刘蒋巍：复合函数的单调性、奇偶性和周期性.docx

刘蒋巍：复合函数的单调性、奇偶性和周期性1复合函数的单调性定理一：若函数7=/(”)与=(x)在其定义域内同是单调递增或单调递减，则复合函数，=/(r)在定义域内是单调递增的:若)=/()"=(x)在定义域内是一个单调递憎,一个单调递减则复合函数N=(x)在定义域内是单调递减的。证明：设卬X2是v=(x)定义域内的任意两点，且勺<M。当y=/(“)与=，)都是单调递增或单调递减时，有：的=(X)<112=(X2)，/(M1)</(«2)或w=<X)>"2=(»2)/(«1)/("2)，即总有/(Xl)</(4)。f(x)在定义域内是单调递增的。同理可证，当N=/()与“Q(X)中一个单调递增，一个是单调递减时，v=(x)J在定义域内是单调递减的C例：判断y=g2(x'+2x3)的增减性y=Logz与t=x'+2x-3复合而成的,而y=Log?”在区间(0，+8)内单调递增.w=2+2x-3=(x+l)?4在区间(一8.-1)内单调递减,在区间(一1,+8)内单调递增，由于不等式f+2-3>0的解集为(-8.-3)U(I,+8),而(8.一3)(-8.-1).(I,+o°)(-L+8),故在(-8.-3)内y=Cog2(x?+2x-3)单调递减，在(1,+8)内，y=Log2(x:+2x3)单调递增e2复合函数的奇偶性定理二：只有当函数>=/()与W=(x)都是奇函数时复合函数y=/(x)J才是奇函数，否则N=/l<p(x)J都是偶函数.证明：令/(x)=(x)J当y=/(“)与«=()都是奇函数时，V/(-X)71(-X)=-(x)三(x)三三一/(X),y-fI()为奇函数C当，=/()为偶函数，H=。(公为奇函数时，/(-X)fMr)三-(x)J*/(x)s=(X)，当>=/()为奇函数，“(x)为偶函数时,/(-x)三(-X)三(x)三(X)>=/()与“(x)中一个为奇函数，一个为偶函数时，y-f<p()都是偶函数显然，当y=(”)与M=(x)都是偶函数时，y=/(x)J也是偶函数，因此定理成立C这个定理告诉我们：只要知道=/()和M=(x)的奇偶性，y=/MX)的奇偶性就马上知道了，而不需以一X代替X代入/(x)中去找/(一X)与/(x)的符号关系了.