抽象函数性质知识总结与题型归纳（学生）.docx

抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有f(%y)=f(%)+f(y),f(2)=,求/(4)/(8).例2:已知/(X)定义域为R,对任意XJeR都有/(+y)=()+(y)-,当4>2时，/(x)<0,/(2)=0.求/，/(0),/(T)的值；例3:对任意实数,y,均满足f(%+y2)=fQ)+2f(y)K且/(I)装0,则/(2001)=.变式1.设函数y=/(%)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数,y,都有/(xy)=f(%)+f(y);当>1时,f(%)<0；f(3)=-1.求f(l),/6)的值；变式2.定义在R上的函数/(),满足对任意XjeR,有/(-y)=()-f(y),且/(3)=1011.求/(0),/(6)的值；变式3.已知函数千(x)定义域为R,f(1)=2,f(x)0,对任意X,yR都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1；求f(4)(16)的值；题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1,QWO,且XlVX2；(2)作差/(修)-/(>2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fCq)-f(%2)此步有时也会用作商法：判断留与1的大小；/(2)(4)定号(即判断差f(%)-f(%2)的正负)；(5)下结论(指出函数/(%)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y),可令y=x,f(xy),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为-1，若对任意的,y-1，都有/(x+y)=(x)+(),且x>0时，/(x)<0.(1)判断了S)的奇偶性；(2)讨论幻的区间卜川上的单调性；(3)设3=-4,()<m2-2三+l,对所有xw-U,eTl恒成立,求实数次的取值范围.变式1：设函数/()对任意的实数,yeR,都有/(+v)=()+(v),且XVO时，/Cv)<0,/(-)=-2.(1)求证：/(x)是奇函数；(2)试判断函数/()单调性；(3)试问当-2x2时，/(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.例2：已知定义域为/=(YC,0)U(O,+)的函数/()满足对任再c(-°°,O)U(O,+3c),都有/(x)=/&)+/卜2).(1)求证：/(x)是偶函数；(2)设x>l时/("O,求证：/(X)在(0,+8)上是减函数；求不等式-i)>(2)的解集.变式2：已知函数/()对于任意实数X,恒有+y)=()+V),且当<0时，<,又/(T)=T.判断八X)的奇偶性并证明；(2)求/(X)在区间-3,3的最大值;解关于X的不等式：f(ax2)-2f(x)<f(ax)-2.例3：已知函数y=()的定义域是R,对于任意实数相，恒有/(阳+)=/(加)/(),且当x>0时，0<(x)<l求证：/(X)在R上是单调减函数.变式3:已知定义在R上的函数/(X)对任意实数,b都满足S+b)=()(b),JL(1)O.当彳>0时，/()>l.(1)求/(0)的值；(2)证明：/(x)在(-8，+8)上是增函数；(3)解不等式/("-2)<息不.例4：已知函数/()是定义在(。,+¥)上的增函数，g=()-(y).(1)求/;(2)求证：Q=-();(3)若/(2)=,解不等式：-j2./变式4：已知定义在区间(O,+)上的函数f(x)满足f五=f(x1)-fx2)(x2),且当x>1时f(x)>0,若f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性；(2)解关于X的不等式/(3+6)+d)>2;X(3)若)-2t三+l对所有xe(0,3,-l,l恒成立，求实数加.例5：设函数y=()的定义域为R,并且满足/J-y)=*)-(y),且八；)=-1当>0时，/W<O-求/(0)的值；(2)判断函数力的单调性,并给出证明；(3)如果/(x)>/(2x)-2,求X的取值范围；变式5：定义在R上的函数/(),满足对任意,yeR,有/(-y)=()-(y),且/(3)=1011.求/(0),/(6)的值；判断/()的奇偶性，并证明你的结论；(3)当x>0时,/(x)>0,解不等式/(2x-4)>2022.例6:已知函数幻是定义在R上的非常值函数，对任意x、yeR,满足f(y)=f()f(y).(1)求/(0),/的值；(2)求证：对任意Xw(0,+8)J()>0恒成立；(3)若当0<<l时，/()<l,求证：函数/(外在(0,+8)上是增函数.变式6：已知定义在R上的函数/()满足：对任意的实数x,y均有/(盯)=/()3,且/(T)=T,当0<x<l且/()<0,l).判断/(x)的奇偶性；判断/(x)在(0,+8)上的单调性，并证明；(3)若对任意方,6-lJ,"Tl,总有2|/(再)-/(%)归川-2的1+1恒成立,求实数m的取值范围.例7：已知/()定义域为R,对任意XjeR都有f(+y)=f()+f(y),当>oB+,/(x)<l,/(-1)=2.试判断/(x)在R上的单调性，并证明解不等式：/(2-3x-2)+2(x)>4变式7：已知/()定义域为R,对任意XJWR都有f(+y)=()+(y)T,当>2时，/(x)<0,"2)=0.(2)试判断/()在R上的单调性，并证明？(3)解不等式：2(÷2x)2-(+2x+2)-2<0.变式8：若定义在R上的函数/(%)满足：,毛丸都有/(占+毛)=/(须)+/仁)+1成立，/(1)=1且/()为R上的增函数，求0)的值，并证明/(x)+l为奇函数；解不等式/(-3/+2x)+3(x)>O.若VxR,PyWR,/'/一机(2k+力+4少+4>3恒成立，求实数次的取值范围.例8:定义在。=(-2,0)d(0,2)上的函数/(x),对任意XjCO,都有f(y)=f()+f(y)-2,且当o<<时，/()>2.(1)求/与/(-1)的值；(2)证明/()为偶函数：(3)判断y=(x)在(0,2)上的单调性，并求解不等式/(2x-l)<2.变式9.定义在/=(-2,0)50,2)上的函数/(X),对任意X,yl,都有f(xy)f()+f(y)-2;且当0<x<l时，/(x)>2.(1)求/(-1)的值；(2)证明X)为偶函数；(3)求解不等式八2x-1)<2.题型三：抽象函数的周期性问题例1：奇函数/(%)定义在R上，且对常数T>0,恒有f(%+T)=/(%),则在区间0,2T上，方程/(%)=0根的个数最小值为.例2：/()是定义在K上的函数，对一切,蚱R,都有/(+y)+(-y)=2(x)(y),且/(O)H0.(1)求/(0);(2)判断函数X)的奇偶性变式1.已知函数/()满足TX,ywR,f(+y)+f(-y)fMf(y),0)=,且在区间0,i)上，/()>o恒成立.(1)证明：/是偶函数；(2)求/)；(3)证明：/S)是周期函数.