三次函数的图象与性质（教师版）.docx

三次函数知识点总结知识点一：三次函数概念定义：形如fM=ax3+bx2+ex+d(0)叫做三次函敞/(X)=3ax2÷2bx+c,把A=4b2-Ylac叫做三次函数导函数的判别式当A>0时，令/'(%)=0,记两根为X=±g三每,M=知识点二：三次函数的图像及单调性注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！a>0<0/(X)J图像IX12X/XoXXiM>00>00/'(X)图像yM¼fv,/(X)性质增区间(-00,须),(，+)减区间(Xl，X2)f()有两个极值点极大值/区)，极小值/(x2)f(x)0恒成立f(x)在R上递增f(x)无极值点增区间(XX2)减区间(-,x1),(x2,+00)f()有两个极值点极大值f(X2)，极小值f(X)f(X)0恒成立f(x)在R上递减f(x)无极值知识点三：三次函数的韦达定理设fW=+bx2+c+d(0)的三个零点分别为修，孙，如则(1) Xi+X2+%3=-；(2)%1%2+%2%3+×3×1=；(3)%1%2%3=Y七证明设/(x)=ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(%-x2)(.x一3)即f(%)=ax3-Q(Xl+X2÷%3)/+Q(XlX2+x2x3+×3xl)x-xlx2x3-(%+M+%3)=bb(%2+%2%3+%3%1)=Cki+X2+3=-；ill23+3x1+x1x2C,.c.n-I+=；第12+%2%3+=£X1X2X3=-M以必MX2*3d-a××2x3=d知识点四：三次函数的零点个数若三次函数/)=Q炉+bx2+c%+d(0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下:性质三次函数图像说明a>0a<0零vIIXb23ac>0点三个l八/(X1)f(%2)<0个rrrTTTT两个极值符号相异数IIV7I图像与X轴有三个交点两个Tlfb23ac>0f01)f(%2)=0有一个极值为0图像与轴有两个交点一个db23ac>0/ODf3)>0不存在极值时，函数单调，与轴有一个交点知识点五：三1次函数的对称性结论h三次函数f(x)=q%3+/+cX+d(0)的图象关于点(一g/(-勺)中心对称证明设丫=f8的图象关于Gn,叫对称,则f8满足f(jn+x)+f(m-x)=2n/(m+x)+f(m-x)=QKm+x)3+(m-x)3+b(m+x)2+(nx)2+CKTn÷x)+(m-x)+2d即f(m+%)+/(m-%)=(6xm+2b)x2+2m3+2bm2+2cm+2d=2n恒成立fam+2b=0=Pn一一五l)2am3÷2brnz+2cm+2d=2n)0,91,/b(Zl=ami+bmr+cm+d=f(J所以三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)图像关于点gf(-勺)中心对称结论2：已知三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)中心对称点的横坐标为两个极值点分别为小,%则”等=(0)=-(x1-x2)2Xlr23N,_L证明f 8 = 3 x2 + 2bx + c =：J_c_3n%l-2=(X1+X2)2-4X1X2=23"l3flf"132-3a*吟="ZHbgJHcaE)=a(Xi+X2)2_XiX2j+h(1+x2)+c=a(-£)2-÷bT)+c=中，。)=7T)T3。(-兼+2b(T)+c=好一2i)2T(宏萨)=殁弃，所以铝詈=V6。)=一式打一血)2,证毕.结论3：若y=f(%)图像关于点(m,几)对称，则y=/'(%)图像关于轴x=m对称结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数知识点六：三次函数的零点性质定理F定理一：己知三次函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(a0)的图象与X轴交点分别为Pl，P2,P3,点P是三次函数固象上异于匕，P2,P3的一点，且y=/(%)在P点处的切线的斜率为心，pp-pp2,PP3的斜率分别为七，修心，结论：*0=自+0+七r4Xy证明设P(X0，r(%o),PGI,0),2(%2，0)，P3(x3,0)妍f(x)=Q%3+b%2+IWcx+d=a(x-x1)(x-x2)(-%3)，故f8=a(x-xi)(x-&)+(%-×)C一%3)+(X-X3)(%一/)代入点P得,ko=/(x0)=a(-1)(-x2)÷(M)-X2)C0-X3)÷(%o-%3)(%0一修)1又k=a(x0 - %2)(%0 - %3)/(xo)-O_a(xor1)(xor2)(xo3)XQ-Xl*0M同理Q-QaO-%)(%o-%3)，k3=Q(Xo-%2)(出-%1)，所以k。=k1+k2+k3,证毕.定理二：己知三次函数f(%)=ax3+bx2+ex+d(0)图像与x轴交点分别为P1，结论:儡 n = k + k2 + kP2,。3，点P(m，兀)是平面上任意一点，PPjPP2,PP3的斜率分别为七，一七，七证明设Pl(X1，0)»P2(×2*0)，Pa(×3,0)，由题f(m)=a(m-X1)(m-X2)(m-X3)则k+k2+k3=3+3+3=U%+%+%q=S¼f(m)m-×m-×2m-3r(m)Lm-×m-×2m-3Jf(m)所以黑n=k1+k2+k3,证毕.f(m)定理三：已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(0)的图像与X轴交点分别为Pla1，O),P2(x2,O),P3(x3,0),且f(%)在这三点处的切线的斜率分别为的，k2，fc3>结论：+5+；=。，詈+孑+?=OAlk2k3kik2k3证明由题f(x)=ax3+bx2+ex+d=a(x-x1)(x-X2)(x-×s)故f(x)=a(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-X3)+(x-x3)(x-XiG故工+2+2_=_+-_+-_=!+!+kk2k3f,(xi)f,(x2)f(x3)a(×-×2)(××3)a(×2×)(×2-×3)a(×3x)(×3×2)所以J-+-L+-L=(X2-X3)+(X3-X1)+(X1-X2)=0X£×2×3_Xl+X2_|_X3=XlX2kk2k3a(x1-X2)(x1-X3)(x2-X3)'kk2k3f'(×)f'(x2)f(×3)a(x1-2)(x1-X3)a(x2W)(x2f3)而氤F所续+菅X1(X2-X 3)+X2(X3-Xl)+Xl(XX2)a(xl-x2)(xl-x3)(x2-x3)0,证毕.定理四：已知三次函数f(x)=x3+bx2+CX+d(0)在其中心对称点Pa0,/(x0)处切线的斜率为(),且八>)的图像与不轴的交点分别为PiQq,O),P2(x2,O),P3(x3，0)，f(x)在这三点处的切线的斜率分别为h，k2,k3,结论：c1+fc2+k3=-3k0证明由题f(x)=ax3+bx2+ex+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)故f(x)=a(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3)(x-Xi)所以Iq=a(x1-X2)(x1-X3),k2=a(x2-x)(x2-x3)>=a(x3-x1)(x3-x2)即比+k2+k3=a(x1-x2)(x1-x3)+(x2-×)(x2-x3)+(x3-×)(x3-X2)，化简得k+k2÷k3=a(2+X2+2-12-2x3-x3x1),又由韦达定理待X1+X2+x3=-2即XO=-A=-*母，所以fGo)=f小警)，代入导函数化简得a3a33/fGo)=-J(×1+×2+X3)2-3(×1×2+×2×3+X3X1)=-式Xj+×2+X3-xlx2-×2×3-×3×1)所以k1+k2+k3=-3'f(x0),即1<1+1<2+1<3=-3%,证毕.F/定理五：已知三次函数,3)=3+b%2+c%+d(0)的图像与工轴的交点分别为7,-/PIa1，0),p2x2,0),p3(x3,0),过Pl的法线为3过P?的法线为，3,过2且与t广飞匚、/轴垂直的直线为心若。与交点为M,%与，2交点为N,结论：MN的中点恰为P2司证明由题f(x)=a3+bx?+cx+d=a(X-XI)(x-X2)(x-X3)/故f(X)=a(x-X1)(x-X2)+(-2)(×-X3)÷(x-x3)(x-XlG故依广a"-XgXLX3',卜=一审=-弘；(/),:令X=f(X3)=a(x3-Xl)(X3-X2)Ik1=-2=-a(-2)(-×3)I1f(3)a(x3-1)(3-2)所以yM+yN=o,即MN的中点为P2,证毕.知识点七：三次函数的割线性质定理定理一：已知在三次函数f0)=x3+b：2+c：+d(0)的图像上任取点P,过P作一条切线,切点为T,过P作一条割线,交点为M,N,结论:T点的横坐标平分M,Nxm+证明设M(X1，f(x1),N(x2,f(x2)»P(X0，f(xo)，过P点的直线1：y-f(x0)=k(x-卜X。)则P,M,N既在三次函数图像上，也在直线1上，满足方程组/pSZy=ax3+bx2+ex+dy=ax+bx+cx0+d+k(x-x0),两式相减得ax3÷bx2+ex÷d-(ax+bx+cx0÷d)=k(x-x0)即a(x-x0)(x2+XoX+x)+b(x-x0)(x+x0)+c(x-x0)=k(x-x0)化简得a(x2+X0X+x)+b(x+x0)+c=k=ax2+(ax0+b)x+ax+bx0+c-k=0此时XX2是该方程ax2+(ax0+b)x+ax+bx0÷c-k=0的两根由韦达定理得Xl+X2=-手，同理当1是切线PT时，Xr=Xi=Xz=-誓F所以T点的横坐标平分M,N的横坐标，证毕./推论一已知在三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(0)的图像上任取点P,过点P作一条切线，切点为T,过点P作两条割线，交点分别为M,N与R,S,结论：T点、的横坐标平分M,N的横坐标，也平分R,S的横坐标，即2%7=%m+%n=%/?+%s/推论二：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+d(0)的图像上任取点P,过P<!作两条切线PM,PN,切点分别为P,N,结论：N点的横坐标平分P,M的横坐标，*/即与+xm=2xw_/_j/证明证法同定理一/:定理二：已知三次函数/(%)=ax3+bx2+cx+d(>0)的中心对称点为点P(Xo，/(%0)»极大值为m，且f(%)=m的两报为与，x2(x<%2)*f(%)的极小值点为无3,结论：区间与，引被Xo与X3平分，即打-X3=AT3-=-修.(四段横坐标差相等)-一八=L证明由三次函数对称性知，M与N关于点P对称，所又由推论一知：X0+×2=2x3,x2-X3=X3-Xo=被Xo与X3平分，证毕.以Xi ÷ X3 = 2X0Xo-Xl所以区间上1，X2ex + d( 0)图像上 切.若点P为三次函数图像的中心对称点，则。、过点P有且只有一条知识点八，三次函数的切线条数判断定理类型一：过三次函数图像上任一点的切线设点P为三次函数/(x)=ax3+bx2+任一点，则过点P一定有直线与y=f(%)的图像相切线；若点P不是三次函数图像的对称中心，则过点P有两条不同的切线.证明设P(Xpy),f(x)=3ax2+2bx+c,过点P的切线可以分为两类：(1)若P是切点，则比=f(x1)=3axj+2bx+c,切线方程为：y-yi=(3a2+2bx1÷c)(x-x1)(2)若P不是切点，则过P点作y=f(x)图像的切线，切于另一点Q(X2,y2)号="+b工:-CM=12+切+b(X1+x2)+cx2xlx2xlXk2=f(x2)=3a×2÷2bx2+c,所以ax：+ax1x2+ax：+bx1+bx2+c=3ax÷2bx2÷cSP(x2-×)(2x2+x1+-)=O,解得2=-4x所以k2='axj+,bx-1+ca/Za4Za当lq=k2时，3ax；+2bx+c=jax；+TbXI-总+c当Xi=一盘时，两切重合，所以过点P在且只有一条切线，当Xi-颖，k1k2,所以过点P有两条不同的切线其切线方程：y-y=(3ax；+2bx1+C)(X-XI)或y-y1=Qax+bx1c)C类型二：过三次函数图像外一点的切线区域分布切线条数判定定理：过三次函数/(x)=x3+bx2+cx+d(>0)的中心对称点作切线，平面被该切线和函数y=(x)图像分割为四个区域，I,H,H,VI,不妨记该切线为区域V,三次函数曲线为区域VI,如上图所示，设点P(&,y0)为平面内一点，令g()=yo-/()+/()(-0)，则当必=一捺，则P为中心对称点，过点P作y=/(%)的切线，条数为1条(见类型一)当品且9(与切(一勺=0,则P在区域V或Vl上(挖掉中心对称点)，条数为2条当%0-品且g(%o)g(-5)>o,则P在区域II,IV内，过点P作切线，条数为1条当%0一套且g(&)g(_gvo,则P在区域1,川内，过点P作切线，条数为3条证明设过点P作直线与y=f(x)图像相切于点Q(x1,y),则切线方程为y-y=(3ax+2bx1+c)(x-Xi),将点P(X0，y()代入得2ax；+(b-3axo)xj-2bxf)X+y。-d-cx0=O设g(x)=2ax3÷(b-3ax0)x2-2bx0x+y0-d-cx0g(x)=6ax2+2(b-3axo)x-2bx0,A=4(b-3ax0)2+48abx0=4(3ax0+b)2令g(x)=O,则x=X(),X=-蒋，当g(x)=O恰有个实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴只有个交点，即y=g()在R上为单调函数或两极值同号，所以o=-葛或XOW吗，且gGo)g(W)>O时，过点P恰有条切线，当g(x)=O有两个不同实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴有两个公共点且其中之为切点，所以XON-且gGo)g(T)=O时，过点P有两条不同的切线，当g(x)=O有三个不同实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴有三个公共点，即y=g(x)在一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以x。-2sgGo)g(T)<0时，过点P在三条不同的切线.类型三：由三次函数切线斜率值判断切线条数斜率值切线条数判定定理：已知三次函数/(X)=QA3+bd+6+d(0),若其切线斜率为k,则满足其切线斜率为k的切线的条数如下：k与系数的关系a>0a<0,3ac-b2K=3a一条一条,3ac-b2k>3a两条两条,3ac-b2k<3a零条两条证明f(x)=ax3+bx2+ex+d(aO)=>f,(x)=3ax2+2bx+c为二次函数，先讨论a>O的情况:当X=-F时，f(x)min=洛尤.当k=年出时，方程3a2+2bx+c=等生有两个相同解JaJa3aJa此时切线有且只有一条：其方程为y-f()=萼(+V)当k>时,方和3a2+2bx+c=k,有两个不同的解x1，x2,且X+X2=g«333a此时存在两个不同的切点(Xl，f(X),(X2,f(x2)>且两个切点关于三次函数图像对称中心对称,所以斜率为kkV注空时，方程3a2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在.3a同理可证，aVO时结论成立题型一：三次函数的零点问题例1.(2023全国高三专题练习)函数/(x)=+r+2存在3个零点，则。的取值范围是()A.(-oo,-2)B.(-8,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)【解析】/(x)=+ar+2,则八x)=3l+*若/(x)要存在3个零点，则/(力要存在极大值和极小值,则”0,令/'(x)=3f+=0,解得X=或JW，且当x1-8,-Ju卜寸，/'(x)>0,当XW卜杼后),(x)<O,故/(X)的极大值为/(-栏)极小值为/(后若/(x)要存在3个零点,，舟 他)2 巨一 aR + 2>0,解得<-3 "舟<。故选：B.题型二8三次函数的最值、极值问题例2.已知函数/a)=?/+/+2。,gw=l-4.(1)若函数/O)在(O,+e)上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；设Ga)=/(x)-g(x).若0<<2,Ga)在1,3上的最小值为Ma),求Ma)的零点.【解析】(1)(x)在(0,+e)上存在单调递增区间，/口)=-+23+24>0在(0,+力)上有解，又/(X)是对称轴为4=1的二次函数，所以/O)在(0,+8)上的最大值大于0,而/«)的最大值为/'(1)=1+2%.l+20>0,解得：(2) G(x)=f(x)-g(x)=-1+1X2+2x+4,G,(x)=-+x+2a,由GG)=O得：.J中弘,士=山磐，则Ga)在(-,xj,(z,+)上单调递减，在(士,工2)上单调递增，又当0<a<2时，xl<0,1<与<3,.G(x)在1,3上的最大值点为为，最小值为G(I)或G(3),而G(3)-G(l)=-日+4，1。当-号+4q<0,即0<。<、时，Ma)=G(3)=6a-；=0,得此时，Ma)的零点为；2。当-1+40,即(<2时，()=G(l)=+2=O,得。=-之(舍).综上人(。)的零点为3661212题型三：三次函数的单调性问题例3.已知函数/(x)=；./.笥IX2,g(x)=；_WX,m是实数.(1)若/O)在区间(2,+8)为增函数，求m的取值范围；(2)在(1)的条件下,函数(x)=(x)-g(x)有三个零点，求m的取值范围.【解析】/'(X)=X2-(阳+1)%，因为/(x)在区间(2,+00)为增函数,所以/'(工)=乩"?一1)却在区间(2,+8)恒成立,所以_用一出0,即m。_1恒成立,由工2,得m5.所以?的取值范围是(-8,1.(2)x)=(x)-g(x)=x3-y-x2+w-v-,所以"(x)=(X-I)(X心),令I(X)=O,解得X=m或X=1,m=1时，/?'(X)=(X-1)?0.(力在R上是增函数,不合题意，m<1时,令'(x)>0懈得X<M或X>1,令h,(x)<0,解得m<x<,所以MX)½(-oo,m),(l,+oo)递增,在(w,l)递减,所以MX)极大值为力(阳)=-/3M切极小值为力=等6232要使/(x)-g(x)有3个零点濡6/3,解得机<16所以加的取值范围是(,l-6)<0I2题型四：三次函数的切线问题例4.(2023全国高三专题练习)已知函数/(X)=Y-北求曲线N=(x)在点M",/)处的切线方程；(2)设常数0>0,如果过点P(QM)可作曲线N=/(x)的三条切线，求掰的取值范围.【解析】(1):函数/(x)=x3r,.'(x)=32-1.切线方程为y-(f)=/'(f)(x),即y=(3/一1口一2一.(2)由已知关于，的方程w=(3/-l)-2-,即m=-2t3+3at2-(>0)有三个不等要根.令g")=-2尸+3-。，则g'")=-6("4).可知g(Z)在(一8,0)递减，在(0,)递增，在(,+)递减，g。)的极小值为：g(0)=-4,极大值为gm)=-.所以-。<小</一.变式c.(2023全国高三专题练习)设函数/(X)=x3÷0r2+bx+c(<0)在X=O处取得极值-1.(1)设点求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点(0,0)可作曲线y=(x)的三条切线，求a的取值范围；(3)设曲线y=f(x)在点(知/(%)、(/J(X2(X尸)处的切线都过点(0,0)，证明：(),)【解析】(1)证明：由/(%)=(/+。/+及+。(4<0),得：,(x)=x2+2ax+b,由题意可得北)二二°1，所以，/(X)=¥*-1.此时，f,(x)x2+2axt当x<0时，/抬)>0,此时函数/(x)单调递增，当OVX<-2时，(x)<0,此时函数/(x)单调递减,所以，函数/(力在X=O处取得极大值-1.设切点为(XoJo),则切线方程为P-No=/'(XO)(X-%)，即+1=(W+24xt>)(x-Xo),即为y=(xj+20XI)X-彳；-G：-1,将点(-,/(-)的坐标代入方程可得£+3谒+3/%+/=0,即(XO+)'=0,所以/=-。，即点A为切点,且切点是唯一的，故切线有且只有一条.所以切线方程为x+y+$3+l=0.(2)因为切线方程为尸卜：+肛)x-4-*-l,把点(0,0)的坐标代入切线方程可得*+N+1=0,因为有三条切线，故方程得:W+N+1=0有三个不同的实根.设g(x)=W+(<o),g,(x)=2x2+2ax,令g<x)=2+2t=0,可得X=O和工二一”.当x(-,0)时，g,(x)>O,g(x)为增函数,当x(0,-)时，g,(x)<0,g(x)为减函数，当xw(-d+)时，g'(x)>0,g(x)为增函数,所以,函数g(x)在X=O处取得极大值，且g()极大值=g(o)=>o,函数g(x)在X=-。处取得极小值，且g(x)松小攸=g(-")=|4+d+1q+1,因为方程g(x)=0有三个根，则g()=%<o,解得<S因为8，4卜”耳|)>0,g(-3t7)=-9«3+l>0,由零点存在定理可知，函数g(x)有三个零点，综上所述，<-3.(3)证明：假设/'(/)=/'(42)，则M+2叫=+23，则(玉一w)(玉+4+2)=0,因为玉Hx2,所以2,-.vf+a2+1=0Oxl+x2=-2a.由(2)可得;.，两式相减可得-用+"(X；Y)=0.y1+ax；+1=032因为XlHX2，故(¥+中2+)+(xi+X,)=0.把玉+X2=一2代入上式可得，X+x,x2+x12=3a2,所以(x+W)?-=3/，(2a)2xx2=32»所以玉%2=又由XR<L产)=(半J=乙这与再与=/矛盾.所以假设不成立，即证得/'(xJ'(X2)题型五：三次函数的对称问题例S.(2023全国高三专题练习)给出定义：设)是函数y=(x)的导函数，是函数y=/()/"(X)=O有实数解X=X0,则称(XOJ(XO)为函数V=(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数jx)=ax3+bx2+cx+d(aO)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数J=/(x)A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096【解析】Lt(x)=3x2-6x,可得/斗)=6-6,令/”("=0,可得X=1,又/=1一3=-2,所以丁=f(力的图像的对称中心为(1,一2),即/(l-x)+/(1+x)=-4,O+M+.+40444045(2023)12023J12023J(2023)(2023J故选：B.F.过可以作三条直线与y = ()图像相切变式L(2023全国高三专题练习)己知函数歹=金+3/+工的图象C上存在一定点P满足：若过点尸的直线/与曲线C交于不同于尸的两点Ma,),N(z,%),就恒有必+为的定值为为，则为的值为.【解析】因为P为定点,必+”=为为定值，所以",N两点关于点P对称，由y=f+3+可得y=3x2+6x+l,设g(x)=32+6x+l,g'(x)=6x+6令g'(x)=6x+6=0,解得=-1,所以根据三次函数的对称中心的二阶导数为0可得P(TI)是三次函数尸/+3/+%的对称中心，所以,+必=2,即为=2.故答案为：2变式2：(多选题)已知函数)=+62+ggz0)的对称中心为a。，则下列说法中正确的有()A.a=-,b-3B.函数/(x)有三个零点C.过(3,目可以作两条直线与y=(x)图像相切D.若函数/(x)在区间(f-6,f)上有最大值，贝JO<f3【解析】对于A中，由/(x)=0+反2+2,可得r()=3加+2反，则/"()=6r+26,因为点(1,1)是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，/"=6+26=0且/=b+g=l,解得=g,6=-l,所以A正确；对于B中，由力=T,可知/(x)=?=/+!，,则r(X)=J"%,令/'(x)=0,可得x=0或=2,当x(y>,0)时，欢x)>0,/(力单调递增；当x(0,2)时，,(x)<0,/(x)单调递减；当*(2,+r)时，/小)0,/(x)单调递增；又/(0)=g,(2)=;,则函数/(力图象如图所示，由图象可知，函数/(x)只有一个零点，所以B错误；对于C中，因为/=(所以点(33)恰好在/(力的图象上，画出函数/(力的切线，如图所示，由图象可知过点(3,$可作函数/(x)的两条切线，所以C正确：对于D中，若/'(X)在区间("6#上有最大值，由上图可知，最大值只能是:，所以0<f3且一6<0,解得0<%3,所以D正确.故选：ACD.E、因为函数/(x)=+62+;(而工0)的对称中心为(1,1),所以有f(x)+(2)=2,设S=(M1卜+/儒卜/儒卜),所以有S=/儒卜/儒)+/岛|+/(马(2),(1) +(2)W,2S=2+2+2+2=2x199,所以S=199即/(”1卜+/儒”儒)的值是199.故B正确：F、设切点为T(XOJ°),则切线方程为卜-(丁；-x：+：)=2%)，又切线过卜Lg),则；=屈一九)1一"。)化简得£_3x0-2=0,即(Xo+1)2(/-2)=0,解得Xo=-I或%=2,即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.题型六：三次函数的综合问题例6.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=d+加+以+d在(Y,O上是增函数，在0,2上是减函数，且方程/(x)=0有3个实数根，它们分别是a,B,2,则4+/的最小值是()A.5B.6C.1D.8【解析】由/(x)=d+b+B+d得/¢(.=3/+2+*因为/(x)在(y,0)上是增函数，在0,2上是减函数，所以/'(0)=0,所以c=0,此时/'(x)=0的另外一个根-gz2,所以b-3,因为方程/(x)=0有3个实数根，它们分别是。，B,2,所以/(2)=0,所以d=-4(6+2)且/(x)=(x-2)(x-)(x-')=3-(a+7+2)x2-(2a-v2-a)x-2a,b=a2,ct+=b2,22今所以T-2/则U26+4,所以4+夕=(。+分-2如(心2)2一2(26+4"_4,因为b<-3,所以9,所以+，的最小值是5.故选：A.变式.(2023全国高三专题练习)Bl/(x)=？-6x2+9x-ahc,a<b<ct且/(a)=/®=/(C)=0,现给出如下结论：/(x)l;/(x)3;/(0)/(l)<0；©/(0)/(3)>0；而c<4.其中正确结论的序号是【解析】求导函数可得/'(、)=3/一12%+9=3(工一1)(%-3),，当1<“<3时-，/'(外<0；当x<l,或x>3时，,(x)>0,所以/(X)的单调递增区间为(YoJ)和(3,”),单调递减区间为(1,3),所以/3的极大值为/(1)=1-6+9-abc=4-abc,fkx的极小值为/(3)=27-54+27-abc=-abc,函数没有最值，要使/(x)=0有三个解。、b、c,那么结合函数/(%)草图可知：a<l<<3<c,所以/(l)=4-abc>0,且/(3)=-血<0,所以0<4>c<4,-J(O)=-abcf(0)<0.(0)(l)<0,/(0)(3)>0,故®错误；®正确.故答案为：.题型七：三次函数恒成立问题例7.(2023全国高三专题练习)设。为实数，函数/(x)=d-3/+*g()=lnx.求/(x)的极值；对于el,3,Vx2e,都有/(xjg(x2),试求实数。的取值范围.【解析】函数/(力=/-3/+。的定义域为R,/()=3-6x=3x(x-2),令/'(x)=0,可得x=0或2,列表如下：X(一力,0)0(0.2)2(2,+°0),(v)+0一0+f(x)增极大值减极小值增故函数/(力的极大值为/(O)=%极小值为/(2)=-4对于WXItl,3,J,e,都有/(xJg(X2),则/)ming()ma由(1)可知，函数/(X)在1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增，故当xwl,3时，/(x)mn=(2)=a-4,因为g(x)=xlnx,且XW1,e,则8'(%)=1+卜:()且8'(力不恒为零，故函数g(x)在加上单调递增，故g(x)ma=g(e)=e,由题意可得-4e,故c+4.变式1.已知三次函数/(工)=加+次-3x(,b,ceR).(1)若函数/(力在点(IJ(I)处的切线方程是歹+2=0,求函数/(x)的解析式；(2)在的条件下，若对于区间-2,3上任意两个自变量的值/，X2,都有|/(司)-/()归?，求出实数机的取值范围.【解析】(1)由题意，函数/(x)=0+近2-3,可得r()=32+2bx-3,因为函数/(x)在点(Lf(I)处的切线方程是y+2=0,可得懦)：二曾釐解得=1,b=0,所以/(X)=t3-3x.(2)由(1),(x)=3x2-3,令/¢(X)=0,即3)-3=0,解得x=±l,当x(-,T)时，/心)>0；当XG(TI)时，0(x)<O;当x(l,+)时，/心)>0；所以/(4)在(-8,-1)和(1,+¥)上分别单调递增，在(TI)上单调递减，而f(-2)=-2,/(-1)=2,/(l)=-2,/(3)=18,所以在区间-2,3上(x)g=18,/(x)mjn=-2,所以对于区间-2,3上任意两个自变量玉，都有|/(xJ/(W)归/(XLX-/(x)min=20,所以m20,即实数机的取值范围是20,M).变式2c.已知函数/(X)=TX3+Jqx2+2x+3("R),/'(X)为函数/(x)的导函数若尸-1为函数/(x)的极值点，求实数。的值；(2)/&)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数。的取值范围；(3)对任意0<a5时，任意实数4W«T2,都有)+(x2)-3M+7”彳恒成立，求实数M的最大值.【解析】(口因为/。)=-；/+3/+2/+?,ff(x)=-x2+ax+2a2,因为X=-I为函数/(*)的极值点，所以/”(I)=/”+2/=。，解得。=一；或a=；当=l时，/(x)=-yx3+x2+2x+3,KJf,(x)=-x2+x+2=(-x+2)(x+l),所以，当T<x<2时/'(x)>0,函数/(x)单调递增，当x<T或x>2时/'(x)v,函数/(x)单调递减，故函数在x=7处取得极小值，符合题意；当时，/()=-l-l2+L+3,则2342f,(x)=-X2-1+l=(+1)-4J,所以，当Tv<时/()>0,函数/(x)单调递增，当x<T或时/'*)<0,函数/(x)单调递减，故函数在X=-I处取得极小值，符合题意；综上，或=l(2) (x)=-+0x+22=-(x+)(x-2a),因为/的单调增区间内有且只有两个整数，所以，有且只有两个整数满足不等式/'a)>0,即有且只有两个整数满足不等式(x+q)(x-2)<0,显然。工0,当0>O时，解得-<2,即不等式的解集为k|-<x<20,所以七解得g<Ql;当<O时，解得2<x<-,即不等式的解集为x2<X<-力，所以小，解得-综上可得-1,l)up1(3)因为/(玉)-3=TX，+；时2+2q2,令g()=-g/+i2+2a2xt则g，(X)=-F+oy+Z。?=一Q+q)(一勿),令g'(x)=0,则X=F或x=24,因为0<,所以-g，。)，24(0,l,所以当xe-l,-和x(24,2时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当xe(-,2)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，117Q所以函数g(x)的极小值为g(-)=：/+：/-2/=,乂g(2)=_；+2+4/,32637871令人()=g(2)-g(-a)=/+4/+2。,'()="2+8+2>0在0<4-上成立，6322所以，当O<g时，函数Ma)单调递增，故力(叽=呜)=-H<0,所以g(2)<g(一。)，即当xe7,2时，g()min=g(2)=-2a4a2t又/(马)=引+%+的？=一&一学+羊38因为 a2 - 3a =0<0!,所以6fl2-3«=6(a2I 4)8 »所以即实数M的最大值为-7. 8OS其对应函数图像的对称轴为