专题1-10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（解析版）.docx

专题IlO数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题胸回O求和后放缩三三放缩通项再裂项相消求和三s放缩成等比数列朝根式的放缩三s跳过第一项再放缩求和利用重要不等式放缩s三通过糖水不等式进行放缩型不放缩后错位相减求和Mfe数列恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和：第二，将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.I.常见的裂项公式：必须记111,212例如：<-<或者I-r=<-c=<-<=/等h(11+1)n(n-)nw+l÷?w?+w-l2 .一个重要的指数恒等式：次方差公式/一b"=(-力)("T+"力+d%2+帅”2+Z)I)这样的话，可得：an-bn>(a-b)an-xt就放缩出一个等比数列.3 .糖水不等式分子分母同加常数：>(b>a>O,m>0),>(>b>0,m>0)aa+maa+m常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型1 1II/小(1)-1PJ-=-7一(2);n(n-)nn-n2 111>='n2n(n+)nn+,、I44(11(3)-T=I一<=2I一n24n24w2-12w-l2w+lEil加Il1II/c、(4) KJ/=而切i7<K;O=k：(E；二、根式型(5)y/n y/n + yfn jn- + G291+ )( 2)；（7）y/n yfn + yfn yfn + y/n + 1=2C-yfn + yn+ 1 j ；(8)yn +1 -yjn 1ynn2 y(n-)n(n+ ) y(n -1 )zz (w +1)J +1 - >n - 1“2); yn2 n + yn n2 nn -1 + (n - 1)w J( (五 + yn-三、指数型2n(10) (2-l)2 (2-l)(2rt-l) < (2-1)(2-2) (2n-l)(2,1-1)112w, -1 2n -1( 2 2):(11) (1 + ：<1+1+1<3；1×22×3(w-1)«_22_2_(12)亚丁(1+1)-飞+0；+_=(+1)二厂才；2"T11_z)(13)2n-<(2n'-1)(2-1)2,-12"-1"此',(14)2(77+1-4n)=-I-r<4-<-Il=2(4n-Jn-).?+1+ynz"+h-1酗O求和后放缩1.已知=4x3"T,设f = l0g3筌,看为数列2+，的前项和.证明：lq<2【解析】 = iog3 = iog3r=w,所以1一一三<1,即（<2,是单调递增数列综上，7L<2.1_1-1I'111anan.(2w-1)(2w+1)21-12/z+lJ,2.已知“=2-1为，证明:+，/36出a2aianan,2【解析】I1IIjIIlI1、1。1、11axa2a2ayanan2(3352-12n+lJ22n+l)22(2+1)I111随着的变大，万一1而TD变大，故当二1时，y2Q.+i)取得最小值'11111I最小值为万一=,JL2-2(2/?+l)<2,故1.+，/3。必2。2。3anan13.已知4=产，设"=：%，记Z=U+&+>,证明：7；<1.【解析】bn=-=t_12n=尹+K+''+而,ITl2n27"=2+2t+",+27t,两式相减得=*+摄+击一券，ZTII1fl所以I=初+齐+广1714n,1n,n+2,产=1万=1<i4.已知数列%中，=；,%.=%-%("2N),数列也“满足=J("N).求数列4的通项公式；（2）设数列看的前项和为q,证明【解析】（1）当=1时，4=3,a,11a.-an,当2时，Ft=1,%an-an-I所以数列"是首项为3,公差为1的等差数列,所以数列通项公式为“=3+(-1)x1=+2.11If11>因为欣所以+，+，+3+24+3-5+4-6h"Illl4n-1+1n+2,M1+r-TMT4vh;1I«+2+w+12+32+22因为1+I"=1>IJ=T+1+2(+1)(+2)(+1)(+2)(w+l)(w+2)n+2f3Ifl1131231<=.42+1+2J42n+24n+2'豳照放缩通项再裂项相消求和5.已知。“二+1,若数列图的前项和为小求证：7；|.【详解】证明：由（D得q=+1（"N*）,.1二1二4.4二4_rj1!_所以f=e+l)2=4("+l)2<4("+)2f=(2/+l)(2+3)=-2+3111112n+2+36 .已知数列%前项积为小且勺=，设S.=邛+n2+窗，求证：5w>an+1-ln+12【详解】Tn =aya2anX ××=2 3 n+1 n+l所以s“=(2+"+7L2二W+110.已知%=二,若b.=ai-att, S”为。的前项和，证明：12S,<15. 2 3+"+111IlllIlll>+=+=2×33×4(11+1)(+2)2334n+r+22n+2所以S,>/+1-5.7 .设%=l+f*+1,N2.求证:an<2.解析=1+-+-l+4+"E=kk>k(k-),k2(只将其中一个左变23n23n成£一1,进行部分放缩)，2<7t=17一),K,k(k-1)-1于是.l+*+*+<l+(l-g)+(g4+(=-5=2一4<2.,1rs3.己知为二2-1,设£=7=,数列4的前项和为求证：Tn<-1.11解：S".，”=(2"1)户而FA=I1.111I(Il)可知当“2时，nn(2n-n(2n-2)2(-1)211三n)=Ih1I<-,不等式得证2(n)28 .已知/=土=(£“)，记%,eN,S.=7；2+6+年.证明：当gn时，w+2v,432【解析】Tnala2-an=-n+2.7.4>4/_!qn(+2)2(+2)(+3)n+2n+3)'Ien+2224"w÷33+1312所以，当GN'时，-Sn>an+i-.211+2n+l2rt+2n+3解析.=,bn=：_4'=-«=-：-Ti1=-；×-：,w,I.Sfj2"，'3，nn,n2"+_32"+_32"_32"_3'.N2+1-3>0,.h=：X：>O,/.S>S.=h.=12f24,S,=Z>,+¼=12+-<15,21225.12S<15.)n1711 .已知数列a”=".?,设G=一,求证：c1÷c2+cn<n1解：思路：C"=-,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：<）,若要放册“2缩为裂项相消的彩式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以（一1）,再进行放缩调整为裂项相消形式。n1n-解:，丁百二许F厂112w-(?-l)_n+17，J(«-1)2m-,_7F=w(w-1)2mn(n-)2nw-1所以CL而至7；(w2)(-1)2m-,7212 .已知%=2"-l,（的前项和为S”，4>0,片=1+飞,数列2的前项和为7；,证明：Tn<n+.,2【详解】Sn=心则ST=S+I)?,=1÷71=F'则“里卢, n2 +2/? + 3.D -1 ="W + 1(zi + 1)2( + 1)yn2+2n+3-(+1)-1=(+1)y(n+1)+2+(z+11117<(+1)2n+1'Tn=hi+h2+-+bn<n+-</?+1+lS放缩成等比数列13 .(2014全国2卷)已知为=1,证明：-+÷-<.1211解析：-=ft,因为当附3T2b,所以fihF1111于是一+ <a a2 %11 1-+ r+ H-=3,31 2 33m,1-上=-i3ULx 1.2 3”2所以1111<./a2%an2注：此处3"-l23"-便是利用了重要的恒等式：次方差公式:231当然，利用糖水不等式亦可放缩：<=i-,请读者自行尝试.3"-133n13n+1 +314.已知%=Ft211111证明：-+-+<7%a2%3【详解】121212=×<X=33"+l33"3+,所以 "L+_L+，+2 2 2<7÷7÷7÷2, +产=I 1115.已知q=23",记=J：*nwM，求证:3【解析】当=1时，Z>=-<1：,L2an4x3“3“3”3n,J'"(an-2)%3一433一3"(2×3n-2)2(3-I)2(3"-l)(3"-3)(3"-1)(3"T-I)1 z11、=(一)2 3"T-13o-所以4+4+"<4+g(±-±)+;(七-/)+.+T(F=Im)TT忌XL16.记q=3"-1,证明：一+,+<1.qa2anI1三-,2123"-2-3"3n-2C.=>O,3"3-13n(3-l)3rt(3n-l)【分析】当=1时，验证所证不等式成立，当2时，由放缩法可得出A，7，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【详解】解：由a=凡一1=4”一1,所以，=44-'-1=34w,+4,l-134n",134,当"=1时,当 2时,1F4A h2<1 1÷11 114 424m, ) 3I-14494< .9综上所述,11 I 4对任意的eV, £ +18.已知数列an= 3z, hn = 2"T ,求证:对任意的'N"且 2,有+ +a2-b2。3一"。一"解：证明：7还Ta,bn3-23“1319.已知"=3"-2",求证：对任意的eN,-<-./=1幺UW1=_L_1故式LLLL4÷l÷.-L=141n=2i-(lr<2lhrj3“-2"”3故也4b24332尸112l(3n2r3S13所以2<k-M¾2根式的放缩2°石J?+舟石+7七+而壮丽的整数部分是（）C. 5D. 6A.3B.4【答案】B【分析】注意到 1 + 1) Kn + 1 - Jft-I)据此可得答案.【详解】-Jn+yn+>n+-Jn+1因 4n + yn + 1 >Jn - 1 + 1yn + I - yn - 1yn I + yn + 11+ 1 yn 1 jyn + yn - 2则Er瓦"+标右+标旃<i(2-0+-+->+÷00-c511y/n+2G-Jn+2Gfn+Nn+1w+J"+2+yn+2)(J、+2AAr)21111，UEr耳kE+标旃ioof÷2 3+4 5+699-Ib<5,即整数部分为4.2023届广东盾综合素质测试(光大联考)21.已知正项数列/的前n项和为S”，且满足*=2,R-l.(1)证明：数列代是等差数列；(2)设数列的前n项和为7；,证明：T00>18【详解】当2eN时，由a：=2qfS“-l=(S”-SI)2=2(S.-S"JS“-1=S：-SL=1,所以数列S：是等差数列；(2)S；=2S|SInSj=I,由可知数列S：是等差数列，且公差为1,所以S：=l+(-l)l=，又因为数列血是正项数列，1.lI22所以SLaF忑F>不Eoo>2(2-l)+2(3-2)+2(iT-iO)=2(iT-l)>2(iO-l)=18.22 .已知数列氏二6-1的前项和S”，设数列低的前项和7；,且满足“=2ZTn<-y3n+2解:S'=3+2”,b'=J"V3+2?3T223 .(2021浙江卷)已知数列4满足q=1，。川=告(WN).记数列%的前项和为s“，则()1十V"”399A.5<S00<3B.3<S00<4C.4<S100<-D.<5,00<5解析：由4+1、21 + 211即-=< 根据累加法可得，-f= q,+ 4 2M, n-1 n+11+=当且仅当 =1时取等号，.,也：品了a,l an n +1-V= - =q1 + M 1 + 2 + 3 + 1n+ n+2n SIoo>|.另一方面&h二，由累乘法可得q, 2q, + 35 + l)S + 2)'当且仅当 =1时取等号，由裂项求和法得：所以SH)O 6Illlll11+ -+ , + 2 3 3 4 4 5101 1022 102<3 ,即m<*oo<3.故选：A.跳过第一项再放缩求和24.已知勺=2 ,设数列""=J，；'证明： +b2+- + bt 2>n - 1 .b、+%+4+bfl,.1+2(>/-+y/32+.÷yny/n-1)=2fi'-1.从而得证.1111c厂，25.已知数列4满足=1且”&=，求证：+.2yn.00I030n1jf【解析】数列满足4=1且，所以当.2时，-1=-l,故丁二川一，T,所以!+；+；+.+!=1+他-4)+(64-62)+.+(6"+1-l)bb2Abn=-+Z>L.2w126.已知4=6,若s=。2”-1，数列C，的前项和为北，证明：211÷1-,<7L2w-lIAJ【解析】c=-,=2w-l,则J=&：_.先证7；4。21：当=1时，%=1,方=1,满足当 2时,1_2<2cnJ2-1j2n-+yfn-戊-1+-3所以<+(6-1)+(后-0)+-j2-3)=J2-1=%”-,1122/T-r-再j正>an.-1：因为一=I=zI>ll*2412w-1cn2w-12w-l+V2n1J2+1+2-1所以(石-1)+(石-VJj+-+(J2+1-，2-1)=>2n+-1=a2n+l-1.故不等式r+-l<M%1成立.27.己知S hi 252"'证明：S(ij7bl 2 c 25【解析】当 =1时，近二了 =百可=2<丁，不等式成立；仅 44b. Ar 4 22 25当 =2 时，(z>2i)2=(4-1)2 =9* 所以(伪_1)2+(4 二1J =2 + j = g.7222T当 3 时，(2-l)2 < (2n-l)(2n-2) - (2rt-l)(2w-,-l) 2,l-1 - 2-1 »S U h b-, b3bn所以'S(-l)(-l)2 + (-l)2+(-l)2+, ,+(-l)2221125125= +- - I= I< 922-l2rt-l92w-l9 '不等式成立;弋 bj 25 所以?L.得证.利用重要不等式放缩28 .设S.=11+5+J"（"+1）.求证*vS,与上解析此数列的通项为4=J攵（攵+1）,9=1,2,.kk（k+l）k=）+，S”£（+），22人=i幺即M"+Ds/（+1）IJS+1）22222,注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式疝等，若放成Mk+1）k+1则得Sj力（八I）=S+吁+3）”上,就放过“度”了！hi22根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，=2,3等的各式及其变式公式均可供选通过糖水不等式进行放缩29 .求证(1+1)(1+；)(1+§(1+五匕)>J2+L利用假分数的一个性质->"jb>>0,m>0)可得aa+m=>(-)2>2w+1Hp(1+1)(1+-)(1+-)(1+)>2+l.1352w-l352n-放缩后错位相减求和2024届广州仲元中学校考<22(mN*)30 .已知q是公差为2的等差数列，其前8项和为642是公比大于O的等比数列，4=4,-b2=48.求和也,的通项公式：(2)记%=%“+1，eN.,证明：WDn【答案】=2-1,bn=4（2）证明见解析【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解,（2）由放缩法与错位相减法求和证明.8x7【详解】（I）对于等差数列/,S8=81+-</=64,而4=2,解得=1,故氏=2-1,对于等比数列4,G=4,则4-4=48=4（-夕），而公比g>0,解得g=4,故”=4"I+卜则厝曰(2k 1)(2 +1)44i +24i +(44i得 S = 2-r7r27<2,故Sj逐1<is<2原式得证.c12nKIIlOl2n令S=+齐+6,则,s=n+w+yr?，2»+1，两式相减得Ls=L+_二=122222,Z+,7数列恒成立问题31 .已知等差数列q的前项和记为S.（wN）,满足%2+243=S5+6,数列S.为单调递减数列，求4的取值范围.【答案】（-,2）【分析】设等差数列%的公差为d,由已知可得d=-2,求得S”，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围：【详解】设等差数列凡的公差为d,由于3%+2%=S5+6,所以3（。+d）+2（q+2d）=5q+IOd+6,解得d=-2,所以Sn=HaI+，"；"d=-n2+（4+1），若数列s.为单调递减数列，则S,向-SzIVo对于N"恒成立，所以S“+1SfJ=-(+1)+(q+1)(+1)-一*+(q+1)”=4-2<0在wN，上恒成立，则/<2，所以q<(2")min,又数列2为递增数列，所以(2),皿=2x1=2,即q<2,故q的取值范围为(-,2)32 .已知数列6满足：4=1,2%+=%.设”=(-3-2)q,若对于任意的eN',"4恒成立，则实数2的取值范围为【答案】g,+【分析】由q=l,2%=%可得%=击，进而得到“J；1",结合一"=一当=1,分1“5和26分类讨论，确定数列4的单调性，求出"最大值，进而得解.【详解】由数列%满足=1、2,"=”得：唱是首项为1,公比为g的等比数列，.C.,W2-3n-2 二广，=，.,(w+1)2-3(w+1)-22-3w-2。-5) +-=7，当1“5时，+1-0,+1,当且仅当=5时取等号，=,当"6时，h<,.,.+<,当5时，数列"单调递增，当26时，数列也,单调递减，则当=5或=6时，()=y-1f2=l,wZmax242而任意的eN","2恒成立，则4;, 实数4的取值范围为；，+8).33.已知数列。对任意机，WN*都满足m+”=w+”,且=l,若命题24胫。；+12”为真，则实数2的最大值为一.【答案】7【分析】先求出%的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令加=1,则alrH=an+/,anu-an=l,所以数列all为等差数列，首项为1,公差为1,所以atl=",12所以a11a：+12=>n<n2+12=w+,12又函数y=x+:在(0,2JJ)上单调递减，在(2>5,+8)上单调递增，12当=3或=4时，(n+)mjn=7n所以；l734.数列qr满足4+2%+226+1+若对任意;1>0,所有的正整数都有2-k+2>anJStALf则实数A的取值范围是.【答案】(to,应)【分析】先由题设求得见,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意义>0,所有的正整数都有万一8+2“成立转化为攵<4+-对任意4>0恒成立，再利用基本不等式求得4+-的最小值，即可得22到答案.【详解】由q+2%+2?%+L+2w,n=(w+l)w(w-l),当2时，q+2%+2%+L+2"=弓(一1)(一2),两式相减可得：2"“。”=(w+1)w(w-1)-w(w-1)(w-2)=(-1),*an=TI),由=°，显然成立，工(+1)w2÷w-Zn2+In-/+3段w÷an-y声-=2"=2"，；当0<"3时，4/-q,>0,当之4时，an+i-an<O,因此，0<"3,数列6单调递增，当4时，数列"单调递减，由q=5，"4=5，故当=3或=4时，数列4取最大值，且最大值为Q.对任意l>0,所有的正整数都有;l2-+2>/成立，可得万-Za+2>,因此，k<2+-t即<4+一对任意4>0恒成立，22由8+-2J2L=6,当且仅当；1=二，即丸=&时取最小值，则4<(2+占=2,2V222k2Jmin实数的取值范围是卜).35 .已知劭=32+，若勺22"对于任意eN恒成立，则实数丸的取值范围是.【答案】【分析】先分离参数将问题转化为号*4对于任意eN,恒成立，进而转化为(即J)nm;l,构造=-1,再作差判定单调性求出数列4的最值，进而求出入的取值范围.【详解】因为册=3M+，且42对于任意eN恒成立，所以浮'4对于任意eN恒成立，即(浮马ma”,人.+nri1.3(+1)2÷(w÷1)+n-3+Sn+4令我二£L，0,j÷-=-犷一二一访一311因为,一"二。，&-a=1>o,-b3=-<0,且%-2=h*1<0对于任意3恒成立，所以a<4<H>">a>，即(浮&)m=h=?,所以实数4的取值范围是36 .设S“是数列%的前项和，S.=/-3"、若不等式见生尹对任意N,恒成立，则上的最小2yk值为()A.B.C.-D.36936【答案】D【分析】利用q=【：”：得到q=18,勺3%=4x3",变形后得到黑是等差数列，首项为%一，1，223J6,公差为4,从而求出%=(4+2)-3",故代入谷二整理得2次5,利用作差法得到单调递减,Tk33最小值为:，列出不等式求出答案.3【详解】当=I时，al=Sl=-al-321解得：=18,当2时，A=SjSI=|勺-AJTQ+3，整理得见3=43",方程两边同除以3",得条-得=4,又多=6,故导是等差数列，首项为6,公差为4,所以争=6+4（-1）=4+2故见=(4"+2)3",经验证，满足要求,“In2+n,l（7c”2n2+n所以q,J=为（4+2）3>T=-<kJk故2j,对任意"N+恒成立,n +1 n n + -3n3". y 3".1-2.,.n+1n1-2八当“1时，y-=-.,7J+1n故才弓孑单调递减，当=1时，/取得最大值?，故2«二，解得：kL336则女的最小值为-3637 .已知数列的前项和为邑，满足：2a.1=%+a.+2(eN)且%,%为方程-18x+65=O的两根，且若对于任意eN”,不等式2Z(4T)>(q-l)2恒成立，则实数2的取值范围【分析】先利用等差数列通项公式求解,再利用数列的单调性求解数列=("N(2n-l)2n2的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.【详解】由2见+=q+%+2()可知数列勺是等差数列，设其公差为d,解方程2-18x+65=0得x=5或x=13,又%>%,13-5.a3=5,07=13,.a7-ay=4d,:.d=-=2,an=5+2(/-3)=2w-l.由2%“(4_丸)>(与_1)2得2"(2l)(4-4)>(22)2,.4人(-1)2殁6;(if,v22(2-1),"(2w-l)2n2,("I)?_2/+5/_2'''7n+,"(2w+1)2-'-(2w-l)2rt-2"(4w2-1)2,，由(42一1).2“7>0对于任意1<恒成立，所以只考虑-2/+5/-2的符号,设/()=一2，/+5n2-2(w1),f'(n)=一6n2+10/?=一2(3一5),令/'5)>o解得"<g,即/()在,g上单调递增，令/'()<o解得>g,即/()在>g上单调递减，/0)=1,/(2)=2,/(3)=-11,当3,/(x)(3)<0,当=1,=2时，/(w)>0,+->0,.bi<b2<b3t/、fv2'+5。2八当3,W<0,即加一“TH，即从“3,"开始单调递减,99即63=M,，4-4>w，即/<，.4的取值范围为卜8，£).38 .已知=2"Lbn=2n+t设数列±l前项和乙，求使得不等式1>£+线成立的的最小值.【答案】5.bn-4n1-2w解=L42"则(=T+(-3)x3+(-5)x/+CjT11/-13-2h-2n则/=-1×-+(-3)×-7+.+-r+,2_j_-IT,/c/111lx1-2/?,/八22"1-2_1-2n两式相减得：-t=-l+(-2)×(-+-+r)一一=-l+(-2)×2-=-，/，_3B，/2于是得7>-6+壶-景.由北>一£+得：¾<1,即2"-25>0,令c”=2Z-2-5，eN",显然，c1=-6,c2=-lfc3=-7,c4=-Sfc5=1,由。川一，=(2°一2-7)-(22-2-5)=21-2>0,解得>2,即数列%在N3时是递增的，于是得当21-2-5>0时，即SC5=l>O,"5,则mm=5,所以不等式7；>-当+笠U成立的的最小值是539.已知数列%中，q=l,满足qj.=2%+2-1(WN)(1)求数列4的通项公式；(2)设S”为数列%的前项和，若不等式22"+S"+4>0对任意正整数恒成立，求实数2的取值范围.解析：(1)%+÷2(+l)+l=2(az,+2w+l),所以。.+2+1是以+2乂1+1=4为首项，公比为2的等比数列，所以q+2+1=4X2rt,=2n+1,所以a“=2w+,-2-1.(2)5=l+a2+az=(22-3)+(23-5)+2n+l-(2w+l)=(22+23+2/A(3+5+7+2+1)=£1H1(3+2+1)=2“+2/4,若t2"+S,r+4>0对于TZZWN.恒成立，即2+2n>2-2-2-4+4>0,可得/IN">/+2”-2”即l>七且-4对于任意正整数恒成立，2w“t./+2."I.tn(n+2)ij,3-n2所以,4,令a=4,则“+-"=f",_Jmax所以a<b2>b3>b4>,可得)3、=8=2；：X2-4=_2,所以2>-2,所以4的取值范围为12111222rl0-j34"111417.己知%=±,数列"=勺-1,证明：r+-+-<-.n伪劣9