专题4.2一次函数与几何图形综合问题（七大题型）（解析版）.docx

专题4.2一次函数与几何图形综合问题（七大题型）一次函数与几何的综合题，共分为七大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、次函数与平行四边形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。题型1.一次函数与等腰三角形方法：两圆一线例：点尸在X轴上，使APQA为等腰三角形。第一步：画图：第二步：分情况求解：标等边，用公式:两点间距离公式求出A。=J（IOp+（30）2=Jm利用三线合一做辅助线：AQLOPAo=OP=丽6（l,）.OQ=OP=P2（2,0）当OP=A尸时，求出如八=3x；OA_LPQ；Zqa,A。=1，2pq=-1+3=§1设Npq=§工+力求出中点°（等，等）二仁高代入，求得加YX+%求出直线PQ与X轴交点8（5,0）例1.（2022柳南区校级期末）如图，直线y=kx+b与X轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,4）,点P在X轴上运动，连接PB,将AOBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为0:(1)求k、b的值；(2)若点O饴好落在直线AB上，求AOBP的面积;(3)将线段PB绕点P顺时针旋转45。得到线段PC,直线PC与直线AB的交点为Q,在点P的运动过程(2)存在两种情况：如图1,当P在X轴的正半轴上时，点O,恰好落在直线AB上，则OP=OP,ZBOP=NBoP=90。，VOB=OA=4,，AOB是等腰自:角三角形，AB=42>ZOAB=45°,由折叠得：ZOBP=ZOBp,BP=BP,0BP0,BP(AAS),OB=OB=4,AO-42-4,RSPO'A中，0'P=Ao'=4&-4=0P,如图所示：当P在X轴的负半轴时,SBP=-OBOP=yX4×4)=8&-8：VZBAO=45o,P0,=PO=A0,=42+4,SBP=-i-OBOP=-×4×(42+4)=8V2+3；(3)分4种情况：当BQ=QP时，如图2,P与O重合，此时点P的坐标为(0,0)：当BP=PQ时，如图3,VZBPC=45o,；NPQB=NPBQ=22.5°,V/0AB=450=NPBQ+NAPB,NAPB=22.5°,NABP=NAPB,AP=AB=42>.OP=4+42,P（4+42>0）；当PB=PQ时，如图4,此时Q与C重合，VZBPC=45o,ZPBA=ZPCB=67.5o,APCA中，ZAPC=22.5o,ZAPB=45+22.5o=67.5o,ZABP=ZAPB,AB=AP=42）.OP=4-4,P（4-42.0）；当PB=BQ时，如图5,此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，此时P（-4,0）；综上，点P的坐标是（0,0）或（4+4近，0）或（4-4血，0）或（-4,0）.变式1.（2022成都市八年级期中）如图，正方形ABC。在平面直角坐标系中的位置如图所示，点8与原点重合，点。的坐标为（4,4）,当三角板直角顶点P坐标为（3,3）时，设一直角边与X轴交于点£另一直角边与），轴交于点尸.在三角板绕点P旋转的过程中，使得APOE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标.解：APOE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，尸（3,3）,那么有:当尸E=OE时，PELOC,则尸Fj_），轴，则下的坐标是（0,3）；当OP=PE时，NoPE=90。，则尸点就是(0,0)；当OP=OE时，则Oz=6±3,尸的坐标是：(0,6-32)或(0，6+32).变式2.(2022广东八年级期末)如图，直线My=-x+2与X轴，y轴分别交于A,B两点，点P(m,3)为直线h上一点，另一直线12：y2=x+b过点P,与X轴交于点C.(1)求点P的坐标和12的表达式；(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向X轴正方向移动.设点Q的运动时间为I秒.当点Q在运动过程中，请直接写出AAPQ的面积S与t的函数关系式；求出当I为多少时，APQ的面积等于3；解：(1)Y点P(m,3)为直线h上一点，.3=-m+2,解得m=1,点P的坐标为(1,3),把点P的坐标代入y2=x+b得，3=-i-×(-1)+b,解得b=1,，匕的表达式为y=x+*;(2)由题意可知CQ=i,P到X轴的距离为3,令y2=0可得O=工x+工，解得X=-7,点C坐标为(-7,0),22在y=-x+2中，令y=0可得-x+2=0,解得x=2,A点坐标为(2,0)；AC=2-(-7)=9,当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t,S=-×3×(9-t)=旦1+21；222当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=L9,S=工x3x(t-9)=2-ZL；222令S=3可得-3t+2I=3或3=t-红，解得t=7或t=11,2222即当t的值为7秒或11秒时AAPQ的面积等于3；设Q(x,0)(x>-7),VA(2,0),P(-1,3)，.*.PQ2=(x+l)2+32=x2+2x+10,AQ2=(x-2)2=x2-4x+4,AP2=(2+1)2+32=18,APQ为等腰三角形，有PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三种情况，当PQ=AQ时，MPQ2=AQ2,BPx2+2x+10=x2-4x+4,解得x=l,则Q点坐标为(7,0),CQ=-1-(-7)=6,即t=6；当PQ=AP时，则PQ2=Ap2,即2+2x+10=18,解得X=-4或x=2,则Q点坐标为(4,0)或(2,0)(与A点重合，舍去)，,CQ=-4-(-7)=3,即1=3；当AQ=AP时，则AQ2=AP2,即2-4x+4=18,解得x=2±3,则Q点坐标为(2+32.0)或(2-32.0),综上所述：点Q坐标为(-1,0)或(-4,0)或(2+32,0)或(2-32,0).题型2.一次函数与直角三角形方法：两线一圆例：点尸在X轴上，使APQA为直角三角形。第一步：画图：第二步：分情况求解:当NOAP= 90。时,当NQQA=90。时,设4(x,0)设4(x,0)OP_LAP (l,)OA±AP：.kOA'kp=-3-03-0/、=T=X=Io/>(10,0)1-01-x例2.(2022涌水县月考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交X轴、y轴于点A(a,0)、点B(0,b),且a、b满足a2+4a+4+2a+b=0.(1)a=_；b=_.(2)点P在直线AB的右侧，且NAPB=45。；若点P在X轴上，则点P的坐标为；若AABP为直角三角形，求点P的坐标.解：(1)a+4a+4+2a+b=(a+2)+2a+b=0>即：a=-2»b=4,故答案为：-2,4；(2)由(1)知，b=4,B(0,4).OB=4.I点P在直线AB的右侧,P在X轴上，NAPB=45°,OP=OB=4,P(4,0).故答案为：(4,0)；由(1)知a=-2,b=4,A(2,0),B(0,4),OA=2,OB=4,当NBAP=90。时，过点P作PH_Lx轴于H,ZHAP+ZBAH=90o,ZABO+ZBAH=90o,ZOBA=ZHAP,ZAOB=ZAHP=90o,又NAPB=45°,AP=AB,OBAAHP（AAS）,PH=AO=2,AH=OB=4,OH=AH-AO=2,故点P的坐标为（2,-2）：当NABP=90。时，同理可得：点P的坐标为（4,2）,故点P的坐标为（2,-2）或（4,2）.变式1.（2022陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况.在坐标平面内有两条直线：h：y=kx+b1（k0）:12：y2=k2x+b2（k20）,有下列结论：当k=k2时，直线直线12；当kk2=-l时，直线h_L直线12.（2）实践应用：直线y=kx+5与直线y=-3x+2垂直，WHk=,直线m与直线y=-2x+3平行，且经过点（4,-2）,则直线m的解析式为.直线y=2x+3向右平移.j单位，其图象经过点（6,-4）.（3）深入探索：如图，直线y=x+l与X轴交于点B,且经过点A,已知A的横坐标为2,点P是X轴上的一动点，当AABP为直角三角形时，求AABP的面积.解：(2)直线y=kx+5与直线y=-3x+2垂直，.kk2=-】，.k=工，故答案为：工；33直线m与直线y=-2x+3平行，设直线m的函数解析式为y=-2x+b,将(4,-2)代入得b=6,；直线m的解析式为：y=-2x+6,故答案为：y=-2x+6;设直线y=2x÷3平移后经过(6,-4)的函数解析式为y=-2x+a,-2×6+a=-4,a=8,y=-2x+8, y=2x+3与X轴交点为(O,-),y=2x+8与X轴交点为(0,4), 向右平移了4-S=S个单位，故答案为：$；222(3)由题意知：A(2,3),B(-1,0),当AABP为直角三角形时，存在两种情形，当AP_Lx轴时，P(2,0),Sabp=-×3×3=当AP_LAB时，设AP的解析式为y=-x+c,将A(2,3)代入得-2+c=3,.,c=5,直线AP的解析式为y=-x+5, 点P(5,0),BP=6,SaABP=L6X3=9，综上：ABP的面积为9或9.22变式2.(2022辽宁沈阳八年级阶段练习)在平面直角坐标系Xoy中，已知点4(0,4),点8(2,0),函数y=2x+机的图象与直线AB交于点与y轴交于点C(1)求直线A8的函数解析式；(2)当点M在线段48上时，求用的取值范围；(3)当&48C为直角三角形时，求M的值.ay5-4-3-2-1-5-4-3-2-IOl2345；-1-2-3-4-5-备用图【答案】(I)V=-2x+4(2)T<m<4(3)0或-1【分析】(1)利用待定系数法直接求解即可；(2)画出图形，即可知当直线y=2x+m在巴线Ao(包括直线A。)和直线BE(包括直线8E)之间时，点M在线段AB上.由A、8两点坐标分别求出)，即可得出其取值范围；(3)分类讨论当NAC8=90。时和当NA8C=90。时，结合图象即可求解.(1)设直线AB的函数解析式为N=履+伙ZwO),4=6依=-2则八c/L解得：/z1直线AB的函数解析式为y=-2x+4；0=2k+bh=4(2)如邺当直线y=2%+n在直线AD(包括直线A0)和直线BE(包括直线BE)之间时，点M在线段AB上.当y=2x+"i经过点A时，即直线y=2x+m勺直线AO重合，4二m：当y=2x+?经过点5时，即直线y=2x+机与直线BE重合，0=2x2+"z,解得：n=-4.,当-4<m<4时，点M在线段A8上；(3)点A在y轴上，4AC不可能为直角.分类讨论：当NAC3=90。时，如图，此时。点与原点重合,即直线y=2x+，经过原点，0=0+m，即Tn=0；当NABC=90°时，如图点C,设。'(0,y)AC=4-y,BC,=y22+y2»：AB=yAO1+BO2=42÷22=25»又YB2+BC2=AC2，(25)2+22+=(4-y)2,解得：y=-l,11O,-1)当直线y=2x+m经过C'(0,-1)时，即尸-1,符合题意.综上可知当4 ABC为百.角三角形时，/的值为O或-1 .【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合.题关键.利用数形结合的思想是解题型3.一次函数与等腰直角三角形例：点P在平面内，使尸OA为等腰直角三角形。第一步：画出6个答案:第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标:当NQAP= 90。时,设机y）当NoHA=90。时,构造“K”型全等：与B哙IWCO-2+0 4+02 ' 2表示线段：PB=-x, C=3;法二：设A （x, y）构造“K”型全等：P B/XOCAAB= y 3； OC = 1表示线段:由全等，得PB=ACnlx = 3nx = -2AB=I-X; BP=3-yAB= OC = y 3 = l = y = 4BP=3-y, CO = -X6(-2,4)由全等，得:l-x=y3-y=-X.*1,2)例3.（2022和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1,等腰RsABC中，ZACB=90o,CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD_LED于点D,过点B作BE_LED于点E,求证：BECg4CDA.【模型应用】（2）如图2,已知直线My=慨+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,将直线h绕点A逆时针旋转45。至直线12,则直线12的函数表达式为.（3）如图3,将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到X轴上，若0B=2,OC=1,在X轴上存在点M使得以0、A、B、M为顶点的四边形面积为4,请直接写出点M的坐标(4)如图4,平面直角坐标系内有一点B(3,-4),过点B作BAj_x轴于点A,Be_Ly轴于点C,点P是线段AB上的动点，点D是直线y=-2x+l上的动点且在第四象限内.若CPD是等腰直角三角形.请直接写出点D的坐标图4图二图1： NBEC=NADC=90°, ：, ZACD+ZDAC=90°,VZACB=90o,ZBCE+ZACD=90o,ZBCE=ZCAD,rZBEC=ZADC在Bec和acda中，Nbce=Ndac,.*.beccda(aas)；BC=AC(2)过点B作BFjJ1,交12于F,过F作FHJ_y轴于H,则ABF是等腰直角三角形,图2由(1)同理可证OABgZkHBF(AAS),OA=BH,OB=FH,直线h：y=3+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,2A(-2,O),B(0,3),OA=2,OB=3,OH=5,FH=3,F(-3,5),设12的函数解析式为y=kx+b,将点A,F的坐标代入得k=-5,b=-10,直线12的函数解析式为y=5x10,故答案为：y=5x10:(3)由(I)得ABOCgACDA,OC=AD=1,CD=0B=2,A(3,1),如图，当M在X轴负半轴时，soAB-IX2X3=3，S21obm-X2XOH=LOM=1,M(-1,0),故答案为：(2,0)或(1,0)；设点P的坐标为（3,m）,则PB的长为4+m,VZCPD=90o,CP=PD,ZCPM+ZCDP+ZPDH=180%ZCPM+ZPDH=90o,又.NCPM+NDPM=90°,ZPCM=ZPDH,rZPCM=ZPDH在AMCP与ahpd中,<Zcmp=Zphm*mcphpd(aas),PC=PDCM=PH,PM=PD,，点D的坐标为(7+m,-3+m),又Y点D在直线y=-2x+l上，-2(7+m)+1=-3+m,解得：m=-12.,即点D的坐标为（旦，i）；333若点C为直角顶点时，如图，设点P的坐标为（3,n）,则PB的长为4+n,CA=CD,同理可证明PCMgACDH（AAS）,PM=CH,MC=HD,点D的坐标为(4+n,-7),又丁点D在直线y=2x+l上，-2（4+n）+1=-7,解得：n=0,点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4,-7）；设点P的坐标为（3,k）,则PB的长为（4+k）,CD=PD,同理可证明CDMZPDQ（AAS）,JMD=PQ,MC=DQ,D（-Z-,22又点D在直线y=-2x+l上，-2x里1+1=一且，解得：k=-2223，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（反，33综上所述，点D的坐标为（红，出）或（4,-7）或（8，力），3333故答案为：（旦，Ji）或（4,-7）或（区,工）.3333变式1.（2022河北八年级期中）如图，直线y=-工x+1交y轴于A点，交X轴于C点，以A,O,C为顶点作矩形AOCB,将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°,得到矩形DOFE,直线AC交直线DF于G点.（1）求直线DF的解析式;（2）求证：OG平分NCGD；（3）在第一象限内，是否存在点H,使以G,0,H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由.解：（1）;直线y=-x+l交y轴于A点，交X轴于C点, A点的坐标是（0,1）,C点的坐标是（2,0）, 将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°,得到矩形DOFE, F点的坐标是（0,2）,D点的坐标是（-1,0）,设直线DF的解析式是y=kx+2,-k+2=0,解得k=2,直线DF的解析式是：y=2x+2.（2）如图1,作OM_LDF,交DF于点M,作ONJ_CG,交CG于点N,图1在RtAOAC和RsoDF中，1°A=OD(HL)RtOACRtODF,Iac=DF又YOMLDF,ON±CG,OM=ON,在RtAOMG和RSONG中，J0M=0N(HL)JRsOMGgRsONG,Iog=ogZMGO=ZNGO,OG平分NCGD.（3）存在点H,使以G,O,H为顶点的三角形为等腰直角三角形.2_1x=-联立Iy-3+解得，,点G的坐标是（-2,A）,CC一6556OG=J母;马普JOG所在的直线的斜率是：*7,T综上，可得存在点H,使以G,O,H为顶点的三角形为等腰宜角三角形,点H的坐标是(0.8,1.6)、(1.2,0.4)或(0.4,0.8).当NOGH=90。时，设点H的坐标是（a, b）,bD 512-芍&-（一至）解得百事小等a二° 点H的坐标是（0.8,b=l. 61.6).如图3,当NGoH=90。时，设点H的坐标是（c, d）,_d Jlc 3C Z-解得R誓C=L 2 .点H的坐标是(1.2, 0.4). d=0. 4如图4,当NGHO=90。时，设点H的坐标是（e, f）,-7×f=-eY-可）解得序海哈行等e=°4.点H的坐标是(0.4, f=0. 80.8).变式2.(2022山东八年级月考)如图，直线y=-x+b(b>0)交X轴于点A,交y轴于点B.(1)求点A、B的坐标(用含b的代数式表示)；(2)若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4,求该直线的表达式；(3)在(2)的基础上，若点C在第一象限，且AABC为等腰直角三角形，求点解：(1)对于直线y=-x+b(b>0),令x=0,y=b,B(0»b),令y=0,/.-lx+b=0,x=2b,'A(2b,0)；(2)由(1)知，A(2b,0),B(0,b),OA=2b,OB=b,AB=5b,点P与点O距离的最小值为4,.2bb=*x4x4,.b=2,直线AB的解析式为y=-l+25;(3)如图，由(1)知，A(45,0),B(0,25),OA=45,OB=25过点C作CDJ_x轴于D,作CEJ_y轴于E,VZDOE=90o,J四边形ODCE是矩形，OD=CE,CD=OE,ZDCE=90o,ZBCE+ZBCD=90°,VABC是等腰直角三角形，当NACB=90。时，BC=AC,ZACB=90°,ZACD+ZBCD=90o,ZBCE=ZACE,BCEACD(AAS),BE=AD,CE=CD,J设点C坐标为(m,m),AAD=OA-OD=45-m,BE=OE-OB=m-2屈,45-m=m-25,'m=3,C(35,3泥),如图2,当NBAC=90。时，过点C作CFLx轴于F,ZCAF+ZAC1F=90°,VZC'AF+ZOAB=90o,：ZOAB=ZFC,A,VAB=AC,AOBC,FA(AAS),C,F=OA=45,AF=OB=25,OF=OA+AF=65»C'(654企),当NABC=90。时，同的方法得，C(25*65).即：点C的坐标为(3q,35)或(6545)或(2g65).题型4.一次函数与全等三角形1.解题步骤：找固定相等的角或边；以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。2.相等的角或边情况：公共边情况：平面内找一点P,使以4、B、P为顶点的三角形与AABC全等.P1.鸟关于AB成轴对称，C、鸟关于AB成轴对称，即AB是C八的中垂线，可用中垂线代数法求点。固定角相等：两个三角形为宜角三角形；相等角为对顶角：1.常见运用公式：若两直线=匕冗+4、y=&x+4垂直，则匕2=T;点4(*,yJ,(x2,y2):a.A.8中点坐标：(",，；卜/?.AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2：中垂线代数法：例：如下图，若点4（1,3）,CQ是。A的中垂线，求点P的坐标。求出ya4=3x;OA_LPQ；Zcm%pQ=-1Zp°=一l÷3=-g,设=一；工+6求出中点Q（等,等）=（g,）代入，求得力Q=-gx+g;求出直线尸Q与X轴交点尸（5,0）例4.（2022婺城区校级期末）如图，已知直线y=-2x+4与X轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.（1）求点A、C的坐标；（2）将AABC对折，使得点A与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式（图）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得APC与AABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（2）由折叠知：CD=AD.设AD=x,则CD=x,BD=4-x,根据题意得：（4-）2+22=2解得：=I此时，AD=反，D（2,）（2分）x222，设直线CD为y=kx+4,把D（2,）代入得=2k+4G分）解得：k=直线CD解析式为y=-+4（1分）（3）当点P与点O重合时，AAPCgZCBA,此时P（0,0）当点P在第象限时，如图，由APC0ZCBA得NACP=NCAB,则点P在直线CD上.过P作PQ_LAD于点Q,在RsADP中，AD=§,PD=BD=43=3,AP=BC=2222rtlADXPQ=DPXAP得：SPQ=3，PQ&25；xp=2*喈，把x=4代入y=等x+4得y=此时P（普，）rDDD4DDD（也可通过RtAPQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）当点P在第二象限时，如图同理可求得：CQ=1013=4-©此时口（心，）55555综合得，满足条件的点P有三个，分别为：PI（0,0）；p（孕，p（咯，后A变式1.（2022辽宁八年级期中）如图，在AABC中，ZC=45o,NBAC=90。，点A为（«,0）、点B为（0,1）,坐标系内有一动点P,使得以P、A、C为顶点的三角形和AABC全等，则P点坐标为.解：Y点A坐标为（50）、点B坐标为（0,1）,/.OA=3>OB=LJAB=而居=2VZBAC=90o,NACB=45°,AB=AC=2,BC=22ABC与AACP全等分为三种情况：如图1,延长BA到P,使AB=AP,连接CP,过P作PMj_x轴于M,V'Naob=Namp在aaob和ZkAMP中，v-Zoab=Zmap*aobamp(aas)»AB=APAM=AO=3,MP=OB=I,故点P的坐标为(2«,-I)；如图2,过点C作CP_LAC,使CP=AB,则ABC经ZkCPA,故NPAC=NACB=45。，AP=BC=2加,AZPAM=ZAPN=15°,即NA=NP,设PM=x,则PN=AN=2x,NM=3x,在RtAAPM中，VAP2=AM2+PM2,(22)2=(2x+3x)2+x2,解得：x=«1，则OM=OA+2x+5x=2M,故点P的坐标为(2M,31):作CP_LAC,使CP=AB,连接BP,则ABCgZCPA,YNBAC=NPCA=90。，且CP=AB,，四边形ABPC是矩形,AB=BP,NABP=900,即NABo+NPBM=90°,过点P作PM_Ly轴，则NBPM+NPBM=9()o,ZABO=ZBPM,'Naob=Nbmp在AAOB和ABMP中，V-ZABO=ZBPM-AOBBMP(AAS),AB=BPBM=OA=3,PM=OB=L故点P的坐标为(1,3+D;当点P与点B重合时，点P的坐标为(0,1),综上，点P的坐标为(0,1),(1,3+i),(23,-1),(23+3-1).变式2.(2022重庆八年级期末)在直角坐标系中，已知A(6,0)、F(3,0),C(0,2*,在AOC的边上取两点P、Q(点Q是不同于点F的点)，若以0、P、Q为顶点的三角形与AOFP全等，则符合条件的点P的坐标为.解：如图1,过点F作FP_LOA,交AC于点P,过点P作PQ_LOC,垂足为Q,连接OP,此时AOFPgPQO,VA(6,0)、F(3,0),.'.PF、PQ是OAC的中位线,APQ=Aoa=3,PF=-i-C=3>/.P(3,3).如图2,由可知，点P、Q位置互换，亦满足题意，此时，P(0,3),如图3,作NAOC的平分线交AC于点P,在OC上截取OQ=OF=3,连接PF、PQ,此时OFPgoQP,过点P作PM_LOA,垂足为M,PNlOC,垂足为N,则PM=PN,由三角形面积公式得，-IoAPM41-OCPN=-Iao-OC,即，6PM+23PM=6×23.PM=PN=33-3，,点P(3-3,33-3),如图4,在AC上截取AP=6=OA,取AP的中点Q,则PQ=OF=3,过点P作PB_LOA,垂足为B,在RIZiABP中，PB=yAP=3,AB=喙xAP=3,OB=OA-AB=6-33,-P(6-3«,3),故答案为：(3,3)或(0,3)或(33-3,33-3)或(6-333).题型5.一次函数与平行四边形例5.（2022贵州黔西八年级期末）如图，直线心y=-gx+b分别与X轴、），轴交于A、8两点，与直线Ly=2x-6交于点G且。4=8.（1）求直线人的解析式：（2）若4与y轴交于点。，求8CQ的面积，（3）在线段上8。是否存在一点E,过点E作所），轴与直线C。交于点尸，使得四边形OBE尸是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（l）y=-gx+4（2）20（3）存在点E（/,使得四边形08。是平行四边形【分析】（I）先求出4点坐标，然后用待定系数法求解即可;（2）先求出8、。的坐标，从而求出8Q,然后求出点C的坐标，根据S求解即可；（3）设点£的坐标为（加，一,6+4）,则点尸的坐标为（?，2zz-6）,WJEF=-/«+4-2w+6=IO-,222再由四边形O8E尸是平行四边形，得到EF=OB=4,则IO-Im=4,由此求解即可.【解析】解：O4=8,点A的坐标为（8,0）,-×8+=0,W,直线4的解析式为y=-+4:（2）解：,直线3y=2x-6与3，轴交于点。，直线几y=-；x+4与y轴交于点8,点。的坐标为（0,-6）,点B的坐标为（0,4）,BD=IO, X 41解得|)二2'二点 C的坐标为“，2), /.Sbcd=-BD xc=20;y=2x-6联立I，y=x+41.2（3）解：假设存在，设点E的坐标为（m,-;m+4）,则点尸的坐标为（?，2m-6）,EF=-/n+4-2+6=10-w,225I?丁四边形OBE尸是平行四边形，.EF=O8=4,10-n=4,=,2512141214 点E的坐标为（?，?），存在点七（，）使得四边形08E尸是平行四边形.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的额关键.变式1.（2022重庆一中八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，直线4：），=底+人与直线：/2：y=*x+6交于点、B,直线4交X轴于点A,交Iy轴于点C,直线4交X轴于点七，交了轴于点。，OA=>3OD.（1）求直线4的解析式；（2）如图1,点。与点尸关于X轴的对称，M、N为直线4上两动点，且MN=3,求PM+MN+M）的最小值；（3）如图2,点。与点P关于K轴的对称，点”为直线4上一动点，在直线4：>'=X上是否存在一点尸，使以£、尸、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】尸后+36班+3点F的坐标为喳甘）或（一¥,一三）【分析】（1）先求出点A的坐标为Tb4,点。的坐标为值4）,则OA=*b=Goo=3,求出b=3J,即可得到答案；（2）如图所示，连接PM过点M作M/PN,过点N作N/RWIJw尸交于点尸，则四边形PMFN是平行四边形，可以推出当。、N、尸三点共线时，NRN。有最小值，求出直线A2的解析式为y=-Sx-W，得到直线AP与直线8。平行，从而可证当。、N、尸三点共线时，M与点A重合，N与点34重合，由此求解即可；（3）分当四边形EP尸为平行四边形时和当四边形EPF是平行四边形时，两种情况讨论求解即可.【解析】（1）解：:直线4：y=6x+b与直线：4：y=#x+如交于点从直线交X轴于点A,交y轴于点C直线4交4轴于点区交），轴于点。，点A的坐标为（-当"）点。的坐标为（0,6）,：,OA=*b=EOD=3,：b=3,六直线4的解析式为y=Gr+3J（2）解：如图所示，连接PM过点M作M尸PN,过点N作NFPM与MF交于点F,则四边形PMFN是平行四边形，；.PM=NF,：.PM+MN+ND=NF+MN+ND=3+NF+ND,：,要使PM+MN+ND的值最小，即NF+ND的值最小， 当。、N、尸三点共线时，MT+NO有最小值，联立y = 3 + 33 一冬+疔解得._3_£点3的坐标为K,明,)=3=MN,由(I)可得点A的坐标为(-3,O),AAB=设直线A2的解析式为y = H+4b =-y3-3k + bi =03 , b = -J3 是。关于X轴的对称点，点P的坐标为伍,-, 直线AP的解析式为=-2x-3,直线4P与直线BD平行，当。、M尸三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，：MN+PM+ND=AP+AB+BD,(3)解：设点尸的坐标为(, )当四边形EPHF为平行四边形时, + 0 _ 3 + xV3y"Ia-Jr二点”的坐标为(“-3M-6),3(a-3)+33=-3,解得°=一2,点F的坐标为(一2,-2)；同理当四边形EP"/是平行四边形时，« + 3 _ 0 + xw=2 4 + 0 %_坦-1 -2；_。+出，点H的坐标为(+3,+6),3(a+3)+33=+3,解得=一丝上上且，点尸的坐标为(一丝土生叵，-15÷53)；【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解.变式2.(2022江苏扬州八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，已知直线雨是一次函数y=x+?(?>0)的图象，直线PB是一次函数)，=-3x+(n>zn)的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、。分别是两条直线与坐标轴的交点.(1)用小、分别表示点A、B、P的坐标及N%B的度数；(2)若四边形夕。04的面积是日，且CQ=AO,试求点P的坐标，并求出直线以与PB的函数表达式；(3)在(2)的条件下，是否存在点0,使以A、8、P、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点。的坐标：若不存在，请说明理由.%的函数表达式为y=x+4,PB的函数表达式为y=-3x+6存在一点。,使以A、8、P、O为顶点的四边形是平行四边形,点O的坐标为作箕）或（一|，-T）【分析】（1）已知直线解析式，令尸0,求出X的值，可求出点A,8的坐标.联立方程组求出点P的坐标.推出Ao=Q。，可得出NBw=45。.（2）先根据CQ=3A。得到m、n的关系，然后求出SAOQ,S/¾8并都用字母?衣示，根据S四边形PQOB=SAM-SAoQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出的值，继而可推出点P的坐标以及直线布与P8的函数表达式.（3）由于A,B,P三点已经确定，要确定。点的位置，需分三种情形讨论解答，依题意画出图形，利用平行四边形的性质即可求出。2,Q3的坐标.【解析】（1）解：在直线y=x+m中，令y=0,得X=-w.点A（-加，0）.在直线y=3中，令y=0,得x=g.点8J,0y = x+my = -3x+nn-m x =4n + 3m 产丁