不定积分的求解方法.docx

归结不定积分的求解方法目录摘要IAbstract错误!未定义书签。1引言12不定积分的求解方法21.1 根本公式法21.2 分项积分法、因式分解法31.3 "凑微分法第一类换元积分法31.4 第二类换元积分法32. 5分部积分法42. 6有理函数的积分43各种方法所对应的题型53. 1根本公式法53.2 分项积分法、因式分解法53.3 "凑微分法第一类换元积分法53. 4第二类换元积分法63. 5分部积分法73. 6有理函数的积分74解决不定积分的一般步骤8摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：根本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑微分法(第一类换元积分法)、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法”求解。但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进展变换，使其满足公式再计算。“分项积分法+因式分解法"通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降嘉，化成容易积分的形式。当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。”第一类换元积分法通过为复合函数的中间变量“凑微分到达解题目的。“第二类换元积分法多用于当第一类无法实行时，但“第二类换元积分法的换元形式比照不容易看出来，真正做到灵活运用需要累积许多经历。当被积函数是厚函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，我们多考虑用“分部积分法”。"分部积分法"有着明显特征，并十分容易上手，是一种很好的解题方法。而“有理函数的积分法与“第二类换元积分法一样，没有特别固定的套路,多凭借经历和灵活运用。所以一般拿到题目可先考虑用别的方法。在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进展进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进展尝试。假设用某种方法解题时，无论假设何解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误，或者是否选错了方法。总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！关键词：不定积分；根本公式法；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分法1引言函数f在区间/上的全体原函数称为/在/上的不定积分，记作f(x)dx,(1.1)其中称J为积分号，/()心为被积表达式，X为积分变量。假设尸(X)是F(X)的某一个原函数,则不定积分可记为f(x)dx=F(x)+C,(1.2)其中C为任意常数。定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿莱布尼茨公式建设以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建设开展起来，并对数学的进程做出了巨大的奉献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和开展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题的解，从而处理各种科学问题，促进社会开展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会开展的学习趋势。不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最根本的问题之一，又是求定积分的根基，结实掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步稳固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的。现下学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路,最后假设能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是假设只求结题，事后不总结，那么就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对数学的学习热情。本文针对一些常见的函数不定积分的方法进展归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和根本素质。2不定积分的求解方法常见的不定积分求解方法有根本公式法、分项积分法、因式分解法、“凑微分法（第一类换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法等。1.1 1根本公式法我们将一些常见函数的积分归纳成一个积分公式表，如下:kdx=kxC”是常数),+C(-)f-=lnx+C,+ C；InQ2)JSinMX=-COSX+C,jcosxdx=sinx+C, tanxdr = -lncosx + C,COtxdx = InlSinM + C，1 + cosx.1 -rr = tan-+ C,2 J1 + sinx. x dx = tan+ C,(2 4)seczZx=lnsecx÷tanx+C,JCSCAZZr=InICSCX-COtH+C,=tan x + C, csc2 xdx = -cotx + C,JSeCXtanX公=secx÷ C , JcscxcotAzZr = -CSCX + C ；及-Xdx.X , r, r r dx ”、=arcs in + C ( ,= arcsm x + C ),a jl71X=arc tan+ C (dxC、r = arctanx + C ), +x2=In (x + JX2)+ Q ,=In x + x2 -a2 + C ,x-ax-a+ C,ya2-x1dx=arcsin+-ya3-x2+C。J2a21.2 分项积分法、因式分解法分项积分法和因式分解法是基于不定积分两大性质而得。根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：性质1设函数/(x)及g(x)的原函数存在，则/土且心=J4¼±JgG四(2.2.1)性质2设函数/(x)的原函数存在，化为非零常数，则kf(x)dx=A,fxdx.(2.2.2)利用不定积分的这两个性质，可以将免杂积分分解为几项，通过求出每一项的不定积分到达解题的效果。如：1.3 "凑微分法第一类换元积分法如果函数g(x)可以化为g(x)=7¼(-加M)的形式，那么有g(x世=f(.xyp,(x)dx=F(x)+C,(2.3.1)其中尸是/的原函数。这种第一类换元积分法即通过变量代换"=e(x),将积分/°()b'(M化为积分J/(M进展计算。假设复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如J2cos2m的被积函数中，"cos2x”是一个复合函数，“2恰好是中间变量"2x”的微分，那么就有假设复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，但可以添加，我们就可以通过“凑”微分的方式进展换元积分。如一心:中间变量3+2X的微分为2,但并没有作为因式存在于j3+2x被积函数中，这时我们可以乘进一个2,再通过乘以一个1的方法求解：2第一类换元积分法又叫做“凑微分法的原因为是，我们总是在解题过程中，为被积复合函数的中间变量凑一个微分，从而到达换元解题的目的。2. 4第二类换元积分法将积分fxdx中的X适当地选择变量代换为X=(t,则有(2. 4. 1)/(XMt=/附肺GW=1U)+c,其中师。的原函数。这公式的成立是需要一定条件的。首先，丹加济有原函数；其次，加胁(，拉求出后必须用X=。(。的反函数f=0(x)代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函效X二次。在f的某一个区间(这区间和所考虑的X的积分区间相对应)上是单调的、可导的，并且“W0。第二类换元积分法与第一类不同的是，我们换的元通常没有那么明显的逻辑性，换元的选择需要凭借个人的经历。例2.4：求，ya2-X2dxa>0).解：令x=sinf,-<t<f则223. 5分部积分法分部积分法是一种经常用到的积分法。设函数=M)及U=MX)具有连续导数，那么uv,dx=Judv=uv-JVdu.(2.5.1)例2.5：求jxcosMro解：(将看作X,y看作SinX)4. 6有理函数的积分利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，例如对子真分式黑，如果分母可分解为两个多顶式的乘积Q(X)且Qx(X)与。2(»没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和如果多项式还可再分拆成更简单的局局部式，就按上述方法继续分。最后，有理函数的分解式中只出现多项式、/用，、7AG)F等三类函数(这里(工-)(f+p+qjp2-<0,6(x)为小于Z次的多项式，6(%)为小于2/次的多项式)，根据2.1)和(2.2.2),多项式的积分可容易求得。3各种方法所对应的题型5. 1根本公式法当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条(如J?可以化成JX-3公用公式x=-+C(a-1)求解2'公可以用公式=高+0求解)，此时我们便用公式法求解。在实际问题中，一般并不如此简单，都需将原题通过其他方法进展变换，从而满足公式表再计算.例3：求J条。=j45.2 分项积分法、因式分解法这一方法通过把多项式分解成单项式求积分，如将(x2-5)dx分解成为51x-5o不过这一方法的更高价值在于对带有三角函数的积分求解，借助三角恒等式,可以将高次三角函数降基，化成容易积分的形式.所以我们在碰到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，就要考虑用这种方法。例3.2.1：求dx。Mf(x-l)3,rx3-3x2+3x-1,解：-7j-dx=；dxjx2Jx2例3.2.2：求Jtan2xdx。解：先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分：一般的，对于SirJxos"(k>N)型函数，总可利用三角恒等式：sin2X=(1-cos2x),cos?%=g(l+cos2x)化成cos2x的多项式，进而得出积分结果。5.3 "凑微分法第一类换元积分法当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑微分"到达解题目的。一般我们都是根据构成被积函数的复合函数中的中间变量，“凑”一个微分，从而到达解题的目的。下面介绍几种常见的“凑微分题型：1)2)-f(ax,1b)daxn+b),najJ f(axn + b)x,ldxJe"("=j7(eW),xl(1=J/(InXM(Inx)；/,咤!")d=/(arcsinx)(arcsinx),J/(：CSTX)公=Jf(arctanx(arctanx),J /(tanx)sec2 xdx = /(tanx)6(tanx), /(cotx)esc2 xdx =_J/(cotXM(COtX),/(SinX)COSAZZr=/(sinx(sinx),JF(CoSR)Sin戈以=-J/(COSXb(COSx),J/(secx)secxtanxdx=J/(SeC戈M(SeCX),/(CSCX)CSCXCOtXtZr=/(CSCX)J(CSCX)O上述几个题型只是将比照常见的“凑”微分题型进展展现，不难看出这些题型都是中间变量的微分己经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进展一定变形才能发现，如对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式。再除以因式的方法“凑”出微分，如2.3中的一公。J3+2x5.4 第二类换元积分法在我们碰到被积函数是免合函数时，有很大一局部的中间变量的微分是无法用用第一类换元积分法“凑”出来的，这时我们就要用第二类换元积分法。第二类换元积分法的换元形式十分多变，真正做到灵活运用需要累积许多经历。当我们碰到下面这些情况时，要先想到用第二类换元积分法：1）当被积函数中含有J。？-f时,令X=QSinf；当被积函数中含有，/+2时,令=&tan.:当被积函数中含有JX2一9时,令X=QsecZo（注意：当进展完三角函数换元后，通常要画一个如例2.4般的三角形，方便将“元”换回来）2）当被积函数中含有无理函数时，转换为有理函数，如令4=人第二类换元积分法相较于第一类换元积分法用到较少，只要找准代换关系，题目便会迎刃而解。解：被积函数中出现了两个根式J7及F。为了能同时消去这两个根式，可以令X=于是dx=6di,从而所求积分为3.5分部积分法当被积函数是累函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用分部积分法。选择、U时要注意，要使JUd相对于山口较为好求。下面对常见的、U选择进展呈现:xkeaxxknxxksinbxxkcosbxxkarcsinaxxkarctan«xeasinbxeaxcosbx、UVVUUVIUVVUIvUVUIVU上述关系可以理解为，在选择时的考虑顺序为：对反三第三指。例3.5.1：求JarCCoSxdX。解：设=arccosx,dv=dx.那么3.6有理函数的积分有理函数的积分与第二类换元积分法一样，没有固定的套路，多凭借经历和灵活运用。一般来说，这种方法较前5种用到的比照少，所以拿到题目可先考虑用别的方法。虽然如此，但是还是有些特别类型的题目需要用到这种方法，当遇到类似下面的题目时，即用有理函数的积分方法。例3.6.1：求J+1dx.Jx2-5x+6解：被积函数的分母分解成(x-3)(x-2),故可设其中4、8为待定系数。上式两端去分母后，得即x+l=(A+B)x-2A-3B.比照上式两端同次幕的系数，即有从而解得A=4,3=-3.于是例 3. 6. 2：求 X 3 J(x 而一产。解：被积函数分母的两个因式X1与1有公因式，故需再分解成(x-l)2(+l).设x-3=(Av+BXx+1)+C(X-1,即x-3=(a+c)2÷(A+B-2C)x+C,A + C = O, A+B-2C = 1, B + C = -3,A = L 解得，8 = -2,C = -I.x-3(x-l)(x2 -1)dx=J于是=J(-)2(÷)-x-21dx(x -1)2 x + ldx=J公-Ink+"=lnx-1+-lnx+1+C.4解决不定积分的一般步骤在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进展进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进展尝试。假设用某种方法解题时，无论假设何解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误,或者是否选错了方法。1 .直观型用“根本公式法”；2 .被积函数是多个因式相乘除的用“分项积分法、“因式分解法”、"第一类换元积分法、“第二类换元积分法"、”有理函数的积分法”；3 .被积函数带有某个函数微分的用“第一类换元积分法”、"分部积分法”；4 .被积函数有无理函数的首先考虑用“第一类换元积分法”、"第二类换元积分法；5 .被积函数是寻函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，用“分部积分法。总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！