如何透彻理解DFT（个人总结）.docx

如何透彻理解DFT1DFT的提出过程奈奎斯特采样定理告诉人们，只要采样频率满足一定的条件，就可以将连续信号转变为离散信号，同时保证这种信号转变不会导致信息量的丢失。这一发现在一定程度上使人们认识到连续时间信号和离散时间信号之间存在非常紧密的联系。随着计算机等工具的出现，数字信号处理显示出巨大的优势。然而数字信号处理要求输入输出信号都必须是离散的信号。人们希望能把模拟信号转化为数字信号，用先进的工具对数字信号进行处理。DFT就是出现在这个背景下。大家都知道，连续时间傅里叶变换是有效的连续时间信号的分析工具。自然而然，有人考虑离散信号有它对应的频域分析工具吗？DTFT能充当这个角色吗？从理论上说，DTFT反映了离散时间信号的频域成分，可以作为一种分析工具，但是从工程的角度看，它有一个重大缺陷：它的频域是一个连续函数，也就是说，它的频域函数必须用无限多数字信号累加才能表示。仔细考虑一下可以发现，有限数目数字信号应该可以用同样数目的数字信号就能够完全表达。也就是说，DTFT的频域函数有非常大的冗余。有人想了个好办法，他对DTFT的频域函数进行抽样，抽样后频域就变成一个周期数字序列了，而时域对应的序列变成原序列叶川的周期延拓。这样一来就变成一个时域周期数字信号对应一个频域周期数字信号。而周期信号可以用其主值区间完全表达，最终，出现了我们想要的，一个有限数字序列，其频域同样对应了一个有限数字序列。终于，计算机等数字处理工具可以引入到信号分析中来了。2从采样定理的角度理解DFT2.1CFT到DTFT的转变从采样定理得角度可以比较透彻地理解DFT,首先写出连续傅里叶变换的+形式。F()=Ff(t)=-CO采样后的离散时间信号/"(，)=，)3(LkT),它的傅里叶变换为Jt="CO÷°0008尸(/)=尸/(£)=/«卜23(，一女丁%一池力=2/(7上一加"，-coAr=-OCk=-若令T=I,则：尸(G)=f"kk=-<>可以发现，采样后信号的傅里叶变换F(G)正是离散信号&)的DTFT。2.2DTFT到DFT的转变从应用的角度看，DTFT的最大问题是它的频域函数是连续的，按照上面所说的，我们对频域进行抽样处理(见教材P281)o令/同，"O,N-1对应的NT频域函数为户(O=275)"向。采样后的函数ZJ=OF()=F().(-0),注意户(C)为离散时间信号，它的每个离=-散点上的信号值可以用下式表示：/V-1NT户(%)=卢(Z0)=S5)e3访(Qn=0/1=0可以发现，这个式子在某种意义上说，己经可以看作是DFT的正变换公式了，不同点有两个，一个是系数，这一点不必在意，因为系数不影响频率分布；另一个是卢(左)是无限的周期信号，这一点我们可以通过取出其一个周期内的值来解决。则户(Q)对应的可以写成下面的形式：()=/()*nk=rfnkK"oK=FI"()，"0A=-XI5,7从上面的式子可以看出，频域的抽样导致了时域的周期延拓，延拓周期为Io显然延拓周期竟必须大于等于原信号/，的长度N才能保证不出现混叠现象。这也就是离散频域采样必须满足的条件称N。到这里我们可以发现，一个时域的周期数字信号对应了一个频域的周期数字信号，分别取出它们的主值区间得到一个新的变换对，将这个变换对写成通用的DFT形式：N-1Xk=Xxne-jk,N)xn=-Xkejknm=oN3时域内插零对DFT的影响分析分析了DFT的推导过程，我们已经对DFT有了相当深的理解了。下面通过一个例题来将自己所理解的DFT应用到解题中来吧。例题：某长度为N的离散信号j<ON-1的离散傅里叶变换为X囚，若对工同进行M倍内插零得到新的信号X(M)同，试问马M的离散傅里叶变换是什么？认真考虑下，然后再看例题分析：例题分析：(注意：本题侧重理解，例题分析并不是规范的解题形式)我们知道XH的长度应该是N,和HT的长度是相等的。那么Xw)对应得离散傅里叶变换X(Mk的长度也等于X(M)n的长度，等于N*例。根据DTFT的尺度变换性质(教材P286),x(A/)n<Xw()=X(M),也就是说，内插了M倍，DTFTWM(Q)就变窄了M倍。令“平")X(C)=卜(MQ)qw(0aSothers0,Qsothersm-(r)则XMg)=-/-=oivl7因为X(M)因是对X(M)(Q)以Qo=W为间隔采样，所以/W-IXM(ZQ°)=X(IN)C°)/=0W-IX(W冈=XZ-W,Z0,MN-1/=O另解：当然从解题的角度，我们可以充分利用DFT变换的公式。解题如下:磔M-2*_iWiMx(M)k=x(M)lne=x(M)le=0IM=O之-ikl=%M)eN=X冈,&0,NT/=O7与(k+pN)l e NNT_/丝WNTX(M)Z+pN=£x(MMeN=0Z=O二X(QM0,N7,p=0,l,MTM-同样可得X(冈=X%-N,go,MN11I=O