专题10解析几何专题（新定义）（解析版）.docx

专题10解析几何专题（新定义）一、单选题1.（2023春浙江高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系XOy中（O为坐标原点），把到定点月（-c,0）和5（GO）距离之积等于c2（c>0）的点的轨迹称为双纽线，记为八已知几）为双纽线-上任意一点，有下列命题：双纽线的方程为（V+）,2）2=2c212一y2）；面积最大值为g02；./先日；PO的最大值为c.其中所有正确命题的序号是（）A.B.C.®®D.【答案】D【分析】由已知PKPK=c代入坐标整理即可得出方程，判断；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断；根据面积公式，结合的结论，即可判断；根据余弦定理，以及向量可推得IPOI2=c2+c2cosZFxPF22c2,即可判断.【详解】对于，由定义IPKI尸用二M,即JaO+c）2+y：Xyl（XLC¥+尤=¢2,即（片+乂+T+2cr0）（x2+y+c2-2cxq）=C4,整理可得（片+y：）2=2c2（£-y；）,所以双纽线的方程为(Y+y2)2=2c2(2-y2),故正确；对于，S22=gP制IP用sin/£PK=gc2sEMPgc2,故正确；对于，因为S冗桃=T忻周XIyOI=ClyO归权2,所以一%(故正确；对于，ZKPK中，由余弦定理可得旧用2=上曰2+仍用2-2俨/讣|丹讣85/6夕用,/ ULB 2 UL ULlr 2 IUUinl2 ULIL2 (2Po) =M+ 啕=PF +同所以I尸4+1Pgr=4/+2c?cosZFxPF2.又因为2PO =尸4+尸鸟，所以UlnOimr+2PFcPF2HU2lUU2uuUUL=PK+尸6+2PFA-pF2cosZFiPF2.所以,(2POl)J忸图2=卜川2+,引+2卜叶附际/6”+阀+朋|2_2阀卜归周.85尸鸟二2(附卜附),即4PO2+4c2=2×(4c2÷2c2cosNKPE),整理可得IPoI2=+c2cos/耳夕B2c2,所以IPOIJIc,故正确.故选：D.2. (2023春研川达州高二四川省宣汉中学校考开学考试)定义:椭圆4= (a>b>)中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”.则椭唬+£中所有“好弦”的长度之和为()A. 162B. 166C. 312D. 364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦”的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得=5,b=3,所以C=病方=4，即椭圆+1=l的右焦点坐标为(4,0),对于过右焦点的弦A8,则有:当弦AB与X轴重合时，则弦长HM=2=IO,当弦A3不与X轴重合时，设AB:%=啊+4,A(%M,8(w,%),x-my+4八 n72m81联立方程Vy2,消去X得：(9/+25)y2+72"y-81=0,1259则A=(72n)2-4(9m2+25)×(-81)=81(w2+故IABI =河正819/ + 259(m2 + l)(-Sio 1- 9 + 25 I16W+ 25"2o,则9>+2525,0<cJc<±,可得-F<0,即gl-16v匕94+2525259m2÷2525W+25AB,IOj,'1Q综上所述：IAMWy,10,故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10,由椭圆的对称性可得：“好弦”的长度和为4×（4+5+6+7+8÷9）+10=166.故选：B.3. （2023秋湖南郴州高二校考期末）城巾的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A6,y）,8（x2,%）,定义两点间"距离”为d（A3）=归-引+y-%,则平面内与/轴上两个不同的定点6,居的“距离”之和等于定值（大于“（耳,月）的点的轨迹可以是（）【分析】分横坐标在K、尸2之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可.【详解】解：根据题意，横坐标在尸|、尸2之外的区域，不能出现与X轴垂直的线段,否则该线段上的点与、F2的“距离”之和不会是定值;横坐标在、鸟之内的区域，则必须与X轴平行，否则该线段上的点与耳、F?的，距离”之和不会是定值.故选：A.4. （2022江苏高二专题练习）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：J+（=l（>b>0）的蒙日圆方程为V+y2=2+/,耳，尸2分别为椭圆C的左、右焦点.离心率为亭，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P,。两点，若.MFQ面积的最大值为36,则椭圆C的长轴长为（）A.2小B.45C,23D.46【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得=病，分析可知PQ为圆/+'2=3从的一条直径，利用勾股定理得出p2+fC2=IPa2=36/,再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆。的离心率e=£=或，所以=有ca5因为"=从+C2,所以6=2c,所以椭圆C的蒙日圆的半径为JT寿=3c因为MPJ_MQ,所以PQ为蒙日圆的直径，所以IPa=6c,所以IMH2+M22=p2=36c2因为IMPl.M2<幽二¥望=1&*2,当IMH=IMQI=3缶时，等号成立，所以上MPQ面积的最大值为：MP-MQ=9c2.由二Mf。面积的最大值为36,得9/=36,得。=2,进而有人=2r=4,a=2小,故椭圆C的长轴长为44.故选：B5. （2023全国高三专题练习）加斯帕尔蒙日（图1）是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆C:金+f=1的蒙日圆的半径为（）54A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】由蒙H圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙口圆的定义，可知椭圆C工+±=1的两条切线工=正,/=2的交点54在圆上，所以R="Z=3,故选：A6. （2021秋.四川成都.高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）22. X y .A. + = 1b f4=ic +f=122nk x y 1D. + = 169【分析】【详解】对于A,c2=8-4 = 4 = b2,A是“对偶椭圆”；对于B,c2 = 5-3 = 2b2fB不是“对偶椭圆”;对于C,c2=6-2 = 4h2 ，即力c,C不是“对偶椭圆”;对于D,c2=9-6 = 3b2,即力c,D不是“对偶椭圆”.【答案】根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐计算判断作答.由“对偶椭圆''定义得：短半轴长b与半焦距C相等的椭圆是“对偶椭圆”,故选：A7. （2021春.上海闵行.高二闵行中学校考期末）若曲线/（x,y）=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这A. x2 + y-l = 0条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）B.-4-+1=0C. x2 + y2-x-l = OD. 3x2 ->, +1 = 0【答案】C【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A：因为Y+yT=O,即)，=1-丁是抛物线，没有自公切线，故A错误；B：因为IN"y+=o,表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B错误；C：因为炉+丁一XTAl-I=O,表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C正确；D：因为3/一孙+1=0,即y=3x+,是双勾函数，没有自公切线，故D错误；X故选：C.8. (2021辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)在平面直角坐标系中，定义W+H称为点P(x,y)的“b和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：(1)“6和”为1的点P(X,y)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设。是直线2x-y-4=0上任意一点，则点尸(Ky)的“b和”的最小值为2；(3)设尸是直线-丁+人=。上任意一点，则使得“b和”最小的点有无数个”的充要条件是。=1；(4)设尸是椭圆Y+f=1上任意一点，则“b和”的最2大值为有.其中正确的结论序号为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)【答案】B【解析】根据新定义"b和''，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当k+y=l时，点P（,y）的轨迹如图，其面积为2,正确；7（2）P是直线2x-y-4=0上的一点，.y=2x-4,4-3x,x0,.+>'=x+2x-4=-4-x,0<x<2,pJl,0,Ocx<2时递减,x20寸递增,故|乂+|引的最小值在=23x-4,X2,时取得，（H+而min=2,正确:（3）同（2）,W+N=）+麻叫,可知当=±l时，都满足,“6和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为，厂应SEe"xHMTc°sq+IJSin电易知其最大值为6,正确.故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义3和"，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9. （2022秋四川成都高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点不玛的距离之比为2:1,且存在APGK,则称此椭圆或双曲线存在“。点”，下列曲线中存在“C点''的是（）A.+-=1B.工+E=1C.-=1D.x2-=363216155415【答案】C【分析】求出满足条件胞=£时的IWI和IPE|,再求出用，验证IPKl,山人I能否是三角形的pf21三边长，即可得.【详解】隐=；，则IP周=2P周，若是椭圆，则IMl+1尸园=3|尸闾=勿，|?周=甲，|尸制=¥，2133若是双曲线,则IPKHP闾=IPKI=2",PK=4,A中椭圆，=6,c=2,%=4,归耳|=8,恒周=4,不存在AP/M；B中椭圆，=4,c=l,IPKI=IWI=与，由闾=2,不存在APK用C中双曲线，a=&=3,双曲线上点到到右焦点距离的最小值是。-。=3-6<等，P=25,P=45,国国=6,构成玛,存在“C点”,D中双曲线，a=lfc=4,陶=2,IPN=4,晤|=8,不存在刊记故选：C.【点睛】本题考查新定义“G点”,解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的尸点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形.从而完成求解.210. （2022秋广西钦州高二校考阶段练习）己知椭圆U±+y2=的焦点为6、F2,若点P在椭圆上，且4满足PO2=P娟”（其中。为坐标原点），则称点P为“”点.下列结论正确的是（）A.椭圆。上的所有点都是“”点B.椭圆C上仅有有限个点是“”点C.椭圆C上的所有点都不是“”点D.椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“”点【答案】B2【分析】设点P（,y）,hPf=PEP尸2得出关于“、丁的等式，由求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点Pay）,则y2=>,K（后0）、（6o）,IP用=J（x+可+y2=x2+23+3+1-=2x+4=2+*x，M=4-P"="（2+啕=2一字由IPw=阀HP玛I，得f+y2323x2K- + l=4-,解得X=±&，此时y=±,所以，椭圆C上有且只有4个点是点故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.11. (2019秋北京高二北京市第十三中学校考期中)已知两定点M(T,O),N(LO),若直线上存在点P,使IPMl+1PNI=4,则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是()y=x+l；y=2；y=+3;()y=-2x+3A.B.C.D.【答案】D【分析】易得点P在以M、N为焦点的椭圆江+£=1上，“A型宜线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方43程由判别式验证即可.【详解】两定点M(T,0),N(1,O),IPMl+1PNl=4,.P在以M、N为焦点的椭圆上，且=2,c=l,"=3,故椭圆的方程为工+工=1,43满足题意的“A型直线”和椭圆有公共点,联立+1和三+21 = 143,消整理可得7/一8x-8 = 0,故A>0,即直线与椭圆有公共点，即为“A型直线”,联立y=2和E+E=l,显然无交点，故不是“A型直线”，4322联立y=+3和工+21=1,消y整理可得7f-24x+24=0,43故A<0,故不是“A型直线”，22联立y=2+3和1+21=1消y整理可得19/-48x+24=0,43故>(),即直线与椭圆有公共点，即为“A型直线”，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12. （2017春吉林高一统考期末）已知平面上一点M（5,0）,若直线上存在点?使IPM"，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A.B.C.D. (3X4)【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于，点M到直线.vr+l的距离4=S关=3在>4,故不存在点P使IPM%，故不是;对于，点用到直线严2的距离d2=2V4,故存在点P使仍M",故是；对于，直线方程为4片3产0,点M到直线4x-3y=0的距离d?=区YW=4,故存在点P使IPM"，故是;对于，点M到直线产2x+l的距离H=-Y）+1=>4,故不存在点2使IPM4,故不是.综上可知符合条件的有.故A,B,D错误.故选：C.二、多选题13. （2022秋福建厦门高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新四。.设计师的灵感来源于曲线Ckr+1W=I.其中星形线氏|#+席=1常用于超轻材料的设计则下列关于星形线说法正确的是（）A. E关于y轴对称B. E上的点到X轴、y轴的距离之积不超过:OC. E上的点到原点距离的最小值为!D.曲线E所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A由Uy）、（-乂y）均在曲线上即可判断：B应用基本不等式kF+,g2H即可判断；C由+=（+（）3,结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据|卡+|步与+lyl图形的位置关系判断.【详解】若,y)在星形线E上，则(-,y)也在E上，故E关于y轴对称，A正确；叫J+),F=l2j7=2孙t则IXyi当口仅当IXHyl时等号成立,B正确；22222222(x2+y2=*)3+(9)3=(%3+y3)(+)2_3(孙户=1-3(孙户-,当且仅当IXI=Iyl时等号成立，故E4上的点到原点距离的最小值为C错误；2222曲线E过(±1,0),(0,±1),由+y即+1再=1，则即+1声在1幻+3所围成的区域内部，而IN+3=所围成的面积为2,故曲线E所围成图形的面积小于2,D正确.故选：ABD【点瞄】关键点点睛：应用基本不等式有+bg2dH,由f+=(¥>+(jy及立方和公式求两点距离，利用以F+y百与+y图形的位置判断面积大小.14. (2022全国高三专题练习)已知曲线C的方程为F(X/)=0,集合T=(x,y)IF(x,y)=0,若对于任意的(不M)T,都存在(七,力)£丁，使得52+Y%=0成立，则称曲线C为E曲线.下列方程所表示的曲线中，是E曲线的有()22A.3+q=1B.x2-=lC.y2=2xD.>t=x+l【答案】AC【分析】问题转化为Pa,y)e7,存在Q(W,%)eT,使得OP_LOQ,根据这一条件逐一判断即可.【详解】A：+=l的图象既关于X轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点x,y1)T,存在着点。(X2,”)使得OPJ-OQ,所以满足；B：x2-=l的图象是双曲线,且双曲线的渐近线斜率为±1,所以渐近线将平面分为四个夹角为90。的区域，当P,。在双曲线同一支上,此时NPO<90°,当P,Q不在双曲线同一支上，此时NPOQ>90o,所以ZPOQ90。,OP±OQ不满足；C：丁=2”的图象是焦点在X轴上的抛物线，且关于X轴对称，设P为抛物线上一点，过。点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于。点，所以NPoQ=90。,，所以OPLOQD：取P(0,1),若OP_LOQ,则有%=0显然不成立，所以此时OPLOQ不成立，故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15. (2021秋河北保定高二顺平县中学校考阶段练习)在平面内，若曲线C上存在点P,使点尸到点A(3,0),矶-3,0)的距离之和为10,则称曲线C为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是()A.x+y=5B.X2+y2=922C.+-=1D.X2=6y259【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可.【详解】解：设点P的坐标为(,y),因为点尸到点A(3,0),B(-3,0)的距离之和为10,由椭圆的定义可得点P的轨迹方程为：学方1，(x+y=5X2V2整理得4L-250x+225=0+=12516=2502-4×41×225=25600>0因此曲线“+y=5上存在点P满足条件，所以+y=5是“有用曲线”，故A正确；对B,因为曲线/+),2=9在曲线+(=的内部，无交点，所以f+V=9不是“有用曲线，故8错误：对C,曲线工+工=1与1+1有交点(5,0)与(-5,0),所以片+E=是“有用曲线，故C正确：对D,曲线f=16y与宗葛=1也有交点，所以V=I6)，是“有用曲线”，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点。满足的方程，所给选项中的曲线只要与点P满足的方程有交点即符合题意.16.(2021秋辽宁高二辽宁实验中学校考期中)双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段48长度为2,动点”满足M4M8=/,那么”的轨迹称为双纽线.已知曲线C：7+(y-l)2x2+(y÷l)2=1为双纽线，下列选项判断正确的是()A,曲线C过点(0,0)B.曲线C上的点的纵坐标的取值范围是-近,应C.曲线C关于X轴对称D.P为曲线C上的动点，AB的坐标为(U)和(0,T),则/¼B面积的最大值为2【答案】ABC【分析】将点(0,0)代入曲线C方程可知A正确；利用Jx2+(y_1)2&y_卜Jf+(y+)2y+可求得2_1卜1,进而求得y的范围，知B正确；设曲线C上的点(x,y)关于X轴的对称点(X,-y)代入曲线C方程可知ClE确；由S.PA8=；IPAHPBkin。知当¾_LPS时，J¾B面枳最大，验证可知曲线C上存在点P使得RA±PB,可知(S.：Lx=g，D错误【详解】对于A,将(0,0)代入曲线C方程，知方程成立，曲线C过点(0,0),A正确；对于B,.2+(y-)2(y-l)2=y-1|(当且仅当X=O时取等号)，7+(y+l)25(>,÷1)2=b+1l(当且仅当X=O时取等号)，.J+(y-1)2JX2+(y+)2"y-Hy+1=卜一"(当且仅当X=O时取等号),gJ-ll,.-l-ll,解得：-应y,即曲线C上的点的纵坐标的取值范围是卜J,应,B止确；对于C,设曲线。上任一点为(x,y),则其关于X轴对称的点为(乂-)，)，.x2+(-y-l)2yjx2+(-y+)2=次+()，+1)2+(尸炉=1即点(,-y)也在曲线C上，曲线C关于X轴对称，C正确；对于D,设NAPB=6,则SPAB=勺叫归MSin，P为曲线C上的点，Rf冏=1,S办B=；sin。，则当Sino=1,即PA_L08时，(Spab)na=1,、po+yo=,x°三2当EAL依时，设尸(/，几)，则G而(一而解得：A'M%+(%)Jo+(%+)=1h=-即曲线C上存在点P,使得R4_LPB,.(S廉)ma=g,D错误.故选：ABC.17.(2021秋江苏南通高二江苏省包场高级中学校考期中)黄金分割比例更二1具有严格的比例性、艺术2性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率6=更二的椭圆称为黄金椭圆"，则以下说法正确的是()222A.椭圆5+J*+=1是"黄金椭圆”B.若椭圆W=l(>b>0)的右焦点为产且满足从=生，则该椭圆为“黄金椭圆”cb22C.设椭圆5+£r=l(>b>0)的左焦点为八上顶点为8,右顶点为A,若NAB/=90。，则该椭圆为“黄crb金椭圆”22D.设椭圆£+方=l(>b>O)的左、右顶点分别是4,D左、右焦点分别是F2fFiF=AFlFlBt则该椭圆为“黄金椭圆”【答案】ABC【分析】定义离心率e=叵口的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及e=£、2aa1=b2+?列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A：由题意得/=有+1,从=2,故”=JI一、=62»故椭圆+,+=1是“黄金椭圆”，故A正确；对于B：b2=act即。2-02="c,故产+”1=。，解得e=叵Zl或e=二1(舍去)，故该椭圆是“黄金椭圆”，故B正确；22对于C由NABF=900得3+靖=七+从+从+。2,化简可知由+©=。,解得e=逝二！或e=捶二1(舍去)，故该椭圆是“黄金椭圆”，故C正确；22对于D：由恒用2=HEl,得(2c)2=(-c)(+c),则6=或(负值舍去)，故该椭圆不是“黄金椭圆”，故D错误.5故选：ABC三、填空题18. (2023春北京高三北京市陈经纶中学校考开学考试)卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：工+f=l(x>-2),。为坐标原点,点A。)，点P为卵圆上任意一点,则下列说法中正确的是.x+24',卵圆C关于X轴对称卵圆上不存在两点关于直线X=；对称线段尸。长度的取值范围是1,2ZOAP的面积最大值为1【答案】【分析】利用点(,y)和(XLy)均满足方程，即可判断：设(孙先)和(17。,)，。)都在卵圆C上，再解+2l=ixn+24、2即可判断；利用两点间的距离公式表示|。叶，然后利用导数研窕其最值，即可判断;(I。)I尤二1%+24利用三角形的面积公式表示出S以，然后利用导数研究其最值，即可判断.【详解】对于，设(Ky)是卵圆C上的任意个点,因为上+肘-+2i=,所以点(XLy)也在卵圆C上,x+24又点(,y)和点(,-y)关于X轴对称,所以卵圆C关于X轴对称，故正确;对于，设(七,为)在卵圆C上，(小,北)关于直线4=；对称的点。一瓦，%)也在卵圆C上，X0+24：、，解得(I-AO)I券=11-x÷24Xo=TTC或NO=OAi)=2%=。'所以卵圆上存在(-1,0),(2,0)两点关于直线X=；对称，故错误:对于，由哀+?=1,得土=Iv所以工1,又>2,所以一lx2,x+2,(f则防=x2+=x2+41-+4x+2_7V2令"D=X+2+4,(xeT2),、2x(x2+2x-4.r八则r(x)=1+2)G<T2>令r(x)=o,则X=O或一i±b当一1vx<0或一1+正<工<2时，fx)>0,当0<x<-l+5"时，(x)<O,所以函数/(x)在(T,),(+62)上递增，在(0,T+石)上递减，又/(-1)=1，/(。)=4,/(-1+有)=26-106/(2)=4,且26-l/>l,所以/"：L="GL=4,即向屋口川，所以IOH1.2,故正确；对于，点P(Ky),w,2,v2“XX(X+4)令g(M=，,TX2,则g(x)=71-r,-lx2,当一IVX<0时，g'(x)<O,当0<xv2时，(x)>0,所以g(x)在(TO)上递减，在(0,2)上递增，所以g(4n=g(0)=0,此时AQAP的面积取得最大值1,故正确.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.19. (2023高二课时练习)在平面直角坐标系中，A(T,0),8(1,0),若在曲线C上存在一点P,使得N4P8为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为.(填序号)22f=4y；=/-r=1;(x-2)2+(y-2)=4；3x+4y=4.【答案】©【分析】根据曲线上存在"钝点''的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点尸的坐标为(,y),若NA08为钝角，则一IVCOSNAP8<0,所以尸AP8<0,且AP,8不共线，所以(TT)(IT)+(-y)(-y)v,且y0,化简可得/+)<l,yH,反之若V+/<LyO,则NAPB为钝角,对于曲线V=外,取曲线上的点呜,总，因为(J)+(3)<l*°'所以NAEB为钝角，故曲线W=4,，为有“钝点”的曲线；对于曲线+=l,若曲线上的点F(ry)为“钝点”,则K2L=,x?+<l,y1O,所以:”：<一1,矛盾323所以曲线+£=1不是布，钝点，的曲线；32对于曲线/-),2=,若曲线上点G(2,%)为“钝点”，则4-式=1，芯+为<1,%=0，所以£<。，矛盾所以曲线Y-),2=不是有“钝点，的曲线；对于曲线(x-2)2+(y-2)2=4,取曲线上的点M(2-点,2-忘)，K(2-)2+(2-2)2=12-82<1,2-2O,所以NAMB为钝角,故曲线(x-2y+(),-2)2=4为有“钝点”的曲线；对于曲线3x+4y=4,取曲线上的点N停,3因为(g)+(J)<1,所以NAN8为钝角，故曲线3x+4)，=4为有“钝点”的曲线.所以曲线为有“钝点”的曲线.故答案为：.20. （2023秋广东茂名高二统考期末）法国数学家蒙日（MMge,1746-1818）发现：双曲线U=l（a”>0）的两条互相垂直切线的交点尸的轨迹方程为：x2+y2=a2-b2t这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线，y2=go）对应的蒙日圆方程为/+y2=3,则“=【答案】2【分析】根据题意写出双曲线V=I（。>0）对应的蒙日圆方程，可得出关于。的等式，即可求得正数。的值.【详解】由双曲线/-y2=（q>o）的方程可得从=,2由蒙口圆的定义可得双曲线十y2=（q>o）对应的蒙日圆方程Y+/=?,所以/一从=3,gJa2-=3,可得4=2.故答案为：2.21. （2023全国高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是.（填写序号）（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确：由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误：取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：(1) (2) (4)【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解,属于中档题22. (2023全国高三专题练习)定义：点尸为曲线L外的一点，A8为L上的两个动点，则NAPB取最大值时，/"B叫点尸对曲线L的张角.已知点尸为抛物线UV=4、上的动点，设P对圆M:(x-3)2+V=的张角为6,则COSO的最小值为.3【答案】44利用距离公式，结合【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断IEMl最小时CoSe最小，再设P二次函数最值的求法求得IPMl最小值，即得结果.【详解】解：如图，cos=cosZAPB=cosAPM=1-2sin2zAPAM1,l要使cos。最小，则SinzAPM=扁=网最大，即制QM最小."卜），则归Ml=J（?一31+/=旧_4/+8，2 3 =4当宗=4,即=12时，IPMlmin=2五，5乙针二向二壶，止匕时P(l,2)或。,一2),(cos0min=1-2sin2ZAPM=1-2×3故答案为：4.4【点睛】关键点点睛:本题的解题关键dJ理解新定义，将cos。的最小值问题转化为线段IPM最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23. （2022.全国高二专题练习）在平面直角坐标系X。），中，点M不与原点。重合，称射线OM与V+J=4的交点N为点M的“中心投影点”，曲线产一万=1上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是,【答案】y【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线），2-：=1的渐近线方程为：y=±*，设渐近线与圆f+V=4的交点分别为AC民，如下图2则曲线丁-,=1上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧AB,CD由题意NAoX=生，所以NAOB="63所以AB=生x2=如,则4B+C。=包33324. （2020浙江高二期末）把椭圆。的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C'的长轴、短轴,使椭圆C变换成椭圆称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆Ga=O1，2,A）“压缩"成椭圆C”得到一系列椭圆GQ2,C3,当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆CO经过53）次“压缩”后能终止，则椭圆C.2的离心率可能是"，®,立，正中的.（填写所有正确结论2533的序号）【答案】【解析】分类讨论，确定压缩数为2时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论.【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴>焦距，则压缩数为时，半长轴为。，半短轴为J半焦距为C所以压缩数为n-l时，半长轴为次半短轴为。，半焦距为c：压缩数为-2时，半长轴为亚717,半短轴为夜不"半焦距为。Y压缩数为时，2=c2+e2=2c2,Cz的离心率=/'I,=y2a2+c25同理，若原椭圆，短轴V焦距，则压缩数为时，半长轴为半短轴为J半焦距为C所以压缩数为n-l时，半长轴为GT7,压缩数为-2时，半长轴为半短轴为c,半焦距为"777，压缩数为时，a2=c2+c2=2c2.CM-,->Ja+c?>J3.Cn_2的离心率=/、,=.24+c2故答案为：®.【点睛】木题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25. （2018北京高二统考期末）已知两定点M（-2,0）,77（2,0）,若直线上存在点尸,使得|加|+|8|=6,则该直线为“7型直线，.给出下列直线,其中是“T型直线，的是.y=x+2y=3y=r+3y=gx+3【答案】【分析】根据椭圆的定义将'7型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点尸的轨迹是以M,N为焦点的椭