概率论与数理统计C课件第四章_反常积分的收敛性.docx

习题&2反常积分的收敛判别法1 .证明比较判别法(定理8.2.2)；举例说明，当比较判别法的极限形式中/=O或+8时，J：。a)公和7")公的敛散性可以产生各种不同的的情况。解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在4+co)上恒有0f(X)K(x),其中K是正常数。则当风幻心:收敛时/(X)公也收敛；当£/()公发散时j"o()公也发散。证当收敛时，应用反常积分的CaUChy收敛原理，W£0,30a,VA,A,Aq:J；xdx<°于是JA/(x)d<aKe(X)叫<,所以J'/(x)"x也收敛；当7(幻公发散时，应用反常积分的CaUChy收敛原理，3¾>0,VAO,3A,A,o:f(x)cbcKo于是J；(xdx卜；(x)dx,所以J：/*)公也发散。(2)设在0,+8)上有f(x)0,(x)0,且Iim=0o则当+'f(x)dxXT+0(x)Ja发散时，J7>(x)dx也发散；但当JfV(X)公收敛时，J7>(x)dx可能收敛,也可能发散。例如/*)=4，(x)=(O<P<2),则Iim这=0。显然有Xxpx+x)r°f(x)dx收敛，而对于广e(x)dx,则当lvpv2时收敛，当0<pl时发散。设在,+8)上有f(x)0,x)0,且Iim=+ooo则当XTxo)J：F(Xg收敛时，J：O(XM也收敛；但当广AXMX发散时，r°(x)dx可能发散，也可能收敛。例如F(X)=4，(x)=-(p>-)，则Iim4=+oo0显然有xxp2XTye(X)广7*)公发散，而对于>(外公，则当g<pl时发散，当p>l时收敛。2 .证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。证定理&23(CaUChy判别法)设在,+8)u(0,+oo)上恒有/(%)0,K是正常数。若/(x)匹，且p>l,则r"(x)公收敛；xpJ"(2)若/(x)t,且pl,则厂/(XMX发散。推论(CaUehy判别法的极限形式)设在k+oo)u(0,+8)上恒有U)0,且IimXPf(X)=I,+则若0<v+,且则J"(x)dr收敛；(2)若0v+,且1,则/(x)dr发散。证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极限形式)，将函数e(x)取为二。X13.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：P+a.arctanX,(1)厂厂I9;(2)J.dx,y,x3-e2x+lnx+lIfyXq/.×J；:e；(E公(PM)*°1+xsnxI解(1)当x+oo时，11_Z*yx3-e2x+111+11X2所以积分Jr73:IdX收敛。Jlx3-e-2x+Inx÷l(2)当xf+oo时，arctanxl+x32,所以积分JJ专詈公收敛。(3)因为当x0时有i-j-L,1+XSinM1+X而积分J；L公发散，所以积分J(TI-J公发散。Jo1+XJ。1+xsnxI(4)当xf+oo时，Xq1+xpP所以在-夕>1时，积分J:卢公收敛，在其余情况下积分j,+xp井上公发散。Jl+p4 .证明：对非负函数/(x),(cpv)O(x)d收敛与公收敛是等价的。证显然，由70)办收敛可推出(CPV)J:x)办收敛，现证明当/(x)0时可由(cpv)IZfMdx收敛推出J二7(X)公收敛。由于(CPV)J=f(x)公收敛，可知极限IimF（八）=Iimaf(x)dxl+ool+ooJ-A存在而且有限，由Cauchy收敛原理，e>0,3>0,VAA'0:F（八）-F(Ar)<,于是A,A')与8,90,成立Hfa)N<I/（八）-尸（八）IVE与(x)F(B)-F(Bt)<,这说明积分f(x)dx与Cj(X)公都收敛，所以积分11(x)公收敛。5 .讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同)JrlTnASinzZx;(2)J公(/?R+);J?Inx"p/C、r+sinxarctanX.z、z,r+./八，(3)dx(pR)；JOsm(x2)d;.X亿严，SinXdX(Pm(X)和%(x)分别是"7和次多项式，儿q大)(5)g(x)在x,+oo)范围无零点。)解(1)因为尸（八）=J；SinXdX有界，JnInX在2,+oo)单调，且IimL%=0,/InX+8Inx由DiriChIet判别法，积分J皆Sinx公收敛；J2Inx小工Inlnx.、InInX.21Inlnxzl。、而工口人由于sinxsinX=(l-cos2x),而枳分InXInX2Inx丁吟公发散，广但cos2Mx收敛，所以积分广皿SinX公发InX2InXInx散，即积分广喏Sinmr条件收敛。(2)当p>l时，誓=7,而/0-L公收敛，所以当p>l时积分X1X1XpJ:处心绝对收敛；Jlp当0<pl时，因为尸（八）=J:SinMr有界，；在口,+oo)单调，且Iim-L=O,由Dirichlet判别法,积分广皿公收敛;但因为当01+xjvPXP时积分J1应"IdX发散，所以当0<p时积分/当公条件收敛。Xx"(3)当p>l时，sinxarctanx-,而°-L公收敛，所以当时XP2xpj,XP积分sinxar;tan、x绝对收敛;当0<pl时，因为尸（八）=J:SinMr有界，”写叫在1,+8)单调，且Iim吧吧=0,由DiriChlet判别法，积分J；SinXarCtan收敛;但因x+coXPJlP为当0<pl时积分8罩斗in加发散，所以当0<p时积分的詈”公条件收敛。由于J:翟力条件收敛，可知mA.7r+oo./2、，,+8sin，,令=x,fsm(x)dr=n-i=dtJoJo2r积分J；'Sin(X2)d条件收敛o(5)当>m+ 1且X充分大时，有Sin工 q)与,可知当 > m+1时 X积分厂器M绝对收敛。当"=7+1时，因为尸（八）=J；sinxdx有界，且当X充分大时，1qQ)单调且Iim29=(),由DiriChlet判别法可知9SinMX收敛；但XTeq“(x)Jaq,l(x)由于当工+8时，区回J易知广 qn(x) X J,PmM .Sinx4(外公发散，所以当=加+1时，积分也3sinxdx条件收敛。纵(R)当<机+1时，由Iim=A,A为非零常数、+8或-8,易知+8qn(x积分厂器M发散。6.设/(X)在W,切只有一个奇点X=。，证明定理8.2.3和定理8.2.5'。定理8.2.3,(CalIChy判别法)设在上恒有AX)0,若当X属于人的某个左邻域g-外,力时，存在正常数K,使得f(x)'y»且V1，则M攵敛；(2)f(x)S£*，且1,则hafxdx发散。证(1)当P<l时，积分J：IXdX收敛，由反常积分的CaUChy收敛原理,>0, B>OV(O,S):"dx<邑。JJYb-X)PK由于门'N仁：念W所以Jv(X心收敛。(2)当pl时，积分加士？公发散，由反常积分的CaUChy收敛原理,三6,0>0,V3>0,V(0,5):0由于仁”(汹仁念T£。，所以*(x)公发散。推论(CaiIChy判别法的极限形式)设在值切上恒有/(x)0,且lim(b-x)pf(x)=I,XTb-则若0v+,且p<l,则/(冗M收敛；若0v+,且pl,则J：f(X)公发散。证(1)由Iims-X)P/(x)=/(p<l,0Z<+),可知.v6-3>0,Pxe(b-,b):f(x)<-1-1-,(Dp再应用定理8.2.3,的(Do(2)由IimS-X)P/(x)=/(p1,0</÷),可知JCTb一3>0,PXn,b):f(x)>-，2(b-x)p再应用定理8.2.3,的(2)o定理8.2.5，若下列两个条件之一满足，则J>(x)g(x)公收敛:(1) (Abel判别法)/(%)公收敛，g()在,6)上单调有界；(2) (Dirichlet判别法)/()=J"'/(x)dx在(O,b-上有界，g()在a,。)上单调且Iimg(x)=0。XTb一证(1)设Ig(X)IG,因为J>(x)办收敛，由CaUChy收敛原理，V£>0,>0,VA,A,(b-,b):'f(x)dx<o由积分第二中值定理，J：f(x)g(x)dx伞(4»J"(x心卅g（八）“：f(x)dxGJ；f(x)dx+GJF(X<=C(2)设I尸M,于是WAA",有力(X)斗2M。因为Iimg(X)=0,V£>0,3<y>0,VXS-5,0),有Ig(X)I<。由积分第XTb-4M二中值定理，J：f(x)g(x)dx伞(硼"(不同市(4)f(x)dx2Mg（八）+2MIg(A,)<=.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有"")g(x心收敛的结论。Ja7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:IflInxhE公CJ一；。匕等公；j°cos2xsn2X)°pJ；IInXl"公；T(I-X)2公；xp,d-xr,IlnxUx.解(1)因为-r=X=A(x0+),1-(x1-),m2(17)1x2(-x)(1_x)5所以积分J、dx收敛。0Ijx2(I-X)(2)因为Iim?，=L且对任意O<S<1,Iimn-=0>即当x>0Xfr2_12x0÷X2_1充分小时，有I聋。，所以积分1署公收敛。(3)因为;(x0+),=-(xg-),cosxsinXXcosxsinx(乙_%)22所以积分12I2公发散。J。cos-xsn2X(4)因为a丝L丁(0+),所以当p<3时积分3些公收xp2xp-2j°XP敛，当p3时积分”公发散。(5)首先对任意的OV5<1与任意的p,有IimIlnXIq=O,即当X>O0+充分小时，有IlnMP<口；且IInRF(1_p(xl-)。所以当p>-1时,积分J；IlnXIP公收敛，当p-1时，积分J；IIn%I。公发散。(6) XPT(I-X)I-(X0+),K(l-x尸T(x1-),所xi-pd尸以在p>O,q>O时积分J；XkI(I一)M公收敛，在其余情况下积分J：XpT(I-x)gdr发散。(7) XPT(I-X尸TlInXl一i(xl-),且(DFHmx2(P-(1-)-1IIn%I)=O,即当x>O充分小时，有0+xp-,(l-x)1lnx<-!y,所以当p>O,g>T时积分J；XPT(I-工尸IC1X2收敛，在其余情况下积分j>Z(Jx)gIlnxldx发散。8.讨论下列反常积分的敛散性:。-nx(PMeR+)；1。及X-1)2(”2产;厂也3厂胆言公;*0JoXp小舞Z；广1xp + Xqdx ；J；xpln47xdx.解(I) J；中也办J ° Inx1 YP-I fl Jo Inx1dx-i3In X,f XPTTIdx+.dx o2 Inx2当>0,9>0时积分公与积分点高公显然收敛，且当xl一时,-T=k+(D)X_1_卜+(JT)ZTI(-。-1)InXln(l+(x-l)X-I即”一JyH公不是反常积分,所以积分J：片士公收敛。£InxjoInx(2)Jr1dx=J：dx+j/1dxx(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)r+1,+Ldxcyx(x-l)2(x-2)因为V%U-1)2(x-2) 一点;(x0+),X3f1=(X1-)，V%U-D2(x-2)公收敛;因为-1)2(x-2) (Dg1 1 1(x > 1+),V%U-D2(x-2) V2 I所以积分比1 dx收敛；y X(X I)2(X 2)因为(X -> 2一)，11 IzI Cr(x2+),V%U-D2(x-2)2-V1(x -1)? (x - 2)-(x +)，所以积分广x(x - l)2(x - 2)d收敛。由此可知积分Vx(X-I)2U-2)公收敛。zoXf+x1(1÷x).ri1(1+x).+1(1÷x)f(J)八dx=Ldx+IdxoJOpJ°pJIXp由蚂片击(x0+3可知当”2时，积分；电衿公收敛,当p2时，积分广，泮公发散；3，-1fz1、当时，Iim.(+x)=0,即当x>0充分大时，有x÷xXP蚂匕义<上,其中止11,可知当p>l时，积分8蚂SdV收Xpzl2JlXPX2敛，当Pl时，积分厂蚂詈1八发散；综上所述，当l<p<2时，积分厂叫RdX收敛，在其余情况下X积分Jr蚂/公发散。zz1r+arctanXffarctanx.f+ooarctanx.(4) dx=Fd÷IdxoJopJOPJlP由华竺一口0+),可知当p<2时积分，蚂含公收敛；xpxpxp由牛算(3+如可知当“I时积分JF*公收敛。所以当1<<2时积分J胆产公收敛，在其余情况下积分X9竺公发散。JOP(5) /、.2Jtanxr4tanxf2tanx(6) 1.XTL公=Jo由巫算T(XfO+3可知当p<3x'PF2Xl当p5时积分4号EA发散；由地手_2L_(x_b可知积分J：里手公收敛。Xp(-xY2Xp所以当p<,时积分J；二卑三公收敛，当p,时积分r2亚运公发散。JOXP(7) zxpie-rdx=xp-,e-rdx+1+xp-le-vdx。由于积分JrXPTeTdX收敛，及XkLTJ了(x0+),所以当X>0时积分JdKeT公收敛，当p0时积分fC发散。(8) -dx=÷7-!_drOJop+qJ°N+/j,xp+xq当p=g时，显然积分JUT；公发散；当PW夕时，由于1 111r-(x0+),”+KXmm(PW+/XmaX(PM所以当min(p,q)Vl,且max(p,4)>1时积分JJ公收敛，其余情况0xp+xq下积分/一发散。j0p+x(f(8)设p>l,则对任意的勿当X充分大时，有一!<二，因为xpnt,xX2>,可知积分jr丁厂公收敛。2J2XPIngX设p<l,则对任意的夕，当X充分大时，有1,因为XPinqX四X2<,可知积分JrA7/x发散。设2'令'三-=由此可知当或P=Lg>1时积分r07公收敛，在其余情况下积分JrP公发散。9.讨论下列反常积分的敛散性：/1、c+cx'T/c、f+*>sinx/(1)0-dx(2)J1-dx(p0);j°1+x2JI+P“、f+es,nrcosx./八f+es,nxsin2x.JoXP公;JO3f11,(5Lcosdx；IJoNx2(p>).尸XPT1”IXp1,J0:dx=I-dx+WdXCJ°l+x2jo1+x21+x2rP-1丫一1由7-(x0+),7二一*+8),可知当Ov”2时l+x2/-Pl+x2x3-p积分JuA办收敛，在其余情况下积分LrM公发散。(2)当夕<p-1时，由且应用<小,可知积分誓”公绝对收1+”xp-q1+炉敛。,Yg当p-lqvp时，因为尸（八）=J；Sinxdr有界，当X充分大时单调减少，且IimJ=O,由DiriChIet判别法，积分广必半公收敛;x+81+W'j,+Xp但因为积分广土用八发散，所以当联1"时积分广的公条1+XXP件收敛。当4p时，由于T8时旭"R办不趋于零，可知积分J2面I+x1,J;誓吧公发散。J|+XPzaf+oces,nxCOSx,fies,njcosx,f+oes,nvcosx,(3) 八=L公+LdoJopJOYPJIpV>人由二萼'(x0+),可知当时积分Ce'gSXdX收敛,xpxpXp在其余情况下积分C之浮公发散。当p<l时，易知积分J火警Udx发散；当p0时，易知积分/°巴萼公发散。x,当()<vi时，因为sin*coszx<-,-L单调减少，且Iim-L=O,由DiriChIet判别法；可知积分广”;。SXdX收敛。Xf+ooPJ|XP综上所述，当0<p<l时，积分J(Te-:。SQX条件收敛,在其余X情况下积分J:三篙公发散。/八f+es,nvsin2x,fes,nvsin2x,r+es,nvsin2x,(4) 0=Jo÷1dx。由.f2x-r*0+),可知当"2时积分/产一，2%公收XXX敛，在其余情况下积分CeSEF2x公发散。X当l<p<2时，显然积分8出粤到公收敛；当p时，易知XI积分r之粤却以发散；当po时，易知积分厂之警公发散。XX当O<pl时，因为j""nsin2j=0,可知JjeSinXSin2zZt有界，且-L单调减少，Hm-L=O,由DiriChlet判别法，可知积分XPXT+00XP(火詈，X收敛。综上所述，当1<”2时积分广二2、X绝对收敛,当o<p时积分r°出等公条件收敛，在其余情况下积分出出2'公发XX散。(5)令7=1，则Xf111j1+oo1.1.cos-r=IcostatoJOXP22jl2pt2于是可知当”1时积分J(JTrCOS-X绝对收敛；当lp<3时积分J：COSedX条件收敛，当p3时积分发散。"X2JoXPX2.(".(11sinX+sinx+-(6)当p>l时，因为M;,可知积分°IP丁L绝对收XXX敛。sinx+-L.7L当0<pl时，因为哼、dx>23,而级数叫X1(bn+-I2J一!一发散,I /k、P«=1 njr-I 2)所以积分°.(nsin X + X)XP八发散；又因为 X+ X), -dxXps in I收敛，所以积分01 1 X + XPdx条件收敛。./1、.11.1sm(x+-)sincosx+cossnxsinrAa=F*-*注意到当X充分大时，DJ，XpJlXPXPcosSinl与一U都是单调减少的，由DiriChlet判别法可知积分0-X10 .证明反常积分J；"XSinX4SinX公收敛。证对任意A">A>A,由分部积分法,sinxcosxr" COSX4 COSX显然，当A+8时，等式右端的三项都趋于零，由CaUChy收敛原理,可知反常积分J；XSinX4SinMX收敛。11 .设F(X)单调，且当x0+时f(x)÷,证明：f(x)cbc收敛的必要条件是Iimxf(x)=Oox0+证首先由F(X)的单调性，对于充分小的O<xvl,有由Cauchy收敛原理，吧力=O,于是得到Iim>(x)=Oo12 .设/(x心收敛，且*(x)在,+oo)上单调减少，证明:Iimx(ln)(x)=Oo证首先容易知道当x÷时，*(x)单调减少趋于O,于是有xfx)O,且Ox(lnx)f(x)丘炉,；没=JA/力。然后由CaUChy收敛原理，吧J2f(f)d”0,于是得到Iimx(lnx)f(x)=Oo13 .设/*)单调下降，且Iimf(X)=0,证明：若尸(X)在0,+8)上连续,则反常积分/(X)Sin2不小收敛。证首先由分部积分法,(x)sin2xdx=JJsin:df(x)=一()'/(X)Sin2不八°由于尸（八）=JjSin2x公有界，/*)单调下降，且lim(x)=O,由JU+DiriChIet判别法，可知积分J/(x)sin2Mx收敛，从而积分JfY(X)SiMX公收敛。14 .设©/(x)心绝对收敛，且Iimf(X)=0,证明广尸(x)公收敛。Jax+ooa证首先由Iim/(x)=0,可知HA>a,Vx>A,有If(X)I<1,即当x>4时,x+11成立2()(刈。因为积分7(幻公绝对收敛，于是由比较判别法,积分J：尸。)公收敛。15 .若J:尸公收敛，则称/(X)在k+8)上平方可积(类似可定义无界函数在凡句上平方可积的概念)。对两种反常积分分别探讨了(X)平方可积与/(X)的反常积分收敛之间的关系；对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。(1)/公收敛不能保证尸公收敛，例如:4、sinx则7(乃公收敛，但尸公发散；尸(X)办收敛不能保证J：”XMX收敛，例如：/(X)=-,则X:/2。心收敛，但7(外公发散。(2)j：尸公收敛不能保证力公绝对收敛，例如：八X)=皿X则“产公收敛，但7(XMX不是绝对收敛的；7/(x)dx绝对收敛不能保证7f1xdx收敛，例如：f()=n*"2'"L则7"杜绝对收敛，但广产公发散。O其他1L 1AX) = 7，则(3)由If(X)Igl+2(x),可知J；尸(XMX收敛保证J>(x)dx绝对收敛;但J"(x)dx绝对收敛不能保证产公收敛，例如：J"(x)公绝对收敛，但J"2()公发散。16 .证明反常积分<,+oosinXI1:dx“xp+sinX当p;时发散，当;<pl时条件收敛，当p>l时绝对收敛。证当p>l时，对充分大的,有JnX由于积分8二公Xp+sinxX1,xp收敛，可知积分绝对收敛。Jlif+sinX当0<pl时，利用等式sinxsinxsin2x-xp+sinXxpxtxp+sinx)这时积分要公收敛；积分凄V当夫2时收敛'当0<弓发散。当;< p 1时,由于r号n"一SinXxp ÷sinx2命.2因为级数£/»=15 + 1)"+1发散,所以积分r个IX发散。综上所述，当-pl时,积分广条件收敛；当o<p!2Jlp÷sinX2时，积分广一-公发散。1xp+sinX当”0时，因为有广哼SinX小广”曲公也）,由,2+p+sinx八所3216CaUChy收敛原理，可知积分公发散。1xp+snx