平面直角坐标系中等腰直角三角形存在-含答案.docx

平面直角坐标系中等腰直角三角形存在学校:姓名：班级：考号：一、填空题1.（2022秋湖南长沙八年级校考期中）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（&0）,点8的坐标为（0,4）,以8为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰RtAABC,则点C的坐标为.2. （2022秋安徽阜阳八年级阜阳实验中学校考期中）如图，点A的坐标为（4,0）,点3的坐标为（0,T）,分别以。8,AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt尸，等腰RtABE,连接E尸交），轴于尸点，点尸的坐标是.二、解答题3. （2022秋江苏盐城八年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决：如图I,在等腰直角tiABC中，NAC5=90。，Ae=BC,过点C作直线DE,AOJ_OE于。，BEA.DE于E,求证：AADC%ACEB；(2)问题探究：如图2,在等腰直角IABC中，NAeB=90。，AC=BC,过点C作直线CE,AC)J.CE于。，BE工CE于E,AD=3.2cm,DE=2.3cm,求BE的长：拓展延伸：在平面直角坐标系中，A(-l,0C(l,3),JlBC为等腰直角三角形，NAC490。，AC=BC,求8点坐标.4. (2023春重庆渝中七年级重庆巴蜀中学校考期末)在平面直角坐标系中，已知A(-2,0),8(0,4),C(l,2)(1)如图1,将线段AB平移至EF,点A与点E对应，点8与点尸对应，若尸点的坐标为(5,1),求AF的面积;(2)如图2,以A4为腰做等腰直角aA65',点B'在第二象限，且NBA9=90。，如果在平面直角坐标系内有一点P(,3),使得一A夕尸的面积是面积的2倍，求。的值.5. (2022秋湖北武汉八年级统考期末)在平面直角坐标系中，A(,0),8(0,b),a,。满足a+l+5=0,点C与点A关于N轴对称.图1请直接写出3, C两点的坐标;如图1,分别以/W,BC为直角边向右侧作等腰RjBAO和等腰RtBC£,连接OE交X轴于点M,连接求证：BM±DE（3）如图2,点尸为），轴上一动点，点3（7,-3帆+3）在直线8。上，以BC为直角边向右侧作等腰RjBCE,若连接E,F,G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的机的值为.6. （2022秋湖南长沙八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A（0,）在y轴正半轴上，直线/平分坐标系的第二、四象限，点B是宜线/上一动点.（1）如图1,点A关于X轴的对称点为P点，则点P的坐标为,当网最短时，点8的坐标为：（结果均用表示）（2）如图2,当AB_L），轴，且垂足为点A时，以。4为边作正方形A8QO,M在X轴的正半轴，且OM<04,以OW为边在X轴上方作正方形OMM7,连接AN,若QM=6,两个正方形面积之和为20,求A"N的面积：（3）如图3,当ABJ.y轴，且垂足为点4时，点尸在线段03上运动（不与端点重合），点C是线段外的中点，连接AEAC,以A为直角顶点，为直角边在第二象限内作等腰RtZE4P,连接0E,交AC于点G,探究线段。石与AC的关系，并说明理由.7. （2022秋黑龙江哈尔滨八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在坐标轴上，AO=BO=CO,BC=S.点A坐标为（,）.过点C作X轴的垂线/,动点P从点C出发，沿着直线N向上运动，若点P的速度是1个单位/秒，时间是连接PA,P8,请用含，的式子表示S%8（3）在（2）的条件下，连接AP,以AP为斜边，在AP下方作等腰直角从2£>,连接BO并延长至点。，连接尸。，QCf当点。为BQ中点时，请判断APCQ的形状，并说明理由.8. （2023秋福建福州八年级校考开学考试）等腰直角"WC中，NBAC=90。,A5=AC,NABC=NC,点3、A分别是轴，V轴上两个动点，直角边AC交X轴于点。，斜边BC交了轴于点E.如图，已知C点的横坐标为-2,直接写出点A点的坐标：（2）如图，当点。恰为AC中点时，连接。石，求证：ZADB=NCDE；（3）如图，若点A为X轴上的固定点，且A（-6,0）,当点8在丁轴正半轴运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角；Bo。和等腰直角一ABC,连接Co交5轴于点尸，问当点8在y轴的正半轴上运动时，AP的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出BP的长度.9. （2021秋重庆渝中.八年级统考期末）如图，等腰直角三角形ABC中，AB=ACfBAC=9QP.（1）如图1，等腰直角三角形ABC的顶点A在X轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=2,08=4,求点C的坐标；（2）如图2,等腰直角三角形ABC顶点A在y轴的负半轴上，点C在X轴的负半轴上，过点B作AOj轴于点D,求证：OA-OC=BD,（3）如图3,点A的坐标为（-3,-3）,点3（0,间在y轴上运动，点。（几0）在X轴上运动，在点B、C的运动过程中，能否使得JlBC是一个以点A为直角顶点的等腰直角三角形，如果存在，请你直接写出m和n的数量关系；如果不存在，请说明理由.10.（2022秋重庆璧山八年级校考期末）如图1,0A=2,OB=A,以4点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC.（1）求C点的坐标；（2）如图2,P为），轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰RtAPQ,过。作OELr轴于E点，求OP-OE的值；（3）如图3,已知点尸坐标为（-4,-4）,点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RSFGH,始终保持NGPH=90。，产G与y轴负轴交于点G（0,加），F”与大轴正半轴交于点”（，0）,当G点在），轴的负半轴上沿负方向运动时，求?+的值.a、C分别在X轴、y轴的正半轴上.(1)如图1,求证：ZBCO=ZCAO,(2)如图2,若。4=5,OC=2,求8点的坐标:(3)如图3,点C(0,3),QfA两点均在X轴上，且SM3=18.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰RlCAN,等腰RtQCM,AC=CN,CM=CQ,连接MN交V轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值：若变化，求。尸的取值范围.12.(2020秋.广东广州八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习)已知平面直角坐标系中，A(4,4).如图，点8在X轴上，若，AOB为等腰直角三角形，ZA=90。，则点8坐标为如图，在(1)的条件下，若C为X轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角AACD,NAS=90。，连OD,求NA8的度数.(3)如图，过点4作y轴的垂线交y轴于E,产为X轴负半轴上一点，G在9'的延长线上，以EG为直角边作等腰直角一七G”，/EGH=90。,过A作X轴的垂线交EH于点M,连接下何，猜想线段AM、FM、OF的数量关系，并证明.13.(2023春江苏南通七年级校考阶段练习)如图，等腰直角；ABC中，ZABC=90%(1)如图1,若点。的横坐标为5,则点8的坐标是；(2)如图2,若X轴恰好平分NBAC,3C交X轴于点M,过C点作8_Lx轴于。点，求CD_-TT的值；AM(3)如图3,若点A的坐标为(FO),点8在)，轴的正半轴上运动时，分别以OB,A8为直角边，以5为直角顶点，在第一、第二象限作等腰直角.O/和等腰直角JlBE,连接E尸交y轴于点P,当点B在)，轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生变化？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围.14. (2022秋辽宁鞍山八年级统考期中)问题情境如图1,AB=AC,NBAC=90。，直线AE是经过点A的直线，BZ)_LAf于。，CE_LAE于&则.ADB.CE4.图I图2图3图4(1)类比训统如图2,RtZABC中，AB=AC,NBAC=90。，直线AE是经过点A的任一直线，8。_LA£于。，CEJ_AE于E证明：BD=DE+CE.(2)问题创设如图3,在-ABC中，AB=AC,若顶点A在直线机上，点O,E也在直线加上，如果NfiAC=NAOB=NAEC,那么(1)中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，BD,DE,CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论.(3)情境更换如图4,把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在)，轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，若另一顶点K(,-%+10)落在第四象限，求的值；直接写出顶点K的横、纵坐标的关系.15. (2023秋全国八年级专题练习)等腰Rt2AC8,NAe8=90,AC=BC,点A,C分别在轴，y轴的正半轴上.(1)如图1,求证：ZBCO=ZCAo.(2)如图2,若OA=IO,OC=4,求8点的坐标.(3)如图3,点C(O，4),Q,A两点均在无轴上，且SsA=36,分别以AC,CQ为腰在第一、第二象限作等腰RICAN.等腰RLQCM,连接MN交了轴于尸点，OP的长度是否发生变化？若不变，求出OP的值；若变化，求。P的取值范围.参考答案:1.(4,12)【分析】过点。作C"_Ly轴于H,由“AAS''可证AABOgMCH,可得C"=O8=4,BH=AO=8,即可求解.图1点A的坐标为(&0),点B的坐标为(0,4),.OA=StOB=4,在等腰RtZABC中，BC=AB,NABC=90。，CH_Ly轴于，:.NCHB=ZABC=ZAOB=90P,BCH+NHBC=90°=NHBC+ZABO,:.ZABO=NBCH,在二Aeo和V“中，ZCHB=ZAOB,ZBCH=ZABO,BC=AB:ABg公BCH(AAS),CH=OB=4,BH=AO=St.O4=8+4=12,点C(4,12),故答案为：(4,12).【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.2. (0-3)【分析】过点E作EGJ_y轴于点G,证明JAoBBGE得到OA=GB=4,OB=GE=,证明二二EG/，得到BP=GP,由此求出。P的长即可得到答案.【详解】,点A的坐标为(40),点8的坐标为(0,T),，3=4,08=1,：等腰RtZXOH尸，等腰RtZXABE,.*.BF=OB=I,JF(-l,-l),过点七作EGj.y轴于点G,/.ZOAB=NGBE=90o-NQBA,EG/BF,ZAoB=NBGE，:ZOAB=ZGBE,AB=BEJAO的一BGE(AAS),：.OA=GB=4,0B=GE=1,：EG/BF,：.ZBFP=ZGep,NBPF=NGPE-Azbfp=ZGEpBF=GE：BFPGEP(AAS),：,BP=PG=LGB=2,故OP=OB+BP=3,故P(0,-3),故答案为：(0-3).【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键.3. (1)证明见解析；(2)BE=0.9Cm；(-2,5)或(4,1)【分析】(1)先证明NDAC=NECB,再根据AAS证明ZWC且ZXCEB即可；(2)先根据AAS证明AADC0ACEB,得到AO=CE=3.2cm,8=8E,即可解决问题；(3)分点8在第一象限和点8在第二象限两种情况求解即可.【详解】(1)ADA.DE,BELDE,：.ZADO=CEB=90o,YNACB=90。，ZACD+ZEC=90o,ZZ4C+ZACZ>=90o,/DAC=AECB,在ZW)C和一CfB中，ZDC=NCEB<ZDAC=Z.ECB,AC=CB；Adcwceb(AAS)；(2) VBE±CE,ADLCEf：ZADC=NCEB=90。,：.ZCBE+ZECB=90°,.ZAeB=90。，.*.ZECB+ZACD=90°,：.ZACD=NCBE,在ZW)C和一CfB中，AACD=ZCBe<ZADC=NCEB,AC=CB；.ADCWCEB(AAS),AD=CE=3.2cm,CD=BE, BE=CD=CE-DE=3.2-2.3=0.9(cvn),即BE的长为0.9cm；(3)如图3,点B在第一象限过点C作直线/X轴，交y轴于点G,过A作AEJj于点E,过B作3F_L/于点凡交X轴于点H,则ZAEC=ZCra=ZACB=90°,VA(-l,0),C(l,3),：.EG=OA=tCG=IFH=AE=OG=31：.CE=EG+CG=2t .ZACE+ZEAC=90o,ZACE+NFCB=90°,：/EAC=ZFCB,在AAEC和CFB中，EC=ZCFB AEAC=Z.FCBtAC=CB VAECVCFB(AAS),：.AE=CF=3,BF=CE=2,：.FG=CG+CF=+3=4,BH=FH-BF=3-2=t 3点坐标为(4).如图4,点5在第二象限.图4过点C作CEj于E,过点B作B/_LCE于点R交y轴于点G.VA(-1,O),C(1,3),，FG=OE=,OA=,CE=3i：AE=I+1=2. ：ZACE+ABCF=90o,ZACE+ZCAE=90°,，ZCAE=ZBCf,在AAEC和CFB中,ZAEC=ZCFbNCAE=NBCF,AC=CB：.VAEC/VC尸8(AAS), AE=CF=2,BF=CE=3, BG=BF-FG=3-1=2,EF=CE+CF=3+2=5, 5点坐标为(-2,5).综上,5点坐标为坐2,5)或(4,1).【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，坐标与图形，以及“一线三垂直”模型等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.4. (1)9(2)0或-16【分析】(1)根据平移的性质求出点E的坐标,然后如图构造直角梯形,求出CG=5,切=4,GE=2,EH=2,GH=4,再根据ScEF=S悌椀HF-SCGE-S由计算即可；(2)过点S作夕M_LX轴，证明BZMAmAQB(AAS),可得A=08=4,BfM=AO=2f然后分情况讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别利用(1)中方法构造直角梯形和直角三角形，表示出二Ab尸的面积，再根据AB7的面积是一ABo面积的2倍列方程求出。的值.【详解】(1)解：A(-2,0),8(0,4),将线段A8平移至瓦点A与点E对应，点B与点尸对应，若尸点的坐标为(5,1),平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，点E的坐标为E(3,-3),如图，过点。、尸作垂直于X轴的直线，过点E作平行于X轴的直线，三条直线交于点G,H,则四边形。GUF是直角梯形，ACGE和二"/E是直角三角形，y八,BVC(l,2),£(3,-3),尸(5,1),G(l,-3),/7(5,-3),CG=5,FH=4,GE=2,EH=2,GH=4,(2)解：过点*作3'M_1_"由，则N&M4=90。,_/W9是等腰直角三角形,Z,AB=90o,B,A=AB,ZM4B,÷ZftAO=90°,/.MB,A=ZBAO,XVNB'M4=NAOB=90。,b,ma=aob(aas),AM=OB=4,夕M=AO=2,当点P在点A右侧时，过点P作PN_LX轴于M：.PN=3,AN=a+2fMN=a+6,>SB,PS也形BIMNft-Sb,M-SANP(3+2)(+6)Ilz小c222''=。+8,又YS"=T*2*4=4,人AB1P的面积是.ABO面积的2倍，.*.+8=24,:。=0；当点P在点A左侧时，过点P作平行于X轴的直线，分别过点B',A作X轴的垂线，三条直线交于点K,T,*.*P,(,3),A(2,0),AM=4fBrM=2,AT=3,XT=4,KB'=1,P,K=-6-a,PfT=-2-at* S AB-Pt = S tp- - S梯形ATKB，-SB,KP,1,、(l+3)×41/、=×3×(-2-)-×l(-6-t?)=ci8>又丁S枇=；X2X4=4，.AB1P的面积是二ABO面积的2倍，*aS=2×4,：.a=-16；综上，的值为。或-16.【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出直角梯形和直角三角形是解题的关键.5. (1)8(0,3),C(Lo)(2)见解析(3)1或2或3【分析】(1)由非负数的性质列方程求出。、b的值即可：(2)作一DNCE,交X轴于点N,先证明Rh8C%Rl二HAO,再证明丝ANMD,即可证明AW=ME,再结合班)=8后即可证明_LZ)上；(3)作包_LX轴于点L,证明aBOCCLE(AAS),证明80=CL=3,OC=LE=X,得出OL=OC+CL=l+3=4,得出L(4,0),£(4,1)；分三种情况：当NEG尸=90。时，当/庄G=90。时，当fFG=90。时，分别求出机的值即可.【详解】(1)解：+l+5=0,.+lO,30,.,.6Z+1=O»b3=0>解得，=T,b=3»A(-1,0),8(0,3),a,C关于y轴对称，C(LO);(2)证明：如图1,作DNCE,交X轴于点N,则NECM=NDNM,点A、C关于y轴对称， y轴是线段AC的垂直平分线，CB=AB, 二84。与人3CE是等腰直角三角形，CB=CE,AB=AO,ZBCE=ZBAD=90°, BCEBAD(SAS),：.CE=AD,BD=BE,NECM+NBC4=90°,NDAC+NBAC=90。，且NBCA=NBAC,:"ECM=/DAC,.ADNM=ADAC.AD=ND,又CE=ADs.CE=ND,/CME=ZNMD,又NECM=/DNM.CMgJVWD(AAS),.DM=ME,/BD=BE, BMIDE.(3)解：丁Ba是等腰直角三角形，：BC=CD,NCBD=NCDB=45°,如图2,作包轴于点L,则NBOC=NCLE=90。，B.ZCBO=90o-ZOCB=ECL,BC=CE,:-BoCeCLEw),.BO=CL=3,OC=LE=,.OL=OC+CL=l+3=4,/.(4,0),E(4,l);当NEGF=90。时，如图2,Y.8CE为等腰直角三角形，点尸为y轴上一动点，点G(m,-3"z+3)在直线BC上, 此时点产与点8重合，点G与点C重合， t=1：当NFEG=90。时，点/与点B重合，如图所示：.NCEB=45°,/.NCEG=90°-45°=45°, ZCEF=CEG,'：EF=GE,：BC=CG,点C为8、G的中点，.m+0=1,2解得：ZH=2;当QG=90°时，过点E作EMJ.y轴于点M,过点G作GNJ.y轴于点M如图所示:'：ZMEF+MFE=AMFE+ZNFG=90°,/.MEF=NFGt：EF=FG,：.AEMFdFNG,.*.NF-ME,MF=NG=m,E(4,l),：.NF=ME=4,OM=I,:G(n,-3m÷3),：ON=3m-3,'：ON+OM-MF=NF,.*.37w3+1w=4,解得：/=3；综上所述，机的值为1或2或3,故答案为：1或2或3.【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，解第(3)题时应注意分类讨论.6.(1)(0,-«),(K)(2)2(3)OE=2AC且OESAC,理由见解析【分析】(1)根据点关于X轴对称的特点即可求得点P的坐标；由垂线段最短，当时，PB最短,过点8作8O_L.y轴于。点，利用等腰直角三角形的性质即可求得点B的坐标：m+b=62个”，由完全nr+b'=20平方公式可求得机-b,进而可求得7与b的值，最后可求得.AaN的面积；(3)延长AC至点。，使得CQ=AC,连接8Q,先证明AAC尸ZQCB,进而证明AE4O,从而可证明线段OE与AC的关系.【详解】(1)解：Y点A关于无轴的对称点为P点，点P的坐标为(0，-。)；由垂线段最短，当PBJJ时，PB最短,过点B作8O_Ly轴于。点，如图，直线/平分坐标系的第二、四象限，：/BOD=45。,VPBLl,/./BOD=NOPB=45°,一。8P是等腰直角三角形，OB=PB,轴，OP=%：.BD=OD=LOP=巴,22点8的坐标为他-父；(图1)故答案为:(0,-a),a a 22(2)解：设大正方形边长为小小正方形边长为伏， >b),n + b = 6 m2+b2=20.,. (m + by)2 = m2 +b2 + 2nb = 36,/. mb = 8,.*. (m-b)2 m2 +b2 - 2mb = 4 ,.*. m-b = 2f* m = 4 t b = 2 ,* SAHN= -b(n-b) = 2 ；(3)解：OE = 2AC且OElAC,理由如下：如图所示，延长AC至点Q,使得CQ = AC,连接8Q,VAC=QCfBC=FC,ZACF=ZQCBf：.AACFgQCB(SAS),.*.QB=AF=AEfQB/AFf：.NQBA+NBAE=180。，又NE4F=ZB4O=90。，NRAF+NEAO=180。，.NQBA=NEO,又.B4=AO,.QA注EAO(SAS),：.OE=AQ=2AC1ZBAQ=ZAOE,：.ZAOE+ZGAO=ZGAO+ZBAQ=90°,：.ZAGO=90。，：OEJ.AC,【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解方程组，垂线段最短，证明三角形全等是解题的关键.7. (1)0；4；-2+16,(0<<8)SpABr2/-16,(/>8)；(3)等腰直角三角形，理由见解析.【分析】(1)先确定出08=03=04=4,即可得出结论；(2)先确定出例=OB=OC=4,PC=I,再分两种情况利用图形面积的和差计算(用到三角形的面积公式和梯形的面积公式)即可；(3)先判断出,得出ZABH=ZACP=45。，BH=PC,进而判断出点H在边BC上，再判断出、Pn2仁川用，进而判断出9/PQ,即可得出结论.【详解】(1)OB=OCtBC=S,.OB=OC=4,OA=OB=4,A(0,4),故答案为：0,4；(2) OC=4,.C(4,0).PC±BC,.P(4j),.OA=OB=OC=4tPC=I,如图4,延长尸。至H,使Z)P=OH,连接/?”，AH,=那、叫CTCXPC=2/ +16»当r>8时，如图2,=""。一剂X叫 3+必。= 2，- 16,综上所述，SPAB-2r + 16,(0<<8)2-16,(r>8)，（3）APCQ是等腰直角三角形:图414。P是等腰直角三角形，.40垂直平分尸”，.AP=AH,Z4H=2Z4D=90o,.ZBAC=90。，:.ZBAH=PAC,在，A3"和ZXACP中，AH=AP<ZBAH=NGAP,AB=AC4.ACP(SAS),.ZABW=ZACP=45o,BH=PC,ZABC=45。，.,点H在BC上，点。是3。的中点，/.BD=QB,在APoQ和z,"DB中，DP=DHNPDQ=ZHDB,BD=QD二POQ"OB(SAS),.PQ/BH,PQ=BH,BH=PC,：.PC=PQtPQ/BC,ZBCP=90°,.NCPQ=NBCP=,IPAQ是等腰直角三角形；【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定，解本题的关键是判断出点。既是AC的垂直平分线上，也在尸C的中垂线上.8. (l)A(0,2)(2)见解析(3)不变，BP=3【分析】(I)如图1,过点C作轴于点尸，构建全等三角形：ACFABO(AAS),结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是V轴上一点可以推知点A的坐标；(2)过点C作CG_LAC交y轴于点G,则-ACGAABD,即得CG=AO=CD,ZADB=ZG,由NDCE=NGeE=45。，可证(SAS)得/CDE=NG,从而得到结论；(3)BP的长度不变，理由如下：如图3,过点C作CELy轴于点E,构建全等三角形：CBEBAO(AAS),结合全等三角形的对应边相等推知：CE=BO,BE=AO=G.再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：QE-DPB,故AP=EP=3.【详解】(1)解：如图1,过点C作轴于点F.图:b_L），轴于点产，aZCEA=90o,ZACF+ZCAF=90°,ZC4B=90o,ZCAF+ZBAO=90°,ZACF=ZBAO,在AACF和二ABo中，ACF=BAO<ZCFA=ZAOB=90°,AC=AB.'AC尸，ABO(AAS),CF=OA=2,.A(0,2);(2)证明：如图2,过点C作CGJ_AC交轴于点G,CGj_AC,ZACG=90o,ZC4G÷ZAGC=90°,.ZAOD=90°,ADO2DAO907,.-.ZAGc=ZADO,在二ACG和ZXABO中，NACG=NBAo=90。<ZAGC=ZADo,AC=AB:.AACGAABD(AAS),.CG=AD=CD,ZADB=NG,ZACB=45。，ZACG=90。，a=ZGCE=45°,在£>CE和.GCE中，CD=CG<ZDCE=ZGCEtCE=CE/.DC-GCE(SAS),AZCDE=ZG,:.ZADB=CDE;(3)4P的长度不变，理由如下：如图3,过点C作CELy轴于点E.ZCSE+ZABO=90°.ZBA(9+ZABO=90°,.NCBE=NBAO./CEB=ZAOB=琳,AB=AC,:.CBEBA0(AAS),.CE=BO,BE=AO=6.BD=BO,.CE=BD.ZCEP=ZDBP=90o,ZCPE=QPB,:.ACPE/ADPB(AAS),.BP=EP=3.【点睛】本题考查了三角形综合题.主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形.9.(1)点C的坐标为(-6,-2)；(2)证明见解析；(3)存在，m+n=-6【分析】(1)过点C作CDlx轴于D,利用AAS证出DCAOAB,从而得出AD=0B=4,CD=0A=2,然后求出OD的长，结合点C所在象限即可求出结论；（2）过点B作BE±y轴于E,根据平行线之间的距离处处相等可得BD=EO,利用AAS证出AOCAgAEAB,从而证出OC=AE,即可证出结论；（3）过点A作ADJ_x轴于D,作AE_Ly轴于E,根据点C和点D的位置关系分类讨论,分别画出对应的图形，利用SAS证出ADC丝AAEB,从而证出CD=BE,利用m和n表示出CD和BE,即可求出结论.【详解】解：（1）过点C作CD_LX轴于D,丁等腰直角三角形ABC中，AB=AC,44C=90。ZDAC+ZOAB=90oZCDA=ZAOB=90oZDAC+ZDCA=90oZDCA=ZOAb在乙DCAffiOAB中，ZCDA=ZAOb，ZDCA=ZOABAC=ABDCAOABAD=0B=4,CD=0A=2,0D=AD+0A=6Y点C在第三象限点C的坐标为(-6,-2)；(2)过点B作BE_Ly轴于E产，BEJ_y轴，DOLy轴BE7ODYAOJLX轴，EOJ_乂轴ABD=EO 等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=9QP NOAC+/EAB=90。 ZCOA=ZAEB=90oZOAC+ZOCA=90oZOCA=ZEAB在乙OCA和EAB中，ZCOA=AEBZOCA=EABAC=ABOCAEABAOC=AE：.OA-OC=OA-AE=OE=BD;（3）过点A作ADJ_x轴于D,作AEJ_y轴于E,若点C在点D右侧时，由NDAE=NCAB=90。，可知：点B在点E下方，如下图所示DoC：.ZDAE-NCAE=NCAB-NCAEZDAC=ZEAB 点A的坐标为(-3,-3).*.AD=AEVAC=ABADCAEBACD=BE 点8(0,。，点C(CD=n-(-3)=n÷3,BE=-3-m.*.n÷3=-3-mm+n=-6;若点C在点D左侧时，由NDAE=NCAB=90。，可知：点B在点E上方，如下图所示/.ZDAE-ZDAB=ZCAb-ZDAB/.ZEAB=ZDAC 点A的坐标为(-3,-3).*.AD=AEVAC=ABADCAEBCD=BE点5(0,。，点C(,0).*.CD=-3-n,BE=m-(-3)=m+3-3n=m÷3.*.m÷n=-6;综上：存在，m÷n=-6.【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、点的坐标与线段长度的关系是解题关键.10. (1)(-6,-2)；(2)2；(3)-8【分析】(1)过点C作CML轴于点M,只需要证明gAOBA得到CM=OA=2,MA=OB=4t则OM=OA+M4=6,由此即可得到答案；(2)过点。作。QJ_0P于Q,则可证AAOP02PQQ得至U。P=Ao=2,则。2。E=Pe=2；(3)过点尸作尸SLr轴于5,FTUy轴于。证明FSHgAFTG得到GT=HS,再由G(0,m),H(n,0),点尸坐标为(4-4)得到OT=OS=4,0G=-m,OH=n,则GT=OG-OT=-m-41HS=OH+OS=n+4,由此即可得到+4,即可得到答案.【详解】解：(1)过点C作轴于点M, ：CMLOAtACLAB,NBoA=90。， ZCMA=ZCAB=ZAOB=90o NMAC+NoHB=90°,NOA8+NO8A=90°,：.ZMAc=ZOBA, ABC是以45为腰的等腰直角三角形，：.AC=AB,在乙MAC和4。84中，ZMAC=ZOBaZCMA=ZAOb,AC=BA，ZM-O8A(AAS)fCM=0A=2，MA=0=4,：.OM=O4+MA=6 点C的坐标为(-6,-2)；(2)过点。作QQj_。P于。，t:DQlOP,DELOEtNPoE=90。，；.OE=QD,DE=OQ,/.OP=PQ+0Q=DE+PQ,/.ZAPO+ZQPD=ZAPD=90oNAPO+NOAP=90。，：.ZQPD=ZOAPtAP。是以P为直角顶点，AP为腰的等腰直角三角形,：.AP=PD在ZkAOP和4P。Q中，NAoP=NPQO=90<ZOAP=ZQPd,AP=PDA0PPDQ(AAS)f；QP=AO=Ii(3)过点尸作户SJx轴于S,口Ly轴于。VF(-4,-4),/.FS=FT=4,.P7Uy轴，S_Ly轴/./FHS=ZHFT, ：ZFGT+ZGFT=ZHFT+ZGFT=9O0,/.ZFHS=ZHFT=ZFGTt在4五5”和4尸TG中，ZFSH=NFTG=9金<NFHS=ZFGT,FS=FTFTG(AAS)：.GT=HS,又YG(O,m),H(小0),点尸坐标为(-4,-4)：OT=OS=4,OG=-rn,OH=nt：,GT=OG-OT=-m-4,HS=OH+OS=n+4,.*.-n-4=+4,.*.m+n=-S.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质,解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形.11. (1)见解析8(-2,-3)(3)。P的长度不会发生改变，长度始终是9,理由见解析【分析】(1)根据ZAa=90。，NAOC=90°,得到NBCO+NACO=NCAO+ZACO=90。,即可证明NBCo=NCAO；(2)过点8作8D_L)，轴于点O,证明XCDgbOC,得到二BD=Co=2,CD=AO=S,进而得到OQ=3.点8在第三象限，即可得到8(-2,-3)；(3)过点N作N”CM,交丁轴于点”，先证明a"CN0Z04C,得到S=AQ,HN=QC.根据点C(0,3),S,c3=18,求出AQ=12,