亿的股票投资组合，这个股票投资组合于市场组合十分类似。你担心类似于1987年10月19日的股灾会吞噬你的股票组合，这时购买一份看跌期权也许是合理的。显然，期权的执行价格越低，组合保险的成本越小，只是也许我们需要一个确切的评估，市场上可能根本就没有对应的期权，要准确估算成本十分困难，如今Black-Scholes期权定价公式就十分有用。比如也许10%的缺失是能够同意的,那么执行价格就能够设为9000万，然后再将利率、波动率与保值期限的数据代进公式，就能够合理估算保值成本。（二）给可转换债券定价可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司债券与一份看涨期权的组合。即其中表示可转换债券的价值，匕代表从可转换债券中剥离出来的债券的价值，Z代表从可转换债券中剥离出来的期权的价值。在实际中的估计是十分复杂的，由于匕对利率非常敏感，而布莱克舒尔斯期权定价公式假定无风险利率不变，对显然不适用。其次，从可转换债券中隐含的期权的执行与否会由于股票股利与债券利息的问题复杂化。第三，许多可转换债券的转换比例会随时间变化。还有就是绝大多数可转换债券是可赎回的。可赎回债券的分解更加复杂。对债券持有者而言，它相当于一份普通的公司债券、一份看涨期权多头（转换权）与一份看涨期权空头（赎Pl权）的组合。可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感，而且对利率也非常敏感。当利率下降的时候，公司可能会选择赎PI债券。当然，利率上升的时候债券价值也会上升。（三）为认股权证估值认股权证通常是与债券或者优先股一起发行的,它的持有人拥有在特定时间以特定价格认购一定数量的普通股，因此认股权证事实上是一份看涨期权，只是两者之间还是存在细微的差别，看涨期权执行的时候，发行股票的公司并不可能受到影响，而认股权证的执行将导致公司发行更多的股票，因此，认股权证的执行存在稀释效应，在估值的时候务必考虑这一点。第二节二叉树模型BlaCk-SCholeS模型的提出，对期权定价的研究而言，是一个开创性的研究。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难懂得与操作。1979年，J.Cox、S.RoSS与M.Rubinstein三人发表期权定价：一种被简化的方法一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称之“二叉树模型（theBinomialModeDw或者“二叉树模型”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就能够加以应用。同时，它不仅能够为欧式期权定价，而且能够为美式期权定价；不仅能够为无收益资产定价，而且能够为有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。一、二叉树模型的基本方法我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔/,并假设在每一个时间间隔，内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S上升到原先的倍，即到达S”；下降到Su原先的d倍，即Sd。其中，«>1,d<l,如图11.1所示。价格上升的概率假设为夕，下降的概率假设为Sd图11.1，时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会是完全不一致的，分别为。与力。注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是能够同意的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。1J.Cox,J.,Ross,S.,andRubinstein:OptionPricing(1979)“aSimplifiedApproach,JournalofFinancialEconomics,September,p.7(一)单步二叉树模型运用单步二叉树为期权定价，能够有两种方法：无套利方法与风险中性定价方法。1 .无套利定价法由于期权与标的资产的风险源是相同的，在如图ILI的单步二叉树中，我们能够构造一个证券组合，包含股资产多头与一个看涨期权空头。假如我们取适当的值，使Su-ftt=Sd-fd则不管资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也就是说，当二)时,不管股票价格上升还是下跌，该组合的价值都相等。显然，该组合为无风SuSd险组合，因此我们能够用无风险利率对S-£或Sd-力贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即S-7=(S必-将A=、乜,代入上式就可得到：Su-Sd2 .风险中性定价法在第一节中我们已经探讨过，期权定价能够在风险中性世界中进行，同样，我们也能够在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数p、与d,从而为期权定价。这是二叉树定价的通常方法。在风险中性世界里：(1)所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；(2)未来现金流能够用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率因此若期初的证券价格为S,则在很短的时间间隔加末的证券价格期望值应为Se.。因此，参数、与d的值务必满足这个要求，即：Ser=pSu+Q-P)Sdertsi-pu+(1-p)d(11.5)二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，那么在一个小时间段4内证券价格变化的方差是S2/"1/L根据方差的定义，变量。的方差等于E(遵循几何布朗运动意味着股票价格符合对数正态分布，因而能够得到这一关于股票价格方差的结论。具体内容可参见郑振龙.金融工程.北京：高等教育出版社,2003. 115页-133页)-E()2,因此：S2e2-ne2n-=pS2u2+(1-p)S这是二叉树模型中最常用的第三个条件，后文我们将会淡到对第三个条件的其他设定方法。d2-S1pu(-p)d2/mJ)2(J)_i=pu2+(i-p)d2-pu+(1-p)d(11.6)式(11.4)与(11.5)给出了计算p、与d的两个条件。第三个条件的设定则能够是完全不一致的，C°x、RoSS与RUbinStein所用的条件1是：M=(11.7)d(11.8)(11.9)(11.10)(11.11)从以上三个条件求得，当加很小时：从而/="叫成+(1-P)力比较以上两种方法，我们能够看到，无套利定价法与风险中性定价法实际上具有内在一致性。在无套利定价过程中，我们并没有考虑资产价格上升与下降的实际概率，由于资产预期收益率等于不一致情况下收益率以概率为权重的加权平均值,在无套利定价法下无需考虑概率就意味着资产预期收益具有无关性,这正好符合风险中性的概念。其次，假如将式(11.8)代入(11.4),最后的期权公式(11.4)与(11.11)实际上是完全相同的。那么要如何懂得公式(ILlI)中的概率P呢？这里的概率实际上是风险中性世界中的概率而非实际的概率，因此资产的预期收益率仍然对期权定价是无关的。通常来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则要紧是提供了一种定价思想。(二)多步二叉树模型：证券价格的树型结构以上所述的单步二叉树模型尽管比较简单,但已包含着二叉树定价模型的基本原理与方法。因此，能够进一步拓展到多步二叉树模型。应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图11.2所示。图11.2资产价格的树型结构当时间为O时，证券价格为S。时间为Af时，证券价格要么上涨到S”，要么下降到Sd;时间为24时，证券价格就有三种可能：SuSud（等于S）与Sd"以此类推。通常而言，在ir时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：Sujdi-j其中=0J.J注意：由于=,使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。a（三）倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就能够在二叉树模型中使用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。由于在到期7时刻的预期期权价值是已知的，比如看涨期权价值为ma*S7-X,0）,看跌期权价值为max（X-S7,o）,因此在风险中性条件下在求解时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T时刻的期权价值的预期值在Af时间长度内以无风险利率/贴现求出。同理，要求解7-2加时的每一结点的期权价值时，也能够将时的期权价值预期值在时间4内以无风险利率r贴现求出。依此类推。使用这种倒推法，最终能够求出零时刻（当前时刻）的期权价值。以上是欧式期权的情况，假如是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提早执行期权与继续再持有的时候间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。例11.2假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%,无风险连续复利年利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（11.8）到（11.10）,能够算出：= 1.1224u=e4id=e-。而=0.8909CrZjp=0.5076u-d1-p=0.4924据此我们能够画出该股票在期权有效期内的树型图，如图11.3所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076,下降概率总是等于0.4924o在ir时刻，股票在第/个结点(/=0,1,/)的价格等于SWdI，比如，F结点(i=4,=l)的股价等于50x1.1224x0.89093=39.69元。在最后那些结点处，期权价值等于max(X-S7,0)°比如，G结点(i=5,=l)的期权价格等于5035.36=14.64。70. 7062.9962. 9900. 6356. 1256. 12. 151.30O50505()3. 7644. 5544. 554. 486. 376. 9539. 699. 610. 335. 3614. 6431. 5118. 50不付红利股票美式看跌期权二叉树图11379. 3I)G21.9389.00. 7056. 124. 555. 4535. 364.6428. 07从最后一列结点处的期权价值能够计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提早执行。这意味着所计算的期权价值是r时间内期权价值期望值的现值。比如，E结点(i=4,=2)处的期权价值等于:(0.5076×0÷0.4924×5.45),x00833=2.66元而F结点处的期权价值等于：(0.5076×5.45+0.4924×14.64)e-0,x00833=9.90元然后，我们要检查提早执行期权是否较有利。在E结点，提早执行将使期权价值为0,由于股票市价与协议价格都等于50,显然不应提早执行。因此E结点的期权价值应为2.66元。而在F结点，假如提早执行，期权价值等于50.0039.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提早执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.317U>而不是9.90元。用相同的方法我们能够算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。假如我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当4非常小时，期权价值将等于4.29元。(四)二叉树方法的通常定价过程下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍然举无收益证券的美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为Z的小区间，令4(0zN,0ji)表示在时间i时第j个结点处的美式看跌期权的价值，我们将4称之结点(i,)的期权价值。同时用S/d'F表示结点(i,力处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是max(X-S,o),因此有：v,y=max(X-5<0),其中/=0,1,.,N当时间从W变为(i+l)加时，从结点&，)移动到结点+l,J+l)的概率为P，移动到(i+L)的概率为1-假定期权不被提早执行，则在风险中性条件下：=÷÷(1-p其中0iN-l,0i°假如考虑提早执行的可能性的话，式中的力务必与期权的内在价值比较，由此可得：按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者者说当每一区间加趋于0时,就能够求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，通常将时间区间分成30步就可得到较为理想的结果。二、基本二叉树方法的扩展(一)有红利资产期权的定价1 .支付连续红利率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为尸一夕，因此式(11.5)就变为：e(