华东师大版八年级上册13.3等腰三角形（1）讲义（无答案）.docx

等腰三角形11、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题1 .三角形三边关系(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和第三边.(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.(3)三角形的两边差第三边.(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略.2 .三角形内角和定理(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于且小于.(2)三角形内角和定理：三角形内角和是.(3)三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角,在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.直接根据两角求第三个角； 依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 在直角三角形中，一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.3 .三角形的外角性质(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的.三角形共有一个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(2)三角形的外角性质：三角形的外角和为_.三角形的一个外角等于和它的两个内角的和.三角形的一个外角和它不相邻的任何一个内角.(3)假设研究的角比拟多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去.(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.4 .等腰三角形的概念与性质(1)等腰三角形的概念有相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质等腰三角形的相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.简称：(3)在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.参考答案：1. (1)大于；(3)小于2. (1)Oo180°；(2)180°3. （1）外角六；（2）360°不相邻大于4. （1）两条边；（2）两腰等边对等角三线合一1 .等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【例1】假设等腰三角形底角为72。，那么顶角为（）【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数.解：等腰三角形底角为72°，顶角=180°-（72°×2）=36°应选D.练L等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2,那么等腰三角形顶角的度数为（）A.30oB.150oC,60°或120oD.30°或150°【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论.解：当高在三角形外部时，顶角是150°；当高在三角形内部时，顶角是30°；所以等腰三角形的顶角的度数为30。或150。；应选D.2 .等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质.【例2】如图射线BA、CA交于点A.连接BC,己知AB=AC,NB=40度.那么X的值是（）A.80B.60C.40D.100【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角与外角的关系解答即可.解：VAB=ACtZC=ZB=40o,x=ZC+ZB=80o.应选.总结：此题利用了等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.练2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,那么顶角的度数为（）A.60°B.120oC.60°或150oD.60°或120°【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论.解：当高在三角形内部时（如图1）,顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2）,顶角是120°.应选D.练3.如图，ZABC中,AB=AC,AD=DE,ZBAD=20o,ZEDC=IOo,那么NDAE的度数为（）A.30。B.40oC.60oD.80°【解析】先根据三角形外角性质，用NC表示出NAED,再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出NC的度数，再求/DAE也就不难了.解：设NC=X,VAB=AC.,.ZB=ZC=XNAED=X+10°VAD=DE,ZDAE=ZAED=x+10o根据三角形的内角和定理，得x+x+（20°+x+10o）=180°解得x=50。，那么NDAE=60。应选C.总结：此题能够根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根据三角形的内角和定理列方程求解.3 .等腰三角形的性质；三角形三边关系.【例3】一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三角形的腰长为X,那么X的取值范围是（）A.OVxVaB.x2至C.x>&D.0<x<10222【解析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.就即可求解.解：因为等腰三角形的两腰相等，差为0,一定小于底边，只需考虑2x>5,解得x>&.2应选C.练4.一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm,那么它的周长为cm.【解析】此题没有明确说明的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论.解：分两种情况讨论腰长为5时，三边为5、5、2,满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm;腰长为2cm时，三边为5、2、2,V2+2=4<5,不满足构成三角形.，周长为12cm.故答案为：12.4,等腰三角形的性质；全等三角形的性质.【例4】等腰4ABC的周长为18cm,BC=8cm,假设AABCgZXA'B,C',那么A'BzCz中一定有一条边等于()A.7cmB.2cm或7cmC.5cmD.2cm或5cm【解析】分两种情况讨论：(1)假设BC为等腰4ABC的底边；(2)假设BC为等腰4ABC的腰.解：(1)在等腰AABC中，假设BC=8cm为底边,根据三角形周长计算公式可得腰长身二三5cm；2(2)在等腰4ABC中，假设BC=8c为腰，根据三角形周长计算公式可得底边长18-2×8=2cmVABCA,B'C',A,B'C1与AABC的边长及腰长相等.即AA'B'Cz中一定有一条边等于2或5.应选D.练5.等腰4ABC中,B=C,D是BC边上一点，连接AD,假设aACD和AABD都是等腰三角形，那么NC的度数是.【解析】AACD和AABD都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论.(1) AD=BD,DC=AD,那么4ADB和aADC是全等三角形，可求得NADC=90°,那么NC=45°；(2) AB=BD,CD=AD,那么NB=NC=NDAC,ZBAD=ZBDA=2ZC,然后用NC表示出AABC的内角和，即可求得5ZC=180o,那么NC=36°.解：应分两种情况：AD=BD,DC=AD,那么4ADB和4ADC是全等三角形，可求得ADC=90°,那么/045°；AB=BD,CD=AD,那么NB=NC=NDAC,ZBAD=ZBDA=2ZC,然后用NC表示出aABC的内角和，即可求得5NC=180o,那么NC=36°.故填36°或45°.总结：此题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；此题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系.5 .线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.【例5】如图，等腰三角形ABC中,AB=AC,ZA=30o,AB的垂直平分线交AC于D,那么NCBD的度数为；【解析】根据三角形的内角和定理，求出NC,再根据线段垂直平分线的性质，推得NA=NABD=30°,由外角的性质求出NBDC的度数，从而得出NCBD=45°.解：VAB=AC,ZA=30o,二NABC=NACB=75°,TAB的垂直平分线交AC于D.AAD=BD,ZA=ZABD=30o,ZBDC=60o,ZCBD=180o-75°-60°=45°.故填45.总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得NBDC=60°是解答此题的关键.此题的解法很多，用底角75°-30°更简单些.练6.在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,那么/B等于.【解析】此题根据aABC中NA为锐角与钝角分为两种情况.当NA为锐角时，NB等于70°,当NA为钝角时./B等于20°.解：根据AABC中NA为锐角与钝角，分为两种情况：当NA为锐角时，TAB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50。，二NAEO°,.NbJ800-NAJ80。-40。二70。;22当NA为钝角时，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,Z1=40°,ZBAC=UO0,.-180°-140°9no2故答案为：70°或20°6 .等腰三角形的性质；坐标与图形性质._【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)和点B(0,3),点C在坐标平面内.假设以A,B,C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°,那么满足条件的点C有一个.【解析】此题应该分几种情况讨论，的边AB可能是底边，也可能是腰.当AB是底边时，那么点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点，两种情况讨论.解：(1)当AB是底边时，那么点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；(2)当AB是腰时且点A是顶角顶点时，点C一定在经过点B且与AB成30。角的直线上，这样的直线有两条，那么以点A为圆心AB为半径作弧，与两条直线有两个交点，那么可作出两个满足条件的三角形.同理当AB是腰且点B是顶角顶点时也有2个满足条件的三角形.因此满足条件的点共有6个.练7.在平面直角坐标系Xoy中，点P(2.2),点Q在y轴上，APQO是等腰三角形，那么满足条件的点Q共有()A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案.解：如上图：满足条件的点Q共有(0,2)(0,22)(0,-22)(0,4).应选B.总结：此题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.1 .如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,ZA=44o,CD_LAB于D,那么NDCB等于()A.44oB.68oC.46oD.22°2 .如下图的正方形网格中，网格线的交点称为格点.A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得aABC为等腰三角形，那么点C的个数是()A.6B.7C.8D.93 .如图，在4ABC中,AB=AC,ZA=360,BD,CE分别为NABC,NACB的角平分线，那么图中等腰三角形共有()A.5个B.6个C.7个D.8个4 .如图，坐标平面内一点A2,-1),0为原点，P是X轴上的一个动点，如果以点P、0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A.2B.3C.4D.55 .如图，在aABC中，AD平分NBAC,AB=AC-BD,那么NB:NC的值是.6 .ZABC中，假设NA=80°,ZB=50o,AC=5,那么AB=.7 .等腰AABC的两边长为2和5,那么第三边长为.1.如下图，矩形ABCD中，AB=4,BC=43,点E是折线段A-D-C上的一个动点(点E与点A不重合)，点P是点A关于BE的对称点.使aPCB为等腰三角形的点E的位置共有()A. 2个B. 3个2.如图，在 Rt ZXABC 中,ZACB=90符合条件的点P共有()A. 4个B. 5个3.如下图,在AABC中,NA=36°A.0个B. 1个C. 4个D. 5个。,AB=2BC ,在直线BC或AC上取一点C. 6个D. 7个,NC=72° , ZABC的平分线交AC于DC. 2个D. 3个P ,使得APAB为等腰三角形，那么,那么图中共有等腰三角形()4 .等腰三角形的两边长分别为4和9,那么这个三角形的周长为一.5 .从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等腰三角形纸片的底角等于度.6 .ZABC中,AB=AC,NA=36°,那么NB的度数是度.7 .如图，ZiABC的周长为32,且AB=AC,AD_LBC于D,aACD的周长为24,那么AD的长为.8 .等腰AABC的周长为10,假设设腰长为X,那么X的取值范围是.9 .如图，矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上，且AE=EC,假设将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，那么AC的长是.10 .夷陵长江大桥为三塔斜拉桥.如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC,塔柱底端D与点B间的距离是228米，那么BC的长是米.参考答案：当堂检测1.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质.分析：本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出NB的度数，进而在RtADCB中，求得NDCB的度数.解答：解：VZ=44o,AB=AC,NB=/068°VNBDe=90°ZDCB=22o.故此题选D.点评：此题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理.2.考点：等腰三角形的判定.专题：分类讨论.分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰4ABC底边；AB为等腰4ABC其中的一条腰.解答：解：如上图：分情况讨论.AB为等腰4ABC底边时，符合条件的C点有4个；AB为等腰4ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.点评：此题考查了等腰三角形的判定；解答此题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.3.考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质.分析：由条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得.解答：解：设CE与BD的交点为点0,VAB=AC,NA=36°,ZABC=ZACb,再根据三角形内角和定理知，NABC=/ACB=更2_36W,2IBD是NABC的角的平分线,JNABD=NDBCjNABC=36。=ZA,2AAD=BD,同理，NA=NACE=NBCE=36°,AE=CE,VZDBC=360,NACB=72°,根据三角形内角和定理知，NBDC=180°-72°-36°=72°,ABD=BC,同理CE=BC,VZBOC=I80o-360-36o=108o,ZODC=ZDOC=ZOEB=ZE0B=72o,ABC,ADB,AEC,BEO,COD,BCE,BDC,ZsBOC都是等腰三角形，共8个.应选D.点评：此题考查了等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和定理求解;得到各角的度数是正确解答此题的关键.4.考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质.专题：动点型.分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：OA为等腰三角形底边；OA为等腰三角形一条腰.解答：解：如上图：OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个.综上所述，符合条件的点P的个数共4个.点评：此题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.5.考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：在AC上截取AE=AB,构造两个全等的三角形和等腰三角形，利用三角形内角和外角的关系解答.解答：解：在AC上截取AE=AB=X,于是AB=AE又TAD平分NBAC：.ZBAD=ZEAdXVAD=AD：.ABDAEDZ1=ZB,DE=BD=CE=X，在等腰三角形DEC中,ZB=Z1=2ZCZB:ZC=2:1或2.点评：此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质；解答此题的关键是在AC上截取AE=AB,利用了全等的三角形和等腰三角形的性质和三角形内角和外角的关系.6.考点：等腰三角形的判定.专题：压轴题.分析：由条件先求出NC的度数是50°,根据等角对等边的性质求解即可.解答：解：VZA=80o,NB=50°,ZC=180o-80°-50°=50°,AB=AC=5.故填5.点评：此题考查了等腰三角形的性质；求出NC的度数是解题的关键.7.考点：等腰三角形的性质.分析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解.解答：解：等腰AABC的两边长为2和5,根据等腰三角形两腰相等的性质可知第三边可能是2或5V 2+2<5：.2,2.5不能构成三角形，舍去V 5+2>5A2,5,5能构成三角形故第三边长为5.故填5.点评：此题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系,常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形.家庭作业1.考点：等腰三角形的判定.专题：压轴题；分类讨论.分析：根据题意，结合图形，分情况讨论：BP为底边；BP为等腰三角形一腰长.解答：解：BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.应选：C.点评：此题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究.2.考点：等腰三角形的判定.分析：根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称：在同一三角形中，等边对等角)"分三种情况解答即可.解答：解：如图，AB的垂直平分线交AC一点P1(PA=PB),交直线BC于点P2;以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3,P一交BC有一点P2,(此时AB=AP)；以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P52,交AC有一点Ps(此时BP=BA).2+(3-1)+(3-1)=6,符合条件的点有六个.点评：此题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏.3.考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质.专题：压轴题.分析：由条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出NABC的度数，由NABC的平分线交AC于D,得到其它角的度数，然后进行判断.解答：解：T在aABC中，NA=36°,ZC=72oZABC=180o-NA-NC=72°=ZC：.AB=C,ABC是等腰三角形BD平分NABC交AC于D,：NABD=NDBC=36°,：ZA=NABD=36°,/.BD是等腰三角形ZBDC=Z+ZBD=36o+36o=72o=ZCABDC是等腰三角形共有3个等腰三角形应选D.点评：此题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答此题的关键.考点：等腰三角形的性质.分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.解答：解：(1)假设4为腰长，9为底边长，由于4+4V9,那么三角形不存在；(2)假设9为腰长，那么符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为9+9+4=22.故填22.点评：此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.5.考点：等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到NC与NA之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解.解答：解：(1)如图(1),VAB=AC,AD=BD=BC,ZaBC=ZC=ZBDC,ZA=ZABD,ZBDC=2ZA,ZABC=2ZA,VZA+ZABC+ZC=180o,5ZA=180o,ZA=360.底角NC=2NA=72°；(2)如图(2)AD=BD,BC=CD,设NA=B,那么NABD=B,Zl=2=Z2,.NC=3B,7=180o,=180;7即NCJX(180-ISOL)=-,277原等腰三角形纸片的底角为72。或“匕.点评：此题考查等腰三角形的性质，判断出底角与顶角的关系是解题的关.6.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理.分析：由条件根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求得NB的度数.解答：解：VAB=AC,ZA=36o,AZB=ZC=(180o-36o)÷2=72°.故填72.点评：此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；要掌握等腰三角形的顶角和底角之间的关系：顶角=180。-底角的2倍.7.考点：等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：由条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=DC,再根据三角形的周长定义求解.解答：解：AB=AC,ADlBC,BD=DC.AB+C+BC=32,即AB+BD+CD+AO32,AC+DC=16/.AC+DC+AD=24AD=8.故填8.点评：此题考查等腰三角形的性质；由条件结合图形发现并利用AC+CD是AABC的周长的一半是正确解答此题的关键.8.考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系.专题：压轴题.分析：此题可根据条件得出底边的长为：10-2x,再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围.解答：解：依题意得：10-2X-XVXVIO-2x+x,解得至VXV5.2故填至VXV5.2点评：此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答此题的关键.考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：根据折叠的性质及等边对等角的性质，可得到NBAE=NEAC=NECA,根据三角形内角和定理即可求得/ECA的度数，再根据直角三角形的性质不难求得AC的长.解答：解：AE=EC,ZEAC=ZEC,Y将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，ZBAE=ZEAc,Zbae=ZEAC=ZECA,/ZB+ZECA+ZCB=180o，NECA=30°VAB=2AC=2B=4.故答案为：4.点评：此题考查等腰三角形的性质及直角三角形性质和翻折变换等知识；对于翻折变换问题，找准对应的相等关系是正确解答的关键.10.考点：等腰三角形的性质.专题：应用题.分析：根据题意，知此三角形是等腰三角形，又等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，从而可求得BC的长.解答：解：VAB=AC,BD=228米,ADlBC,ABD=CD,BC=2BD=456米.故填456.点评：此题考查了等腰三角形的性质；能够运用数学知识解决实际问题，在实际问题中找着条件是正确解答题目的关键.