专项15平面直角坐标系中坐标规律的探究与等腰三角形存在性（2大考点5种类型）（解析版).docx

专项15平面直角坐标系中坐标规律的探究与等腰三角形存在性（两大考点5大类型）考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究考点2：等腰三角形的存在性问题部【典例今祈】【考点1：平面直角坐标系中坐标规律的探究】【典例1】（2021秋广饶县月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点Al（0,1）,A2【解答】解：T2021÷4=5051,则A2O2的坐标是（505×2,1）=（1010,1）.故答案为：（1010,1）.【典例2】（2019春长垣县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的边长是2,点A的坐标是（-1,1）,动点尸从点4出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-B-C-O-A-.路线运动，当运动到2019秒时，点P的坐标为（）【答案】C【解答】解：点P从A点沿着A-B-CfOfA运动一次需要4秒,2019÷4=5043,，P点此时与。点重合，V(-1,1),正方形边长为2,：.D(-1,3),故选：C.【变式1】(2020春南丹县期末)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运【答案】A【解答】解：点尸坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2020=505X4,所以，前505次循环运动点尸共向右运动505X4=2020个单位，且在X轴上，故点尸坐标为(2020,0).故选：A.【变式2】(2021春重庆期末)如图：在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点Pl(0,1),Pi(1,1),P3(1,0),【答案】A【解答】解：由P3、P6、P9可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为纵坐标为30,V2019÷3=673,P209(673,0)则点P2019的坐标是(673,0).二点P2O2O的坐标是(673,-1),故选：A.【变式3(2021春绥棱县期末)如图，在平面直角坐标系中，A(l,1),B(-1,1),C(-1,-2),O(1,-2),把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按4-8fC-OfA的规律绕在四边形ABCO的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()A.(-1,0)B.(1,-2)C.(1,-1)D.(0,-2)【答案】C【解答】解：VA(1,1),(-1,1),C(-1,-2),D(L-2),AB=-(-1)=2,BC=-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=I-(-2)=3,，绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10,2018÷10=2018,细线另一端在绕四边形第202圈的第8个单位长度的位置，即细线另一端所在位置的点在。处上面1个单位的位置，坐标为(1,-1).故选：C.【典例3】(2020春定襄县期末)如图，已知4(1,0)、A2(1,1)、加(-1,1)、/U(-l,-1)、M(2,-1)、.则点A2020的坐标为.答案(一案5,-505)【解答】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限,V2020÷4=505,点A202。在第三象限，,42020是第三象限的第505个点，/.点42020的坐标为：(-505,-505).故答案为：(-505,-505).【变式1(南宁期末)如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点,观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数.则由里向外的第四个正方形上有一个整点，第个正方形上有一个整点.【解答】解：第1个正方形有4X1=4个整点,第2个正方形有4X2=8个整点，第3个正方形有4X3=12个整点，第4个正方形有4X4=16个整点，第个正方形上有4个整点，故答案为：16,4/1.【变式2】(2019秋垦利区期中)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，Pi,P2,P3均在格点上，其顺序按图中“一”方向排列，如：Pl(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(I,-1),P5(-I,-1),P6(-I,2)根据这个规律点P2OI9的坐标为.%答案(505,505)【解答】解：由规律点P3、P7、PU在第一象限角平分线上，可得点P2OI9在第一象限的角平分线上，VP3(1,1),Pi(2,2),Pu(3,3)(2019+1)÷4=505，点P20I9(505,505).故答案为：(505,505).【例4】(2021春乌苏市期末)如图，在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点Ai(-I,1),第二次点4向右跳到A2(2,1),第三次点A2跳到A3(-2,2),第四次点A3向右跳动至点A%(3,2),，依此规律跳动下去，则点A29与点A2020之间的距离是()【答案】A【解答】解：观察发现，点A第一次跳动至点Al(-1,1),第二次点Al向右跳到A2(2,1),第三次点A2跳到A3(-2,2),第四次点A3向右跳动至点4(3,2),第五次点4跳到加(-3,3),第六次点对向右跳动至点4(4,3),9第21次点2n2跳动至点AlnJ(-，)，第2次点A2n1跳动至点A2(+1，)， 第2019次A20I8跳到点A2019(-1010,1010).第2020次跳动至点的坐标是(1011,1010), ：点、42019与点2O2O的纵坐标相等，点A20I9与点A2O2O之间的距离=IOIl-(-1010)=2021,故选：A.【变式1(2021春饶平县校级期末)如图，在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点Al(-I,I),第二次点Al跳动至点A2(2,1),第三次点A2跳动至点加(-2,2),第四次点A3跳动至点4(3,2),依此规律跳动下去，则点A2017B. 2018A. 2017【答案】CC. 2019D. 2020【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是(2,1),第4次跳动至点的坐标是(3,2),第6次跳动至点的坐标是(4,3),第8次跳动至点的坐标是(5,4),第2次跳动至点的坐标是5+1,)，则笫2018次跳动至点的坐标是(1010,1009),第2017次跳动至点A2017的坐标是(-1009,1009). ：点、2OI7与点42018的纵坐标相等，二点A2017与点A2018之间的距离=IOIO-(-1009)=2019,故选：C.【变式2】(2019春番禺区期中)如图，在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点尸第1次向上跳动1个单位至点Pi(1,1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1,1),第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是()【答案】A【解答】解：由题中规律可得出如下结论：设点P加的横坐标的绝对值是，则在y轴右侧的点的下标分别是4(«-1)和4/l3,在y轴左侧的点的下标是：4-2和4?-1；判断Pzoo的坐标，就是看200=4(n-1)和200=4/J-3和200=4-2和200=4-1这四个式子中哪一个有整数解，从而判断出点的横坐标，4次一循环，200除以4等于50,故在第50个循环的第4个位置，点夕第200次跳动至点P200的坐标是(51,100).故选：A【考点2：等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足aABC为等腰三角形的格点C的个数为（）【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点。，Ci,C3即为点C的位置；以8为圆心，AA长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3,C4,C5,C6,。，C8即为点C的位置；作A8的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；,ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8,故选：B.【变式5-1如图，中，直线/是边AB的垂直平分线，若直线/上存在点尸，使得PAC,阳8均为等腰三角形，则满足条件的点尸的个数共有（）【答案】C【解答】解：分三种情况：如图:当4P=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线/于点P,P2,当CA=CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线/于点为，P4,当必=PC时，作AC的垂直平分线，交直线/于点25,直线/是边A8的垂直平分线，直线/上任意一点（与AB的交点除外）与48构成的三角形均为等腰三角形，满足条件的点P的个数共有5个，故选：C.【变式5-2如图，已知RtZXABC中，NC=90°,ZA=30°,在直线BC上取一点P,使得心8是等腰三角形，则符合条件的点P有（）BCA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】BVZACB=90o,ZBAC=30°,/.ZABC=90o-ZBC=60o,当84=8P时，以8为圆形，曲长为半径画圆，交直线BC于H,P2两个点，：BA=BP2,ZABC=60°,ABP2是等边三角形，：.AB=BPl=APi1当人B=AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2,当F=PB时，作A8的垂宜平分线，交直线5。于夕2,综上所述，在直线8。上取一点P,使得/¾8是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，故选：B.%【蟠朦制秣】1.（2020门头沟区二模）如图，动点尸在平面直角坐标系XO），中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,2）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,1）,笫4次接着运动到点（4,0）,，按这样的运动规律，经过第27次运动后，【答案】C【解答】解：观察图象，结合动点P第1次、第2次、第3次、第4次（1,2）,（2,0）,（3,1）,（4,0）运动后的点的坐标特点，可知各点的横坐标与运动次数相同，则经过第27次运动后，动点P的横坐标是27,故排除选项A和2由图象可得纵坐标每4次运动组成一个循环：2,0,1,0；:27÷4=63,经过第27次运动后，动点尸的纵坐标是1,故经过第27次运动后，动点尸的坐标是（27,1）.故选：C.2. （2021春海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，对于点Pa,y）,我们把点P'（1-y,X-D叫做点P的友好点，己知点AI的友好点为A2,点A2的友好点为A3,点43的友好点为4,，这样依次得到点4,A2,43,Am-,若点4的坐标为（2,1）,则点42021的坐标为（）A. (0, 1)B. (0, - 1)C. (2, - 1)D. (2, 1)【答案】D【解答】解：Y点4的坐标为（2,1）,，根据友好点的定义可得:A（2,1）,Ai（0,1）,43（0,-1）,4（2,-1）,As（2,1）,Ag（0,I）,，以此类推，每4个点为一个循环，V2021÷4=505L，点A2021的坐标与Ai的坐标相同，为（2,1）.故选：D.3. （2020春郑城县期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆。1,02,03,组成一条平滑的曲线，点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒三个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是.答案（2021,1）【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为工X2Xl=,2点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒二个单位长度，2点P每秒走工个半圆，2当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1,1）,当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2,0）,当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点尸的坐标为（3,当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点。的坐标为（4,0）,当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5,1）,当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点。的坐标为（6,0）,9.2021÷4=505余1,尸的坐标是（2021,1）,故答案为：（2021,1）.4. （2021秋柯桥区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点。运动到点Pl（I,1）,第二次运动到点放（2,0）,第三次运动到P3（3,-2）,按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）【答案】D【解答】解：观察图象，动点P第一次从原点。运动到点Pi（1,1）,第二次运动到点Pi（2,0）,第三次运动到P3（3,-2）,第四次运动到P4（4,0）,第五运动到P5（5,2）,第六次运动到外（6,0）,，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1,0,-2,0,2,0：V2022÷6=337,，经过第2022次运动后，动点尸的纵坐标是0,故选：D.5. （2021秋庐阳区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（-1,1）,第2次接着运动到点（-2,0）,第3次接着运动到点（-3,2）,，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A.(-2020,0)B.(-2020,1)C.(-2020,2)D.(2020,O)【答案】A【解答】解：动点P运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向左移动4个单位，则2020=505X4,所以，前505次循环运动点尸共向左运动505X4=2020个单位，且在X轴上，故动点尸坐标为(2020,0).故选：A.6. (2021春珠海期中)如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A-B-C-O-A的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()A.(-1,0)B.(0,2)C.(-1,-2)D.(0,1)【答案】D【解答】解：'S点坐标为(1,1),B点坐标为(-1,1),C点坐标为(7,-2),A=l-(-1)=2,BC=2-(-1)=3,从A-BfCfO-A一圈的长度为2(A8+BC)=10.2021÷10=202-1,细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置,即细线另一端所在位置的点的坐标是(0,1).故选：D.7. (2021张湾区模拟)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点,按如图顺序依次排列为(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),，根据这个规律，第2021个点的坐标为()J休-"M_>O1234XA.(46,4)B.(46,3)C.(45,4)D.(45,5)【答案】C【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于X轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=12,右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22,右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32,右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42,右下角的点的横坐标为时，共有2个，V452=2025,45是奇数，第2025个点是(45,0),第2021点是(45,4).故选：C.8. (2021春抚顺期末)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0)；(2,0)；(2,1)；(3,2)、(3,1),(3,0)、(4,0),根据这个规律探索可得，第20个点的坐标为()八一(5,4)(43)(53)叼)料,2g(5t2)(2,l)%,i)(4,*5,l).t7t0(1/)(0)0,0)(4,0)(5,0)¢,0)XA.(6,4)B.(6,5)C.(7,3)D.(7,5)【答案】A【解答】解：把第一个点(1,0)作为第一列，(2,1)和(2,0)作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第列有个数.则列共有nS+l)个数,并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数2列点的顺序由下到上.因为1+2+3+6=15,则第20个数一定在第6列，由下到上是第4个数.因而第20个点的坐标是(6,4).故选：A.9. (2021春庐江县期末)如图，在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点尸第1次向上平移1个单位至点Pl(1,1),紧接着第2次向左平移2个单位至点P2(-1,1),第3次向上平移I个单位到达P3(-1,2),第4次向右平移3个单位到达P42),第5次又向上平移1个单位，第6次向左平移4个单位，依此规律平移下去，点P202i的坐标为()A.(506,1011)B.(506,-506)C. ( - 506, 1011)D. ( - 506, 506)【答案】A【解答】解：设第次跳动至点为，观察发现：P(bO),Pi(1,1),P2(-1,I),P3(-I,2),Pa(2,2),P5(2,3),Pe(-2,3),P7(-2,4),Ps(3,4),Pg(3,5),，*P4n(n+L2),P4+i(n+l>2+1)，P4+2(-n-L2n+l),P4n+3(-n-1»2+2)("为自然数).V2021=505X4+1,P2O2)(505+b505X2+1),即(506,1011).故选：A.10. (2021春越秀区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2)根据这个规律，第2021个点的坐标为()A3-_2-1-O12XA.(45,9)B.(45,4)C.(45,21)D.(45,0)【答案】B【解答】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1,纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以结束的有2个点，第2025个点是(45,0),2021个点的坐标是(45,4)；故选：B.11. 如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A,8是两格点，如果C也是图中的格点，且使得aABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是(【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点Ci,C2,。3即为所求;当BA=BC时，以点8为圆心，以BA长为半径作圆，则点C4,。5,。6即为所求;当CA=C8时，作AB的垂直平分线，则点C7,C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8,故选：B.12. (2021秋河口区期末)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2)按这样的运动规律经过第2021次运动后，动点P的坐标是.。2)OZ(IM)XAXAKA-.0l(2fi)(40)(0)(80)(IO5O)(12,0)x答案(2021,1)【解答】解：观察点的坐标变化可知:第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,第4次接着运动到点（4,0）,第5次接着运动到点（5,1）,按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1,0,2,0,4个数一个循环，所以2021÷4=5051,所以经过第2021次运动后，动点P的坐标是（2021,1）.故答案为：（2021,1）.13. （2021秋兴庆区校级期末）如图，在平面直角坐标内有点AO（1,0）,点AO第一次跳动到点Ai（-1,1）,第二次点4跳动到A2（2,1）,第三次点2跳动到A3（-2,2）,第四次点息跳动到44（3,2）,依此规律动下去，则点A2018的坐标是.【解答】解：依题意，得：点AO的坐标为（1,0）,点A2的坐标为（2,I）,点A4的坐标为（3,2）,点A6的坐标为（4,3）,点朋的坐标为（5,4）,，.,点A2的坐标为（+1,）（为非负整数），点A208的坐标为（1010,1009）.故答案为（1010,1009）I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券