北师大新版九年级上学期《第2章+一元二次方程》2019年单元测试卷.docx

北师大新版九年级上学期第2章一元二次方程2019年单元测试卷一.选择题(共6小题)1 .下列方程是关于4的一元二次方程的是()A.-+-=2B.3(x+1)2=2(x+1)XXC.ax2+bx+c=0D.x(x+2)=x2-12 .若为和工2为一元二次方程V+2x-l=0的两个根.则X；W+玉考值为（）D. 3D. x1 = 2 » x2 = 0A.4忘B.2C.43 .一元二次方程f-4=0的解是()A.x1=2>x2=-2B.X=-2C.x=24 .已知（/6）2一32一后）一2=o,则/一的值是（）A. 一3B. 4C. -3或45 .如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）.如果设绿化带的宽度为X米，由题意可列方程为（）B. (30-2x)(20-x) = 480C. (30-2x)(20-x) = 600D. (30-x)(20-2x) = 4806 .如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2?，另一边减少了3m,剩余一块面积为20/的矩形空地.设原正方形空地的边长为切人则下面所列方程正确的是（）C.x1-3x-2x=20二,填空题(共7小题)B. (x + 3)(x + 2) = 20D. X2-3×2 = 207 .若方程(m-I)X*+/nr-3=0是关于X的一元二次方程，则/的取值范围是.8 .一元二次方程2x=-3化成一般形式为.9 .已知X=-I是方程/+0r+3-=0的一个根，则的值是.10 .已知关于X的一元二次方程Y+瓜+1=0有两个相等的实数根，则的值为11 .设。、是一元二次方程/+2x-7=0的两个根，则/+3+0=.12 .设,夕是方程fx2019=0的两个实数根，则2021a-夕的值为；13 .若代数式f-8x+可化为(X-6)2+1,则+b=三.解答题(共5小题)14 .(1)计算：y/Sx+：(2)解方程：x2+6x-5=015 .解一元二次方程：3-l=2x+5.16 .解方程：(1) 12(x-2)2-9=0(2) 3(x-2)2=x(-2)17 .庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种.某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材.18 .镇康县木场乡小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入第三年收获期.今年收获核桃2880千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克.求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？北师大新版九年级上学期第2章一元二次方程2019年单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题（共6小题）)B. 3(x + 1)2=2(x+1)D. x(x + 2) = X2 -11 .下列方程是关于X的一元二次方程的是（a11CA.4=2XXC.ax2+bx+c=0【考点】41：一元二次方程的定义【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项，选出是关于X的一元二次方程的选项即可.【解答】解：A.属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，A项错误，B.原方程整理得：3+4x+l=0,符合一元二次方程的定义，5项正确，C.若该方程不符合一元二次方程的定义，C项错误，D.原方程整理得：2x÷l=0,属于一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，。项错误，故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.2 .若为和Z为一元二次方程/+2x-l=0的两个根.则片2+x考值为（）A.4点B.2C.4D.3【考点】AB：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据片w+%E=4x2+2）,代入求值.【解答】解：x1,七是一元二次方程/+2x-l=0的两个根，:.x+x2=-2,xxx2=-1,故选：B.【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.3 .一元二次方程f-4=0的解是()A.xl=2>x2=-2B.X=-2C.x=2D.Xl=2,X2=O【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法【分析】首先移项，再两边直接开平方即可.【解答】解：移项得：=4,两边直接开平方得：X=±2,则M=2,X2=-2,故选：A.【点评】此题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成V=(.0)的形式，利用数的开方直接求解.4 .已知(/一尸尸一3?)-12=0,则/一从的值是()A.-3B.4C.-3或4D.3或T【考点】A9：换元法解一元二次方程【专题】43：换元法【分析】设则原方程转化为尸-"12=0,利用因式分解法解该方程即可.【解答】解：iHt=a2-b2f则由原方程，得/_-12=0,整理，得(f-4)(f+3)=0,解得f=4或r=-3.故选：C.【点评】考查了换元法解一元二次方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.5 .如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形(长30米，宽20米)场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所(羽毛球，乒乓球).如果设绿化带的宽度为X米，由题意可列方程为()A.(30-2x)(20-2x)=400B.(30-2x)(20-x)=480C.(30-2x)(20-x)=600D.(30-x)(20-2x)=480【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程【专题】523：一元二次方程及应用【分析】如果设休闲娱乐中心的宽度为X米，绿化带的长和宽就应该分别为(20-冗)和(30-2幻，根据题意可列出方程.【解答】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为(20-X)和(30-2x),所以方程为(20r)(30-2x)=480.故选：B.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键.6 .如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2?，另一边减少了3m,剩余一块面积为20/的矩形空地.设原正方形空地的边长为Mz,则下面所列方程正确的是()C.x2-3x-2x=20D.-3×2=20【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程【专题】523：一元二次方程及应用【分析】可设原正方形的边长为mz,则剩余的空地长为3-2)加，宽为(x-3)m根据长方形的面积公式方程可列出.【解答】解：设原正方形的边长为工利，依题意有(x-3)(x-2)=20,故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程的应用.学生应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键.二 .填空题(共7小题)7 .若方程O-I)X2+阿"3=0是关于X的一元二次方程，则加的取值范围是_m1_.【考点】41：一元二次方程的定义【专题】34：方程思想【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：机7工0，解得：n1,故答案是：相1.【点评】此题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是+瓜+c=0(J60).特别要注意”0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.8 .一元二次方程2x=x2-3化成一般形式为_x2-2x-3=0_.【考点】A2：一元二次方程的一般形式【专题】523：一元二次方程及应用【分析】移项合并即可得到结果.【解答】解：方程去括号得：x2-2x-3=0.故答案为：X22x3=0.【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=O（a,b,C是常数且。工0）特别要注意。0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中r2叫二次项，bx叫一次项，C是常数项.其中,，C分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.9 .已知X=-I是方程2+ar+3-=0的一个根，则a的值是2.【考点】A3：一元二次方程的解【专题】523：一元二次方程及应用【分析】把x=-l代入方程f+r+3-=0得到关于。的一元一次方程，解之即可.【解答】解：把x=-l代入方程*2+双+3-。=0得：1÷3-=0解得：。=2,故答案为：2.【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键.10 .己知关于X的一元二次方程Y+桁+1=0有两个相等的实数根，则力的值为_±2_.【考点】A4：根的判别式【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0,即可求出力的值.【解答】解：根据题意知，2=Z-4=0,解得：b=±2,故答案为：±2.【点评】本题考查了一元二次方程2+法+c=0（4工0）的根的判别式4=-4c:当4>0,方程有两个不相等的实数根；当=（）,方程有两个相等的实数根；当a<o,方程没有实数根.11 .设。、力是一元二次方程Y+2x-7=0的两个根，则/+3+Z?=5.【考点】AB：根与系数的关系【专题】11：计算题；35：转化思想【分析】根据根与系数的关系可知+>=-2,又知。是方程的根，所以可得%-7=0,最后可将/+3+b变成。2+2。+。+。，最终可得答案.【解答】解：设。、。是一元二次方程/+2x-7=0的两个根，:.a+b=-2f。是原方程的根，.+2-7=0,Wa2+2a=7,.a2+3a+b=a2+2a+a+b=7-2=5t故答案为：5.【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把/+3。+力转化为/+2+0的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答.12 .设,夕是方程Y-X-2019=0的两个实数根，则6-2021a-夕的值为【考点】AB：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合'',夕是方程2-2019=0的两个实数根”，得到a+夕的值，代入a'-2021a-夕，再把代入方程Y一“一2019=0,经过整理变化，即可得到答案.【解答】解：根据题意得：a+=,-2021a-/?=acr-2020)-a+)=(a2-2020)-1,a2-2019=0,.2-2020=a-l,把-2020=a-l代入原式得：原式二a(-l)-l=a1-a-=2019-1=2018.【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.13 .若代数式V-8+4可化为(-b)2+1,则+b=21.【考点】AE：配方法的应用【专题】11：计算题【分析】利用配方法把原式变形，根据题意求出a、ht计算即可.【解答】解：X x2+6x-5 = 0 ,X2 + 6x = 5 ,X2+6x+ 9 = 5 + 9,（x +3）2 =14,x + 3 = ±>h，X =-3 + J4 » x2=-3-iJiZ.【点评】本题考查了解一元二次方程和二次根式的加减，能化成最简二次根式是解（1）的 关键，能正确配方是解（2）的关键.-Sx+a=x2-8x+16-16+=（X-4）2-16+4,由题意得，b=4f-16+A=1,解得，4=17,。=4,则q+>=2l,故答案为：21.【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键.三 .解答题（共5小题）14 .（1）计算：府-2+2x向；（2）解方程：x2+6x-5=0【考点】A6：解一元二次方程-配方法；78：二次根式的加减法【专题】514：二次根式；523：一元二次方程及应用【分析】（1）先化成最简根式，再合并即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可.【解答】解：（1）原式=2岳一反+2岳=|衣；15 .解一元二次方程：3-l=2x+5.【考点】A7：解一元二次方程-公式法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程.【解答】解:3-l=2x+5,3x 3(x-2)2=x(x-2) (x - 2)(3x - 6 - x) = 0-2x-6=0=3,b=-2fc=-6,=(2)24×3×(-6)=76,-2±76_1±192x33l÷l?_1-19，"2=.【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.16 .解方程：(1) 12(x-2)2-9=0(2) 3(x-2)2=x(x-2)【考点】45：解一元二次方程-直接开平方法；A8：解一元二次方程-因式分解法【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用【分析】(1)利用直接开平方法解方程；(2)先移项，然后通过提取公因式(4-2)进行因式分解，再来求解.【解答】解：(1)12(x-2)2-9=012(x-2)2=9/Z9。-2)=上x-2=±2xx=2+同,石=2-正；1222(x-2)(2x-6)=OX1=2,%2=3【点评】考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，解方程方法的选择，需要根据方程的特点进行选择.17.庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种.某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材.【考点】AD：一元二次方程的应用【专题】523：一元二次方程及应用【分析】(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x根据题意2017年种植投资为20(1+%)万元，2018年种植投资为20(l+x)2万元.根据题意得方程求解；(2)用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额.【解答】解：(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为X,则2017年种植投资为20(1+X)万元，2018年种植投资为20(1+幻2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2=95,解得：=-3.5(舍去)或X=O.5=50%.该种植户每年投资的增长率为50%；(2)2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3=67.5(万元).【点评】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为(l+x)",其中为共增长了几年，。为第一年的原始数据，K是增长率.18.镇康县木场乡小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入第三年收获期.今年收获核桃2880千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克.求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？【考点】AD：一元二次方程的应用【专题】12：应用题；521：一次方程(组)及应用【分析】设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为X,根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.【解答】解：设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为X,根据题意得，2000(1+x)2=2880,解这个方程得(I+%):=1.44,开方得：l+x=±L2,解得：xl=0.2>X2=2.2(舍去)，Ax=20%,2880(1+20%)=3456,答：明年核桃的产量为3456千克.【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键.考点卡片1. 二次根式的加减法(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.(2)步骤：如果有括号，根据去括号法则去掉括号.把不是最简二次根式的二次根式进行化简.合并被开方数相同的二次根式.(3)合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.2. 一元二次方程的定义(1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.(2)概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”:“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.3. 一元二次方程的一般形式(1) 一般地，任何一个关于X的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式or2+法+c=o(W0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中0?叫做二次项，。叫做二次项系数；加叫做一次项；C叫做常数项.一次项系数b和常数项C可取任意实数，二次项系数。是不等于O的实数，这是因为当。=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.4. 一元二次方程的解(1)一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这x1,X2是一元二次方程技+bx+c=O(0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.22ax+bx+c=O(0),Or2+bx2+c=O(0).5,解一元二次方程直接开平方法形如/=P或(依+?)2=p(p20)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成J=的形式，那么可得X=±如果方程能化成(比叶?)2=p(p20)的形式，那么以+?=±.注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.方法是根据平方根的意义开平方.6 .解一元二次方程配方法(1)将一元二次方程配成(x÷m)2=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为o+bx+c=。(a0)的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.7 .解一元二次方程.公式法(I)把X=-b±b2-40c2(2-4ac>0)叫做一元二次方程Or2+版+。=()(a0)的求根公式.(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定。，b，C的值（注意符号）；求出7-4oc的值（若B-4acV0,方程无实数根）；在力2-40c2O的前提下，把八b、C的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：0;/-4c20.8 .解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.9 .换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.10 .根的判别式利用一元二次方程根的判别式（4=-4c）判断方程的根的情况.一元二次方程aC/zr+c=。（0）的根与=7-4c有如下关系：当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=（）时，方程有两个相等的两个实数根；当aVO时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.11 .根与系数的关系(I)若二次项系数为1,常用以下关系：冏，X2是方程/+px+4=0的两根时，X+X2=-P,XU2=g,反过来可得p=-(x+x2)>q=XlX2,前者是己知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：x1,M是一元二次方程办2+加+c=0Q0)的两根时，X+X2>XIX2，反过来也成立，即(XI+必)，XlX2(3)常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数.不解方程求关于根的式子的值，如求，不/+超?等等.判断两根的符号.求作新方程.由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑“0,()这两个前提条件.12 .由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.13 .一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答.2、列一元二次方程解应用题中常见问题：(1)数字问题：个位数为十位数是江则这个两位数表示为IO(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量XlOO%.如：若原数是。，每次增长的百分率为X,则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为(l+x)2,即原数X(1+增长百分率)2=后来数.(3)形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.(4)运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1 .审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.2 .设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.3 .列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.4 .解：准确求出方程的解.5 .验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.6 .答：写出答案.14.配方法的应用1、用配方法解一元二次方程.配方法的理论依据是公式J±2"+/=(±b)2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方.3、配方法的综合应用.