专题08数列专题（新定义）（原卷版）.docx

专题08数列专题(新定义)一、单选题1. (2023春.甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列4中，定义：GL"+"2+3:+为数列4的“匀称值，已知数列an的“匀称值”为3=+2,则该数列中的%0=()8C129n21A.-B.C.-D.354102. (2023春浙江高三开学考试)对任意正整数对优,Q,定义函数/S/)如下：/(1')=1,(f+l)(f+lj)=(y-)(i)7,则()A./(7+1,7)=1B./(Z)=2C7,C.r,j)=j(2y-l)D.j(4)=2rt+rz-2/=!=1/=I3. (2023春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列4,如果存在一个常数T(reN*),使得对任意的正整数%恒有则称数列q是从第项起的周期为T的周期数列.已知周期数列他J满足:4=1,=3,=,-2(3),贝*2023=()A.-1B.-3C.-2D.I4. (2023秋福建南平高二统考期末)若数列也的前项和为S”，btl言,则称数列低是数列q的“均值数列已知数列2是数列an的“均值数歹U“且”=，设数歹的前项和为。，若；(加2m+J-3)<T;对N'恒成立，则实数小的取值范围为()A.-1,2B.(-1,2)C.(-oo,-l)<(2,+)D.(-,-lu2,÷oo)5. (2023秋山西长治高三校联考阶段练习)对于一个项数列A:q,%,M,Sjt=q+g+q.(1kN"),记A的“CeSam平均值”为'(S+S?+Sn),若数列知出，即no的“。约2平均值”为2022,数列乂,生,4oo的“Cesmv平均值”为2046,则X=()A. 24B. 26C. 1036D. 15416. （2023春湖北咸宁高二校考开学考试）等比数列q中q=512,公比=用n.=q%表示它的前项之积，则n,2FL中最大的是（）A.1111B.11l0C.119D.1187. （2022秋北京高二北京二中校考期末）如果数列4满足&&L=K（%为常数），那么数列q叫做+1tln等比差数列，2叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）若数列4满足乎=2，则该数列是等比差数列；n数列"2"是等比差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列.A.©B.C.D.®®®8. （2019秋北京高三101中学校考阶段练习）定义在（,0）U（0,+oo）上的函数/（力，如果对于任意给定的等比数列“,/4）仍是等比数列，则称"x）为“保等比数列函数现有定义在（f,0）U（0,yo）上的如下函数：f（H=x2;f（x）=2J/（x）=Wx其中是“保等比数列函数”的序号为（）A.B.C.D.129. （2023秋吉林高二吉林一中校考期末）若数列6满足一-=0,则称%为“必会数列”，已知正项数列叫为“必会数列”，若4+%=3,则%+4=（）.A.-B.1C.6D.12910. （2022秋陕西渭南高二统考期末）设4是无穷数列，若存在正整数3使得对任意的N,均有则称,是间隔递增数列，左是q的间隔数.若4是间隔递增数列，则数列仇的通项不可熊是（）D.hn=-n(-2)n11. （2023全国高三专题练习）对于数列“,若存在正整数以A2）,使得4<4,4<矶，则称是O数列,的“谷值”，k是数列q的“谷值点在数列%中，若q=+7-8,则数列为的“谷值点”为（）A.2B.7C.2,7D.2,5,712. （2023全国高二专题练习）若数列包满足%=24-1,则称叫为“对奇数列”.已知正项数歹U2+l为“对奇数列”，且=2,则以=（）A.2x3"TB.2,C.2+,D.2"13. （2022春辽宁葫芦岛高二校联考阶段练习）设。（凡）表示落在区间Rq1内的偶数个数.在等比数列4一中，=4,2=11,则Q（J=（）A.21B.20C.41D.4014. （2023春湖北高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列叫，定义4.=+2%+2”%”为数列叫的“加权和“，已知某数列%的“加权和"4=2"x,记数歹Uq+川的前项和为，若（对任意的.恒成立，则实数P的取值范围为（）127-n167C512a169A.-B.-C.>-D.-"->-1.53JL73L25JL7415. （2023.全国高三专题练习）若数列他满足：若粼="（犯N）则=%,则称数列低为“等同数列”.已知数列饱满足%=5,且=>3l）,若“等同数列”低的前7项和为S”，且伪=%=",b2=a2fS5=Cii0,则S2Q22=（）A.4711B.4712C.4714D.471816. （2022全国高三专题练习）设数列凡,若存在常数/,对任意小的正数s,总存在正整数%,当%时，h-<5,则数列q为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是（）A.若等比数列6是收敛数列，则公比”（0,1）B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列q的前项和为S”（S.W0）,则数列一定是收敛数列D设数列%的前项和为S“，满足=1,Sfla1,则数列为是收敛数列17. （2022春安徽亳州高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列4:，生，,（m2）,若存在公比为4的等比数列旦向：伪，b2f%十1,使得a<4<dM,其中2=1,2,，如则称数列%，为数列4的”等比分割数列若数列A。的通项公式为勺=2"（i=1,2,10）,其“等比分割数列”%的首项为1,则数列综的公比4的取值范围是（）A.Q苍,2）B.（2tt,2）C.（2,2*）D.（2,2*）18. （2022春江苏无锡高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列m满足<a3-a2<<an-an,i<,则称数列即为“半差递增”数列.已知“半差递增啜列s的前项和S满足S.+2%=2l15N*）,则实数，的取值范围是（）A.（-00,-）B.（-,1）2C.（-,+）D.（1,+<x>）19. （2022浙江高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为4,则为磔的值是（）A.6B.12C.18D.108二、多选题20. （2022秋.安徽阜阳.高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列&满足：对任意正整数，1为递减数列,则称数列W“为“差递减数列给出下列数列吗（"£1<）,其中是“差递减数列”的有（）A.an=2"B.an=W2C.an=4nD.an=In/?21. （2023春江西新余高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列4满足：BA,BeRfAB0,使得对于MzN*,都有。“+2=AaM+&“，则称4具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.A.若数列q是等差数列，则q具有“三项相关性”B.若数列6是等比数列，则4具有“三项相关性”C.若数列%是周期数列，则q具有“三项相关性”D.若数列q具有正项“三项相关性”，且正数A,3满足A+l=5,aa1=B,数列包的通项公式为bnBnfq与也的前项和分别为S.,Tnf则对VeN,S”北恒成立22. （2023春广东惠州高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用M表示斐波那契数列的第项，则数列q满足：4=%=1,%+2=4+i+4,记=4+%+凡，则下列结论正I-I确的是（）A.数列/是递增数列B.2an=att+an（n3）20222021C.Zai=a2O22'2O23D.Zai="2023一1I=II=I23. （2023秋河北邯郸高二统考期末）若4不是等比数列，但4中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称“是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）A.（-2）"+8B,焉C,标-击D./+2524. （2023春安徽蚌埠高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列%是各项均为正数且公比不等于1的等比数列WWN）对于函数/（x）,若数列4（4）为等差数列，则称函数/（力为“保比差数列函数“，则定义在（o,y）上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（）A./（x）=g为“保比差数列函数"B.F（X）=W为，保比差数列函数，C./（x）=e'为"保比差数列函数"D.“力二五为”保比差数列函数”25. （2022秋福建福州高二校联考期末）在数列q中，若/-吮=0522,旷卬为常数）,则称凡为“平方等差数列下列对“平方等差数列''的判断，其中正确的为（）A.（-2）"是平方等差数列B.若可是平方等差数列，则忖是等差数列C.若%是平方等差数列，则纳+6（AgeNF）为常数）也是平方等差数列D.若q是平方等差数列，则%,+5（2力eNfg为常数）也是平方等差数列26. （2023秋山西吕梁高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4,L,设第次“美好成长”后得到的数列为1,%,2,L,和4,并记6Z=Iog4（1×xl×x2×L×xa×4）,则（）A.a2=5B.a,l+1=3an-1C.k=2n+D.数列凡的前,项和为3"'（2T）+3+2（l+）827. （2023春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；.；第（eN）次得到数列1,为，才2，七，,2.记4=1+%+*2+七+2,数列4的前项和为S”，则（）A.%=42B.an+l=3art-3C.an=-（,z2+3n）D.Sn=-（3w+l+2n-3）三、填空题28. （2022春上海长宁高二上海市延安中学校考期中）对于数列4,若存在正整数机，使得对任意正整数“，都有4+m=%夕（其中q为非零常数），则称数列%是以加为周期，以q为周期公比的“类周期性等比数列若"类周期性等比数列”的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列“前21项的和为一a（）（2）Ag）29. （2022秋福建泉州高二统考期末）对于数列6,记：AT）=口旦，邸）=谭，邸）=常，A?=/（其中"N"）,并称数列?为数列S/的k阶商分数列.特殊地，当申为非零常数数列时，称数列qJ是左阶等比数列.已知数列%是2阶等比数列，且q=2,a2=2048,a3=22°,若4=%,则30. （2023河南郑州统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述例如：取第一项为1,将其外观描述为力个1”,则第二项为11;将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为力个2,1个1"，则第四项为1211；将1211描述为“1个个1个2,2个1”,则第五项为111221,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列凡,下列说法正确的有.若6=3,则从4开始出现数字2；若4=2（攵=1,2,3,，9）,则WN）的最后一个数字均为匕,不可能为等差数列或等比数列；若4=123,则均不包含数字4.31. （2023秋内蒙古阿拉善盟高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列q,的前项和为S”,对任意N都有4+4“=，（/为常数），则称该数列为*数列”，若数列,为“2数列"，且4=T,则SM3=.32. （2023秋宁夏吴忠高二吴忠中学校考期末）定义个正数P,%m的“均倒数”为，若Pl+P?+Pn各项均为正数的数列ql的前项的“均倒数”为丁二，则的值为2/1+133. （2023秋安徽淮北高二淮北一中校考期末）对给定的数列也（q尸0）,记2=t，则称数列出为ftb数列4的一阶商数列；记%=甫l,则称数列%为数列q的二阶商数列；以此类推，可得数列%的P阶商数列（PGN）已知数列值的二阶商数列的各项均为e,且4=1吗=1，则%>=.34. （2022秋.上海.高二期中）定义:对于任意数列q,假如存在一个常数。使得对任意的正整数都有为<许且三巴凡="，则称。为数列4的“上渐近值”已知数列%有4=。，。2=P（P为常数,且>（）,它的前，项和为Sn,并且满足Sn=Mqla，令=守+沁,记数列加+0+.+_2的“上渐近值”为k,则2°n+lJn+21.1. .j4,COS-的值为.K35. （2023高二课时练习）定义：各项均不为零的数列4中，所有满足4q+<0的正整数i的个数称为这4个数列%的变号数.已知数列出的前项和s“二2-6+45）,令a.=I-F（"N）,若数列q的变号数为2,则实数的取值范围是.36. (2023春湖北襄阳高二襄阳市第一中学校考阶段练习)已知数列q满足q="og(+1)>2"N''定义使6994(&M)为整数的2叫做“幸福数”，则区间1,2022内所有“幸福数”的和为.37. (2022春高二单元测试)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,11,5,依此类推，第次得到数列1,巧，/，七，5.记第次得到的数列的各项之和为S”，则S.的通项公式"=.38. (2022黑龙江绥化绥化市第一中学校考模拟预测)定义:若有穷数列%,%，/(eN),满足q=4,%=%.，%=4,即4=为.川(zN且li"),则称该数列为“对称数列若数列色是项数为2k-l(keN")的对称数列，且4,¾+1,.,构成首项为30,公差为-2的等差数列，记数列也的前22-1项的和为S2a,1,则S”t取得最大值时k的值为.39. (2020秋.陕西咸阳.高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列七是等和数列，且4=-2m2020=8，则这个数列的前2020项的和为.40. (2020秋陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列%是等积数列，且4=-2,公积为5,那么这个数列的前2020项的和为一.四、解答题41. (2023秋上海浦东新高二上海南汇中学校考期末)设数列q的前项和为S”.若lL<2(rtN,nl),则称4是“紧密数列”.QQQ1(1)已知数列4是“紧密数列”，其前5项依次为求X的取值范围；(2)若数列%的前项和为S,=1(r+3"),判断4是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列%是公比为9的等比数歹U.若数列”与都是“紧密数列”，求9的取值范围.42. (2023全国高三专题练习)对于给定的正整数h若数列4满足:rn-*÷6rn-1+rt-+n+.+w+4-+al,+k=2kall,对任意正整数(左)总成立,则称数列"是“P（八）数列若数列刖既是“P(2)数列“，又是“P(3)数列”，证明：%是等差数列.43. (2023春安徽淮北高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.(1)设数列凡(%>0)是公方差为p(p>0)的等方差数列，且4=1,求数列%的通项公式；(2)若数列凡既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列%为常数列.44. (2022春上海黄浦.高三校考阶段练习)对于给定数列cj,如果存在实常数、4使得=对于任意eN*都成立，我们称数列G)是“M类数列”.(D若4=2,nN数列%、4是否为“M类数列”?(2)若数列凡是“M类数列”，求证:数列如+%也是类数列”；(3)若数列勺满足4=2,q+向=32"("wN),f为常数.求数列4前2022项的和.45. (2023高二课时练习)定义：称,为个正数四,P2,.,Pnt的“均倒数”.已知数列4Pl+P?+P”的前项的“均倒数”为J,2n+l(1)求6的通项公式；(2)设l=善彳，试判断并说明G“一c”(为正整数)的符号；设函数/(力=-炉+4%一肃是否存在最大的实数3当zt时，对于一切的自然数都有力0.