专题04幂函数、指数函数与对数函数（解析版）.docx

【解析版】专题04幕函数、指数函数与对数函数第4章幕函数、指数函数与对数函数【课本目录】4.1 塞函数：4.1.1塞函数的定义与图像；4.1.2塞函数的性质；4.2 指数函数：4.2.1指数函数的定义与图像；4.2.2指数函数的性质;4.3 对数函数：4.3.1对数函数的定义与图像；4.3.2对数函数的性质;本章内容提要n1 .辕函数N=X”的定义域由指数。的不同,辕函数的定义域是不同的.特别地，当指数。取有理数一时(n为正整数，M为整数)，基函数=/的定义域是使得根式Qr有意义的X的全体.2 .累函数y=x“有单调性：当。>0时，它在(O,+oo)上严格递增；而当<0时，它在(0,+8)上严格递减.3 .指数函数y="(。>0,tzl)的定义域是全体实数.4 .指数函数y=优(。>0,有单调性；当>l时，它在R上严格递增；而当O<<l时，它在H上严格递减.5 .对数函数y=log,x的定义域是正数全体.6 .对数函数y=log,x有单调性：当时，它在(0,+8)上严格递增；而当0<。<1时，它在(0,+8)上严格递减.题型1、对幕函数的概念的理解例1、(1)函数(4)=(-6)j+6-3是暴函数，则下列结论正确的是()A.a)>b)B.a)<f(b)C.J(a)=JbD.以上都不对【提示】理解零函数的定义；【答案】A；b3=0,=4>-【解析】:儿:)为寿函数，f.(x)=3,a-b=t批=3,心)在(0,+8)上单调递增，且心。>0,fia)>fih)l(2)已知y=(,+2zw2)x,2+2/73是塞函数，求加，的值.【解析】由题意得2- 3=0,w2+2w-2=1,1=1,或“_3所以w=-3或1,=7T2【说明】理解鬲函数的概念、判断及应用：1、判断一个函数是否为募函数的依据是该函数是否为J,二f(为常数)的形式，需满足：指数为常数，底数为自变量，母二国尸，”牛，尸片+5形式的函数都不是鬲函数；2、若一个函数为募函数，则该函数也必具有J=d(。为常数)这一形式；题型2、幕函数的图象与性质例2、(1)若点NL2)在基函数外)的图象上，点12,力在某函数g()的图象上，问当X为何值时，a)>g();/a)=©、)；)vgG);【解析】设/(x)=d,因为点(3,2)在寡函数WX)的图象上，所以将点(3,2)代入/(X)=Y中，得2=(也尸,解得=2,则/(x)=2;同理可求得g()=-2;在同一坐标系中作出函数/(X)=/和g()=-2的图象(如图所示)，观察图象可得，当x>l或X<1时，y(x)>g(x);当X=I或X=1时，x)g(x);当一10Cyl且x0时，HX)Vg(XA(2)已知慕函数j=犬(。£!)的图象过点(2,8),下列说法正确的序号是函数P=K的图象过原点；函数y=y是偶函数；函数N=乃是单调减函数；函数y=x的值域为R；【答案】？【解析】因为募函数j=的图象过点(2,8),所以2=8,解得=3,所以J=Xl函数J，=V的图象过原点，所以，的说法正确；函数)，=/是奇函数，所以，的说法错误；函数j，=V在R上递增，所以，的说法错误；函数=三值域为R,所以，的说法正确；【说明】1、鬲函数图象的画法：确定幕函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幕函数j，=d在第一象限内的图象.确定事函数在其他象限内的图象：根据幕函数的定义域及奇偶性确定幕函数/()在其他象限内的图象.2、对于黑函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域，即X=1,j，=1,J，=、所分区域.根据<0,0<<l,=l,>l确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.3、在比较幕值的大小时，必须结合事值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.4、一般幕函数的图象特征：(1)所有的幕函数在(0,+4上都有定义，并且图象都过点(1,1);(2)当QO时，幕函数的图象通过原点,并且在区间0,+与上单调递增.特别地，当时，幕函数的图象下凸；当0<«vl时，鬲函数的图象上凸；(3)当QVo时,幕函数在区间(0,+oc)上单调递减；(4)靠指数互为倒数的鬲函数在第一象限内的图象关于直线j，=X对称；(5)在第一象限，作直线x="(>l),它同各幕函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指数按从小到大的顺序排列；题型3、幕函数的性质的综合应用例3、(1)给出累函数：/(x)=x;/(x)=x2;/(x)=x3;/(x)=3;(§Mx)=-;其中满足条件/12J>空中切(R>X2>0)的函数的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】Ak+2【解析】函数/(X)=X的图象是一条直线，故当M>X2>0时，fl2J1.*X)+V2)函数/(x)=W的图象是下凸形曲线，故当为X2>0时，/yJ(v)÷y)在第一象限，函数/(X)=X3的图象是下凸形曲线，故当廿>X2>0时，/x)+V2)函数的图象是上凸形曲线,故当X>X2>O时，/2)<")；HAz在第一象限，函数/(X)=L的图象是一条下凸形曲线，故当XP>X2>0时，/X故仅有函数/(X)=满足当x.>X2>0时(2)已知幕函数歹=k9(MN)的图象关于y轴对称且在(0,+8)上单调递减,mm求满足(。+1尸<(3-2。尸的。的取值范围;【解析】因为函数在(0,+%)上单调递减，所以3I9<0,解得机1N",所以w=l,2因为函数的图象关于j，轴对称，所以3机一9为偶数，故w=l.则原不等式可化为+111<(3-2ap.1因为J，=XW在(-8,0),(0,+上均单调递减，2?所以+l>3-2<z>0或3-2<i<+l<0或a+l<0<3-2>解得:“v；或«<1;故的取值范围是*<7或;VW.【说明】本题通过黑函数的图象特征抽象出幕函数的奇偶性，根据幕函数的单调性确定参数的值,得到幕函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养；解决与幕函数有关的综合性问题的方法：首先要考虑鬲函数的概念，对于幕函数J，=Y(是常数)，由于。的取值不同，所以相应嘉函数的单调性和奇偶性也不同；同时，注意分类讨论思想的应用；用型4,对指数函数的概念的理解例4、(1)给出下列函数：y=23”;y=3""(3)y=3r;y=x3；y=(-2>；其中，指数函数的个数是()A.0B.IC.2D.4【提示】理解指数函数的定义；【答案】B；【解析】中，3'的系数是2,故不是指数函数；中，j,=3-的指数是x+1,不是自变量X,故不是指数函数；中，3'的系数是1,塞的指数是自变量X,且只有受一项，故是指数函数；中，y=V的底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数一2<0,不是指数函数；(2)若函数y=(2-l>(x是自变量)是指数函数，则”的取值范围是【答案】C",(b+00);【解析】依题意得2o-l>0,且2a11,解得且l;【说明】判断一个函数是否为指数函数的方法：1、底数的值是否符合要求；2、公前的系数是否为1；3、指数是否符合要求；届5.指数函数的图象与性Ii例5、(1)函数的图象如图所示，其中,b为常数，则下列结论正确的是()A. >l,h<0B. >l,b>0C. O<a<l,b>OD. OVa<1,b<0【答案】D；【解析圾曲线的变化趋势,可以得到函数./（八）为减函数,从而有OqVh从曲线位置看,是由函数J=G(OVaVI)的图象向左平移Lbl个单位长度得到，所以一b>0,即斥0;(2)直线y=2与函数y=Qt-l(>0,且"1)的图象有两个公共点，则。的取值范围是.【答案】(o,9【解析】J,=M1|的图象是由尸公先向下平移1个单位长度，再将X轴下方的图象沿轴翻折得到的.当“>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图；当OVoVl时，要使两个图象有两个公共点，则()V24V1,得到0VV；,如图.【说明】应用指数函数图象的4个技巧：1、画指数函数J=Ga>o,且存1)的图象，应抓住三个关键点：(1,。)，(0,1)-La2、已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足，则排除.3、对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象.当底数“与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论；4、有关指数方程、不等式问题的求解，往往要作出相应的指数型函数图象，运用数形结合的思想求解；题型6、指数函数的性质的综合应用例6、(1)求：函数：HX)=2一/+2的严格单调递增、递减区间；【提示】注意：用初等函数“分解”已知函数，并结合定义验证；【解析】由已知，函数J,=2TF'的定义域是K令=-e+2,则J,=2当x(-8,1时，函数=-x2+2x严格单调递增，函数j，=2“是严格增函数，所以函数j,=2*+2在(一孙1上严格单调递增,当xl,+8)时，函数，=-e+2x严格单调递减，函数J，=2是严格增函数，所以函数j=2*+2在”，+oc)上严格单调递减；综上，函数j,=2-r+2的严格单调减区间是1,+oc),严格单调增区间是(-8,1；【说明】1、求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成二/()，U=(x),通过考察/()和奴制的单调性，利用同熠异减原则，求出J，=/(O(X)的单调性；2、关于指数型函数7二环北心0,且“l)的单调性由两点决定，一是底数心1还是OVaVl；二是HX)的单调性，它由两个函数J=，=儿1)复合而成；(2)已知优=ZS+6(>o,1),求X的取值范围；【提示】注意：结合定义分情况讨论；【解析】当OyVI时，函数X)=G3>0,41)在R上是减函数，.x2-3x+l>x+6,*x2-4x5>0,解得.v<-1或x>51所以原不等式的解集是凶x<1或x>5;当a>时，函数/(x)=0v(>0,1)在R上是增函数，,x2-3x+lr+6,.*.x2-4x5<0,解得一IVC<5,所以原不等式的解集是国一1不<5综上所述：当0<«<1时，不等式的解集是x|x<1或x>5;当>l时，不等式的解集是国一l<v<5:【说明】1、利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式；2、解不等式十')(">0,存1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即/l>"=(x)>g(x)(>l)或./(X)Vg(X)(O<a<l)；题型7.对对数函数的概念的理解例7、(1)下列函数表达式中，是对数函数的有()y=logr2；y=logx(aR)；(3)=logr;®y=nx；(5)=logr(x÷2);y=21og4x;y=log2(x+1).A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B；【解析】由于中自变量出现在底数上，不是对数函数；由于中底数“R不能保证心0,且存L不是对数函数；由于的真数分别为(x+2),(x+l),也不是对数函数；由于中IogN的系数为2,符合对数函数的定义；(2)若函数40=10必“4丙+(标-248)是对数函数，则实数=.【答窠】42-2-8=0,【解析】由题意可知解得“=4.n+ll【说明】判断一个函数是对数函数的方法：1、系数：对数符号前面的系数为1；2、底数：对数的底数是不等于1的正常数；3、真数：对数的真数仅有自变量；题型8、对数函数的图象与性质例8、（1）当>1时，在同一坐标系中，函数y=。X与y=logux的图象为（）【答案】C；【解析】.Z>L；o2vl,则y="v在（-8,+“）上是减函数，过定点（0,1卜a对数函数F=Iogd在（0,+工）上是增函数，过定点（1,0）.故选C（2）作出下列函数的大致图象：y=log2X;）y=log2（-l）;F=IIOg2（1一%）|.;【解析】第一步：作函数），=1强式的图象；第二步:把函数J=IogK的图象位于X轴下方的部分沿工轴翻折（位于轴和X轴上方的不变）,即得J,=log1r的图象（如图）.第一步和第二步同；第三步：把J=IIog闪的图象向右平移I个单位长度即得J=og2（x1）|的图象（如图）.第一步：作函数J=IOg2X的图象；第二步：把函数y=0g2X的图象沿J轴翻折，得y=0g2（一*）的图象；第三步：把y=log2（-v）的图象向右平移1个单位长度，得函数J=IOg2（1x）的图象；第四步：把尸1出（1一%）的图象位于、轴下方的部分沿工轴翻折（工轴上及、轴上方的不变），即得J=Iiogg一x）的图象（如图）.【说明】有关对数函数图象间的变换规律1、一般地,函数J，=%+。）+力（，力为实数）的图象是由函数j，=Hx）的图象沿X轴向左（心0）或向右（v）平移同个单位长度,再沿J，轴向上（力>0）或向下SVO）平移网个单位长度得到的；2、含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地,y=x。|）的图象是关于直线X=对称的轴对称图；例9、（1）已知y=loga（2奴）在0,1上单调递减，则的取值范围为（）B. (1,2)A.(0,1)C. (0,2)D.2,+)【提示】注意：用初等函数进行分解;【答案】B【解析】x）=lo歆（2一的在0,1上单调递减，且=2x在0,1上单调递减,k>b.：l<<2.2->0,【说明】形如/(x)=logg(x)(>0,且l)的函数的单调区间的求法：1、先求g(x)>0的解集(也就是函数小)的定义域)；2、当底数心1时，在双x)>0这一前提下，式V)的单调增区间是/12的单调增区间；g(2的单调减区间是府)的单调减区间；3、当底数OqVl时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调熠区间是儿。的单调减区间，g(x)的单调减区间是凡t)的单调增区间；(2)解不等式：loga(2-5)>log-1)；E-5>0,-IX,解得Q4.一5>"1.lv-5>0,当Oqvl时，原不等式等价于.x1>0,2x-5<-1>解得jvv4综上所述，当时，原不等式的解集为4。4卜当OqVl时，原不等式的解集为X.【说明】对数不等式的三种考查类型及解法：1、形如logr>loga5的不等式，借助y=IOgar的单调性求解，如果a的取值不确定，需分">1与OVaVl两种情况进行讨论；2、形如ogax>h的不等式,应将h化为以a为底数的对数式的形式S=log，),再借助二Iogd的单调性求解；3、形如IOMa>l(g(x)lg(x)>0且不等于1,心0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解；题型10、幕、指数函数与对数函数的初步应用例10、(1)一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5s,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么()A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米【答案】D【解析】设汽车经过，秒行驶的路程为，米，则$=?，车与人的间距/=(.v÷25)-6/=-/26÷25=¼-6)2÷7,当1=6时，d取得最小值7；22(2)春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，己知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了天.【答案】19【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积j，与生长时间X的函数关系为j，=2i,当=20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半；题型11、函数的图象的作法例11、作出下列函数的大致图象.21(1)y=-;(2)y=；-I(3)y=0w;(4)=logz-1|.【提示】注意：利用初等函数的图象与结合图象变换作出已知函数的图像；【解析】(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数j，=可见其图象是由两条射U-V1»xVl,线组成，如图所示.(2)因为J,=&曰=2+1,故函数图象可由j，=l的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位x-1X-IX长度得到，如图.(3)作出J=Cl的图象，保留J=C)'的图象中XO的部分，加上=0'的图象中x>0部分关于J轴的对称部分，即得)，=目'的图象，如图实线部分；(4)先作出J，=IOgK的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留轴上方的部分，将X轴下方的图象翻折到轴上方，即得J=Ik)gix-1|的图象，如图所示；【说明】1、作函数图象的两种常用方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序；2、函数图象对称变换的相关结论(1)产山)的图象关于直线x对称的图象是函数尸大2，7)的图象；(2)J=Wx)的图象关于直线J=对称的图象是函数j，=2凡0的图象；(3)j=(x)的图象关于点(0,力)对称的图象是函数J=2力-fllax)的图象；题型12、辨识函数图象与用好函数图象例12、(1)函数尸整的图象可能是()4x【提示】注意：通过研究函数解析式识图；【答案】C；【解析】令./(x)=J,因为函数/(x)的定义域为xxO,关于原点对称，且八x)=卢=一/U)，4x4x4x所以/()是奇函数，图象关于原点对称，排除B；当X=I时，Wl)=3排除A;4当x+x时，/(x)÷>排除D;【说明】已知函数解析式选图或知图选函数解析式时的解题技巧：根据函数性质与函数的图象特征的对应关系切入.具体如下：函数性质函数图象特征函数的定义域图象的左右位置函数的值域图象的上下位置函数的奇偶性图象的对称性函数的单调性图象的变化趋势函数的周期性图象的循环往复函数的零点图象与X轴的交点情况函数经过的定点、极值点等函数图象上的特殊点(2)已知函数(x)=Mr-2x,则下列结论正确的是()A.")是偶函数，递增区间是(0,+oo)B. (x)是偶函数，递减区间是(一8，1)C(x)是奇函数，递减区间是(一1,1)D.兀0是奇函数，递增区间是(一8,0)【答窠】C5v2一Tv-v>,-'画出函数")的图象，H-x2x 4x172由 mg(x)+i(x)0t 得1一L=I-H?=一1"；在LUI上为增函数，2v+2 X 4a+14+ 14÷1(1-1.x=即竭；答案：A；例14、设函数7U)的定义域为。，若满足：怨)在。内是单调增函数；存在，"GC(">m),使得八X) 在打，上的值域为?，,那么就称歹=兀0是定义域为0的“成功函数若函数g(x)=log(*'+f)(a>0且 分1)是定义域为R的“成功函数”，则，的取值范围是()A (° 3B. (01 3CE 力DE +°c)-2xtXVO,I如图，观察图象可知，函数风T)的图象关于原点对称，：故函数.Hx)为奇函数，且在(一1,1)上单调递减；“：【说明】对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质：1、从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；2、从图象的对称性分析函数的奇偶性；3、从图象的走向趋势分析函数的单调性、以及以后的函数的周期性；1、构成集合的对象必须是“确定”的题型13、有关幕、指数函数与对数函数的新颖题新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性.新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色.机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；例13、已知g(x)为偶函数,(x)为奇函数,且满足g(x)-(x)=2x.若存在x1,1,使得不等式Wg(X)+(x)<0有解，则实数，的最大值为()A.-B.-55C. 1D.-1【答案】A；【解析】g()为偶函数，或1)为奇函数，且以X)一i(0=2*，.g(一)-(-)=ga)+/Ia)=2'，(D两式联立可得，g(x)=女金，h(x)=.22【答案】A：【解析】因为g(x)=og(小+0是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且仪x)在麻，上的值域为m,nt故g(m)=m,g(n)=t即氟x)=x有两个不相同的实数根.又IOgamZA+，)=x,即lv-av-F=O.令s=*s>0,即s+=0有两个不同的正数根，可得f>0'解得Oy<%答案：A；U=l-4r>0.4例15、若ea+,>ez,+,则”与b的关系式为【答案】a+b>O【解析】令心)=1JtF则x)在R上单调递增，因为ea+,>eb+a,所以ea-a>eb-bt则火。)/一b)9所以吟一b,8Ptf÷>O例16、设(x)=2%,g(x)的图象与大幻的图象关于直线y=x对称，(x)的图象由鼠x)的图象向右平移1个单位长度得到，则心)=.【答案】-Iog2(X-I);【解析】与/(x)的图象关于直线y=对称的图象所对应的函数为g(x)=-log,再将其图象右移1个单位长度得到A(X)=-IOg2(*1)的图象;例17、已知Hx)=J"g"'X>0,则方程42(x)v+=o的解的个数是k叱a<0,【答案】5,【解析】方程2f(X)-V(2+1=0的解为大*)=；或1;如图，作出J，=/(X)的图象，由图象知交点横坐标的个数为5.【说明】利用函数的图象解不等式的基本思路：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解；题型14、有关幕、指数函数与对数函数的综合理例18、已知函数人x)=2'-l,则不等式/(x)>0的解集是(A.(-1,1)B.(-8,-1)U(1,+oo)C.(0,1)D.(-,O)U(1,+)【答案】D；【解析】函数/(*)=2*X1,则不等式x)>0的解集即2)>x+l的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数J，=2*,P=X+1的图象，如图所示，结合图象易得2Ox+l的解集为(一8,O)U(1,+oo).答案：D5例19、已知函数(x)=ak+”4>0,且l,bR).(1)若(x)为偶函数，求6的值；(2)若/(x)在区间2,+8)上是增函数，试求”，b应满足的条件.【解析】(1)因为及)为偶函数，所以对任意的mR,都有八-x)=(x),即/+1=4厂"明x÷=-+,解得。=0(2)记人(M)=x+b=x÷6, x"bt-h9 XV一力.当>1时，大2在区间2,+oc)上是增函数，即人(X)在区间2,+兀)上是增函数，所以一后2,b>-2当OV4Vl时，/(x)在区间2,+工)上是增函数，即A(K)在区间|2,+")上是减函数，但A(X)在区间一瓦+%)上是增函数，故不存在。，方的值，使/()在区间|2,+“)上是增函数.所以/(2在区间2,+”)上是增函数时，”，b应满足的条件为>1且生一2；【说明】与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用；例20、已知函数y(x)=log2U+4J是奇函数，tzR：(1)求a的值；(2)对任意的x(-oo,0),不等式42'+1)>唾2(山一2丫)恒成立，求实数机的取值范围.【解析】(1)方法1：令一;-hl>0»则x+：+l>0,.<-4-l或x>,；/(.¥)是奇函数,x÷tf-va；其定义域关于原点对称，一“-1-4=0x-a=一,.验证a=)时，A*)=Iogz-X2-x+-则/(*)=l0g2-=Iogi-=/()*7)是奇函数，综上：-X-x+-222方法2：y(x)=log2fv+a-0=log2->x+4jjrh(±l>0zl=xx<-a-1x>-a),x+x+因为/(x)是奇函数，V.vl,/(x)=/(X)，rIx+tf÷l1x+l.x+f即oj2;=-Iogz：=Iog2一-raX十。所以-A±；+!=一：+：即(+4)2-2=q2-2,解得“=一；.。Ff-x-ra.v+121I1og(M-2")="1<2"4F7H一92+122令“=2*+；,x(-8,0),所以W(P0»令&()=+，+：.u2易知双，当=1时取等号，所以即力,又由/W-2>0三>h>2,故总1,所以，的取值范围是'9；【说明】本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零；一、填空鹿(共10小题，每小题4分，满分40分)1、在函数y=gy=2x2fy=x2-ty=1中，哥函数的个数为(个)X-【答案】1:【解析】y=a=-2,是嘉函数；J,=2由于出现系数2,因此不是寡函数；j,=F+是两项和的形式,AT不是寡函数；J=l=(),可以看出，常函数j，=1的图象比嘉函数j，=W的图象多了一个点(0,1),所以常函数j，=l不是寡函数；2、若函数外)是鼎函数，且满足44)=16,则火一4)的值等于.【答案】16【解析】设/U)=x%<(4)=16,4。=16,解得=2,/(X)=X2,7/(-4)=(-4)2=16.3、函数歹=1一2*，x0,1的值域是【答案】-1,01【解析】由指数函数的性质可得HX)=2、是递增函数，当XO,1时，/(0)/2勺(1),即Ig(X)2,-2S-2嗨-U.函数j，=l一2x0,l的值域为-1,0.4、若函数於)=GJx一2,则大b的严格单调递减区间是【答案】2,+oO)I【解析】将原函数看成复合函数WX)=O",w=-2,凡0是关于的减函数，在2,+上为增函数，在(-8,2|上为减函数，由复合函数的性质知，/(x)的单调递减区间是2,÷oo).5、已知函数,W=T3>O,且存D在上恒有y(x)V2,则实数。的取值范围为【答案】C'Ou(1,2)【解析】当>1时，/(X)在|一1,1|上是增函数.因为函数凡r)在|一1,1|上恒有y(x)V2,所以/(1)V2,所以a<2,所以1V4V2.当OVoVI时，()在|一1,1|上是减函数.因为函数人刈在一1,1上恒有(*)V2,所以-)<2,所以,V2,即所以=VoVh综上所述，实数的取值范围是"'1u(l,2);6、若函数/(x)=lOga(X+2)+2(>0,且l)的图象恒过点则点”的坐标为【答案】(-1,2)；【解析】:当x=-l时，/(1)=IOgQ(-1+2)+2=2,与的值无关，二点M的坐标为(-1,2).7、碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为【答案】1(1Asbo【解析】设碳14的年衰变率为M原有量为1,则帚73。=匕解得:2(1SsTiQ所以碳14的年衰变率为.8、函数y(x)=log(2+2+3)的值域是2【答案】(-8,-1【解析】/()=log1(x2+2x+3)=Iog1(x÷l)2+2J,22l因为(x+l)2+22,所以IOgI(x+l)2+2WIogl2=1,所以函数/(x)的值域是(-8,-1.9、若函数外)=空二的图象关于点(1,1)对称，则实数。=.X1【答案】1;【解析】=r+'L2j+3,关于点(1,幻对称，故X-1X-110、已知函数段)=(加2?一IWM2+册-3是累函数，对任意为，X2(0,÷),且X1X2,满足&11二7,Z,R,且/()+(b)的值为负值，则下列结论可能成立的序号是XLX2a+b>O,ab<O4+6V0,ab>O+6V0,ab<O以上都可能【答案】；【解析】由函数人刈为器函数可知加一，”一1=1,解得W=-I或,=2.当/«=1时，)=当m=2时，/(x)=x3;Xi由题意知函数U)½(o,+s)上为增函数，因此/(x)=x在R上单调递增，且满足7(-x)=-U).结合/(一x)=-(x)以及大)+/(。)VO可知/()V-（八）=-3,所以“V一也即一4,所以+加=0时，力VO,力=0；当>0时，f<0,ab<i当VO时，M>0(8V0)或HVO(OV0V-),故、都有可能成立；二、选择题(共4小题每小题4分，满分16分)11、如图所示，图中的曲线是幕函数y=x"在第一象限的图象，已知取±2,=四个值，则相应于G,C2,。3，。4的依次为()AoIloDO11OyIA.-2,一，2B.2,一，,22222Lc21C92.2,D.2,2,一22221,X【答案】B；【解析】根据募函数J=XW的性质，在第一象限内的图象当>0时，越大，J=W递增速度越快，故G的=2,C2的=5当VO时，向越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的=一5曲线的=-2.12、函数y(x)=f+b,不论。为何值，HX)的图象均过点(肛0),则实数b的值为()A.-1B.1C.2D.3【答案】A【解析】:F=L过定点(1,1),Va)=d+b过定点(1,1+)，结合已知条件可知1+0=0,则6=-1.13、已知事函数外)=(序+2-2支“23”SeZ)的图象关于y轴对称，且在(O,+oo)上是减函数，则的值为A.-3B.1C.2D.1或2【答案】Bt【解析】,塞函数贝.丫)=(2+2-2尔2-3”(2)的图象关于轴对称，且在(O,+s)上是减函数，w2+211-2=b:"-3n=2k,Z,解得=Lw2-3<0,14、在同一平面直角坐标系中，函数y=Q+b,b(4>0且存D的图象可能是()【答案】D；【解析】分和OVaVl进行讨论.当。>1时，由选项中指数函数图象与J，轴的交点的纵坐标小于1可知，/>>0,则A选项中二次函数图象不符，D选项符合.当OVaVl时，由选项中指数函数图象与p轴的交点的纵坐标小于1可知，力V0,则B,C选项均不正确；三、解答题(共4小题，满分44分)15.(本题8分)已知函数以)=(苏+。-5)是指数函数；(1)求：y(x)的表达式；(2)判断尸(X)=/(x)-(一)的奇偶性，并加以证明.【解析】(1)由“2+-5=l,可得=2或=一3(舍去)，.lx)=2'(2)F(x)=2x-2S定义域为R,J尸(-x)=2'-2x=一尸(X),尸(X)是奇函数.16 .(本题10分)已知指数函数及)的图象过点尸(3,8),且函数蛉)的图象与以)的图象关于y轴时称，又g(2-l)vg(3x),求X的取值范围.【解析】设凡¥)=仆(。>0且“1),因为/(3)=8,所以加=8,即“=2,所以於)=2，又因为g(*)与府)的图象关于轴对称，所以g()=Hv,因此由g(2x1)vg(3x),即日vvEk得2x1>3x,解得.v<-1.所以X的取值范围为(一划一1).17 .(本题满分12分)已知函数加:)="+2-”,其中R;x÷1(1)当函数Hx)的图象关于点尸(-1,3)成中心对称时，求：实数。的值;(2)若函数r)在(-1,+8)上单调递减，求：实数的取值范围；【答案】3；(2)-a),1)；2lax+1x+2-a_4(x+l)+2-2ax+1-x+1所以Ar)的对称中心为(一1,a)9与P(-l比较得“=3.(2)由府)="生卫X-F1l2-2a+7h,当22>0,即“VI时，v)在(-1,+s)上单调递减，故的取值范围是(一8,1)；18 .(本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分)已知函数,AX)=IOgaa+1)，g(x)=IOga(I-X)，其中0>0，H1，gW-(