无刻度直尺网格作图的基本模型及应用.docx
无刻度直尺网格作图的基本模型及应用义务教育数学课程标准（2022年版）对尺规作图的内容及要求有所加强,其地位又得到了一定提升。尺规作图蕴含丰富的推理，是发展学生推理能力的良好载体，而“无刻度直尺网格作图”是尺规作图的基础。本文将在9X9的网格下讨论三种基本模型和四种复合模型。在网格作图中，我们把两条相交直线叫做格点的“母线”。若两条母线都是网格线，则交点叫格点；若两条母线中只有一条网格线，则交点叫次格点；若两条母线都不是网格线，则交点叫一般点。我们要过一个点作一条线的平行线或垂线，当点是格点时，我们很轻松的通过平移完成，当点不是格点时，我们通常通过平移“生成”点的母线来完成。一、基本作图1、过点作平行线如图1,过C点作CD平行且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D,因A到B的平移方式是横左2纵下3,则A到B的平移方式也是横左2纵下3。总结：若点是格点，直接通过平移到对应点，并且平移横纵不变（下文中平移方式不变就不再强调）。如图2,过E点作EF平行且等于AB解答：E是次格点,先找到母线AC的对应母线BD,再找到E的对应点F。总结：若点是次格点，先通过平移非网格线的那条母线到对应母线，再找到对应点。如图3,过E点作EF平行且等于AB解答：E是一般点，先找到两条母线的对应母线，再找到E的对应点F。总结：若点是一般点，先通过平移两条母线到对应母线，再找到对应点。变式：如图4,过E点作AB的平行线交BC于点F解答：我们除了用平移的方法作平行线，还可以利用X、A型相似作平行。因为E是AC的一个三等分点，可以先连接BC,再利用相似找BC对应的三等分点Fo2、过点作垂线如图5,过C点作CD垂直且等于解答：C是格点，只需要找到C的对应点D,因A到B的平移方式是横左2纵下3,则C到D的平移方式是横左3纵上2。总结：若点是格点, 直接通过旋转得到对应 点，并且旋转横纵交换。如图6,过E点作EF垂直且等于AB解答：E是次格点,先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过次格点E点作AC的平行线EF。总结：若点是次格点，先过任意一个格点（通常选择直线的一个端点）作已知线的垂线，再过次格点作垂线的平行线，就转化为基本模型一。如图7,过E点作EF垂直且等于AB解答：E是一般点，先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过一般点E点作AC的平行线EFo总结：若点是一般点，先过任意一个格点（通常选择直线的一个端点）作已知线的垂线，再过一般点作垂线的平行线，就转化为基本模型一。3、作线段的分点对于作线段分点问题我们通常是构造相似，若构造X型相似三角形，则两格点方向相反；若构造A型相似三角形，则两格点方向相同。下面我们都以X型相似为例。如图8,在线段AB上找一点P,使AP:BP=4:3；解答：点A下4格记为点C,点B上3格记作点D,连接CD与AB的交点便是分点P。如图9,在线段AB上找一点P,使AP:AB=4:9；解答：由AP:AB=4:9得上：全=4:9,所以上：下=4:5。点A下4格记为点C,点B上5格记作点D,连接CD与AB的交点便是分点Po如图10,在线段AB上找一点P,使AP:BP=Il:6。解答：同图8在点A下6格找出点C,点B上11格找出点D,连接CD与AB的交点便是分点P,但事实上是点B上11格已超出网格，所以把比的前项和后项都缩小3倍，变为AP:BP=:2。现在将点A下2格记为点C,点B上：格记作点D,连接CD与AB的交点便是分点Po这里用到了A型相似作长度为的线段。/cr的垂线AC；找出线段AB的中点M；过点M作AC的平行线。（转化为基本模型一）方法二：以AB为边构造正方形；连接两条对角线,交点记作N；找出线段AB的中点M；MN便是线段AB的中垂线。（利用正方形的性质）5、作角平分线JBT如图12,作NABC的角平分线方法一：构造等腰三角形ABD；找出底边AD的中点E；二、复合作图4、作线段的中垂线如图11,作线段AB的中垂线方法一：过线段AB的其中一个端点A作ABZII/"7，连接BE便平分NABC。（利用等腰三角形三线合一）方法二：以AB为边构造菱形ABDE；连接BE便平分NABC。（利用菱形对角线平分对角的性质）6、作对称点如图13,作点M关于直线AB的对称点N解答：过M点作AB的垂线；若垂足是格点则直接倍长至N点；若垂足不是格点，则在对称轴上任取一格点，通常取端点A,连接MA并倍长至C点；过C点作对称轴AB的平行线交对称轴的垂线于N点。7、三角函数问题如图14,在BC上作点E使得tanZEAB=-O解答：将线段AB绕着B点旋转90°到BD；作BD的分点F使得BF:DF=3:4（转化为的基本模型三），此时BF:BD=3:7,因此BF:AB=3:7,则tanNFAB二。连接AF与BC的交点即为所求点Eo通过练习大家会发现大多数网格作图题都可以转化为基本模型或复合模型，进而迅速解决问题，即使难度较大的问题也能轻而易举地求解。
