专项02勾股定理逆定理的应用（解析版）.docx

专项02勾股定理逆定理的应用,*）【解题思路】考点1勾股数的应用能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即/+从=。2中，。，b,C为正整数时，称。，b,。为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,1233；7,24,25等用含字母的代数式表示组勾股数：w2-1,211,n2+1（"2,为正整数）；2h+1,22+2n,2n2+2n+（为正整数）m2n2,2w,w2+n2（m>n,m,为正整数）考点2判断三角形的形状如果三角形三边长,b.。满足/+从=。2,那么这个三角形是直角三角形，其中C为斜边。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：C；（2）验证¢2与a）2是否具有相等关系，若c2=a2+b则ABC是以NC为直角的直角三角形（若（?才+欧则AABC是以NC为钝角的钝角三角形;若c&d+b?,则ABC为锐角三角形）。（定理中,b,。及/+=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,。满足/+c?=从，那么以叫b,C为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）杉【典例今析】【考点1勾股数的应用】【典例1】下列各数组中，是勾股数的是（）A.6,8,10B.2,2,2C.1,1,2D.0.4,0.3,0.5【答案】A【解答】解：A、62+82=102,能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意;B、2222,不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；C,1,1,我不都是正整数，不是勾股数，不符合题意；。、0.4,0.3,0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意.故选：A.【变式1-1】下列4组数据中，是勾股数的是（）A. 1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.6,7,8【答案】C【解答】解：.1232,因此不是勾股数，故此选项不合题意；B. 22+3242,因此不是勾股数，故此选项不合题意；C. 32+42=52,因此是勾股数，故此选项符合题意；D. 62+7282,因此不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C.【变式1-2下列各组数中，不是勾股数的是（）A. 9、 12、 15 B. 5、 12、 13C. 8、 15、 17D. 12 18、 22【答案】D【解答】解：. V92+122=152,是勾股数，不符合题意;3.52+12?=13?,是勾股数,不符合题意;C.82+152=172,是勾股数，不符合题意;D.122+182222,.不是勾股数，符合题意;故选：D.【典例2】勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数:abC13=1+24=2×1×25=2×2+l25=2+312=2×2×3I3=4×3+137=3+424=2×3×425=6×4+l49=4+540=2×4×54l=8×5+lna=b=)C=(I)你能找出它们的规律吗？(填在上面的横线上)(2)你能发现,b,c之间的关系吗？(3)你能用以上结论解决下题吗？20192+20202×10092-(2020X1009+1)2【解答】解：(1)由表中数据可得：a=2n+tb=2n(n+l),c=2n(w+l)+1,故答案为：2n+l,2n(+l),2n(+1)+1；(2)flf2+>2=(?2,理由是：Va=2w+1,b=2n(w+l),C=2(n+l)+1,a2+b2=(2÷l)2+2(+1)2=2i(n+l)2+4(+1)+1c2=2(n+l)+12=2(+1)2+4(i+I)+12=c2;(3)当2"+l=2019时，H=1009,当n=1009时，2=20192,/>2=2i(+l)2=20202×10092,c2=2n(+l)+I2=2020×1009+12,*.*a2+b2=c2;20192+20202×10092-(2020X1009+1)2=0.【变式2-1】以3,4,5为边长的三角形是直角三角形，称3,4,5为勾股数组，记为(3,4,5),类似地，还可得到下列勾股数组：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.(1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；(2)用含(22且为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明.【解答】解：(1)上述四组勾股数组的规律是：32+42=52,62+82=102,82+152=l72,IO2+242=262,即(n2-1)2+(2n)2=(n2+l)2,所以第六组勾股数为14,48,50.(2)勾股数为"2-1,2，w2+l,证明如下：(n2-1)2+(2n)2=/+2/+=(2+i)2.【变式2-2】已知：整式4=(n2-I)2+(2)2,整式8>0.尝试化简整式A.发现A=B2.求整式8.联想由上可知，B2=(-1)2+(2)2,当>1时，-I,2，8为直角三角形的三边长，如图，填写下表中8的值；直角三角形三边W2-12nB勾股数组I15817勾股数组351237n2-l【解答】解：A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2w2+l+42=w4+2n2+l=(n2+l)2VA=B2,>0,=H2+l,当2=8时，=4,n2-I=42-1=15,n2+l=42+l=17；当/7=35时，=±6(负值舍去)，2=2×6=12,n2+l=37.直角三角形三边n2-12/1B勾股数组I15817勾股数组II351237故答案为：15,17；12,37.【考点2判断三角形的形状】【典例3】在四边形ABCo中，已知AB=5,BC=3,AO=4,CO=4且ACJ_8C于点C.试求：(1) Ae的长；(2) NBCO的度数.(3)四边形ABCo的面积.【解答】解：(1),：ACLBC,ZACB=90o,VAfi=5,BC=3,.ac=ab2-bc2=5/52-32=4,，AC的长为4：(2) V4C=4,AD=4,CD=42,AC2+AD2=42+42=32,CD2=(42)2=32,"C2+AD2=CD2,AC。是直角三角形，ZCAD=90o,;AC=AO=4,ZACD=ZD=45o,VZACB=90o,ZBCD=ZACB+ZACD=135°,NBCD的度数为135°；(3)由题意得:四边形ABCD的面积=AABC的面积+ZACO的面积=1accb+1ad-ac22="4x3+工X4X422=6+8，四边形ABCO的面积为14.【变式3-1如图，在四边形A8C。中，A8=20,8C=15,CD=1,AD=24,NB=90°.(1)求证：COLAO；(2)求四边形ABC。的面积.【解答】(1)证明：连接4C,VZB=90o,.ACz=BA2+BC2=400+225=625,'：DA1+CD1=242+72=625,ac2=da2+dc2,ZViOC是直角三角形，即No是直角,CD±AD;(2)解：SmiifiiABCD=SABC+S.ADC=L88C+LmCO2 2=×20×15+A×24×73 2=234.【变式3-2如图，在四边形ABCD中，A8=24,8C=15,CD=20,AD=I,NC=90°.(1)连接B。，求BO的长；(2)求四边形ABCO的面积.C1【解答】解：（1）连接BD,在Rt48CO中，BC=15,CD=20,ZC=90o,BDl=C2+CD2=152+202=625,SD=25；(2)在aABO中，AB=24,Ao=7,2=576,AD2=49,J.AB2+AD1=576+49=625.由(1)知，BD2=625,2+D2=D2,ZBD=90o.S四边形ABCD=Sdc+Smbd=工×15×20+工×7X24=234.22【典例4】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB=12m,BC=3m,CD=4m,AD=3m,ZD=90o,求这块菜地的面积.【解答】解：连接AGVCD=4w,AD=3m,ZD=90o,c=AD2CD2=42+32=5(W'5riaADC-AD*CD=-×3×4=6(n2),22在ACAB中，AC=5m,AB=2m,BC=3m,VAC2+4B2=52+122=169,BC2=132=169,AC2+AB2=BC2f,CAB为直角三角形，.NC48=90°,，Srscab=LACeB=工X5X12=30(",)，22，菜地的面积=SziC48-S4UJC=24(m2),，这块菜地的面积为24m2.【变式4-1如图，在四边形ABCO中，A8=3,BC=4,CD=2,AD=13,/8=90°.求四边形ABCz)的面积.*AC=yj32+42=5'在AAS中，VAC+CD2=25+144=169=AD2,，ZXACO是直角三角形，且NACo=90°,S四边形ABCD=S&ABC+S“CD=1abbc+1accd22=×3×4+-k×5×1222=36.【变式4-2如图，四边形ABCO中，AB=4,BC=3,Co=I3,AD=12,ZB=90o.(1)连接AC,求AC的长.(2)求四边形ABC。的面积.【解答】解：(1)连接AC,在ZiABC中,VZB=90o，48=4,BC=3,AC=AB2+BC2=42+32=5jSabc=ab*bc=×4×3=6>在AACO中，VAD=12,AC=5,Co=I3,"D2+AC2=CD2,，ZXACO是直角三角形，Sacd=7ac*ad=×5×12=30J四边形ABCD的面积=Szi48C+S")=6+30=36,答：四边形ABCO的面积为36.影【眼朦初练】1.若3、4、。为勾股数，则。的值为(A.7B.5C.6D.2【答案】B【解答】解：3、4、。为勾股数，当。最大时，此时。=存彳=5,是勾股数，符合题意；当4时最大时，t7=42.32=7,不是正整数，不是勾股数，不符合题意.故选：B.2 .如图，在正方形网格中，点A、8、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1,请判断aABC的形状，并说明理由.AB=Y2+22=我,BC=2+2=5,AC=22+42=2JY(5)2+<25)2=52,.t.AB2+AC2=BC2fJZXABC是直角三角形.3 .如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为L四边形48Cz)的四个点都在格点上.(1)四边形ABCO的面积为10.5,周长为小而_；(2)求证：NB4。是直角.1× (1+3) Xl 2四边形ABCO的面积=4X5-工X2X1-A×5×l-A×2×4-222=20-1-2.5-4-2=10.5,CD2=l2+22=5,AI)2=l2+22=5>C2=l2+52=26,2=22+42=20,CD=5,AD=5>fiC=26,A=20=25>:、四边形ABCO的周长=SMf>+8C+AB=4+,，四边形ABCf)的面积为10.5,周长为4'而故答案为：10.5,45+26;(2)证明：连接60,由题意得：jjp2=42+32=25,VD2+2=5+20=25,BD2=AD2+A2,ZXBAD是宜角三角形,4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点A, B,(1)求证：NAoC=90° ；(2)四边形ABCO的面积为。是网格线的交点.【解答】（1）证明：连接AG由题意得：D2=12÷22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,j.ad2+cd2=ac2,ZVlOC是在角三角形，二NAOC=90°；(2)解：如图：由题意得：四边形ABCD的面积=AADC的面积+aABC的面积=acdf+-Lacbe22=-1x5X2+AX5X122=5+$2_15-,2故答案为：l.25.如图，一块铁皮(图中阴影部分)，测得AB=6,BC=S,CD=24,AD=26,NB=90°.求阴影部分的面积.【解答】解：如图，连接AC.在aABC中，ZB=90o,A8=6,BC=Sf=62+82=,0VCD=24,Ao=26,C=10,/.AC2ClS2=AD1fZXACO是直角三角形，'S阴影=S“8-Sbc=×10X24-工X6×8=120-24=96.22故阴影部分的面积是96.6.如图，连接四边形ABCo的对角线AC,已知N8=90°,BC=,AB=M,CD=2,AD=22(1)求证：4ACD是直角三角形;(2)求四边形48CO的面积.A1BC【解答】(1)证明：B=90°,BC=I,AB=gc=7aB2+BC2=a12+(3)2=2VCD=2,AD=22,J.AC2+CD2=AD2tACZ)是直角三角形：(2)解：VA=3,8C=1,JS四边莪ABCD=Sabc+Smcd=/×1×3蒋X2X2=-jy-+27.如图，在aABC中，ZA=60o,A8=4cm,AC=I2cm.动点P从点A开始沿AB边以lcms的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3,/S的速度运动.点尸和点。同时出发，当点P到达点8时，点Q也随之停止运动.设动点的运动时间为fs(0V/V4),解答下列问题：(1)当，为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？(2)在运动过程中，是否存在某一时刻3使4APQ是直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)若点A在线段PQ的垂在平分线上，则AP=AQ,.AP=f,AQ=12-3h=12-3,解得：f=3,答：当=3时，点A在线段P。的垂直平分线上；(2)若NAPQ=90°,则aAPQ是直角三角形，VZA=60°,ZAP=30o,：.AQ=IAP,12-3r=2b.L125若NAQP=90。，则4APQ是在角三角形，VZA=60°,ZAP=30o,.AP=2AQ,：.t=2(12-3/),L247.,当f=或或21时，kpq是直角三角形.578.勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3,4,5；5,12,13；等都是勾股数.把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”.因为6=3X2,8=4×2,10=5×2,那么6,8,10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3,我们把这种勾股数称为“新新勾股数”.(1)请判断9,12,16和10,24,26是否为“派生勾股数”；(2)请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”.【解答】解：(1)V9=3×3,12=4×3,16÷35,9,12,16不是“派生勾股数”；710=5×2,24=12X2,26=13×2,10,24,26是“派生勾股数”：(2)勾股数3,4,5,把勾股数同时乘以3可得9,12,15,15-12=3,9,12,15是“新新勾股数”；勾股数5,12,13,把勾股数同时乘以3可得15,36,39,39-36=3,15,36,39是“新新勾股数”；勾股数7,24,25,把勾股数同时乘以3可得21,72,75,75-72=3,21,72,75是“新新勾股数”；勾股数9,40,41,把勾股数同时乘以3可得27,120,123,123-120=3,27,120,123是“新新勾股数”；勾股数11,60,61,把勾股数同时乘以3可得33,180,183,183-180=3,33,180,183是“新新勾股数”.综上所述，斜边小于200的所有“新新勾股数”有9,12,15；15,36,39；21,72,75；27,120,123：33,180,183.9.课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”,王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、60、61；（2）若第一个数用字母。（为奇数，且。23）表示，那么后两个数用含。的代数式分22别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=卫二L,12=&二L,24=22221.L，于是他很快表示了第二数为曳二L,则用含a的代数式表示第三个数为；22（3）用所学知识加以说明.【解答】解：（1）:3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；ll,60,61；故答案为：60,61：21（2）第一个数用字母（为奇数，且。23）表示，第二数为曳二L,22.1则用含的代数式表示第三个数为22.1故答案为：2242（3）Y/+（A-Jl）2=a+2a+1,24（a+1y2_a+2a÷l2T22+(¾-1)2=(a+1)222又Z为奇数，且。23,22,由。，曳二L2二L三个数组成的数是勾股数.2210.观察下列勾股数：3,4,5；5,12,13：7,24,25；9,40,41：，a,b,c根据你发现的规律，请写出(1)当=19时，求b、C的值；(2)当=2"+l(为正整数)时，求氏C的值；(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数，并说明理由.【解答】解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1,即c-b=l.Z=19,a2+b2=c2t：.92+b2=(/?+!)2,1.b=180,c=181;(2)通过观察知c-b=l,V(2+l)2=c2,c2-庐=(2w+l)2,(b+c)(c-b)=(2n+1)2,b+c=(2n+1)2,又c=b+,2Zh-1=(2n+l)2,.tb=2n2+2nfc=2w2+2+1;(3)由(2)知，2+l,2n2+2nf2n2+2n+l为一组勾股数，当=7时，2+1=15,112-111=1,2112+2=112111,15,111,112不是一组勾股数.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券