一轮复习学案2.3函数的奇偶性与周期性.docx

2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数正")的定义域内任意一个X,都有Ax)是偶函数,那么函数关于称对行函如果对于函数Ar)的定义域内任意一个X,都有一_,那么函数关于_一对数AX)是奇函数称2 .函数的周期性(1)周期函数:r为函数Ar)的一个周期,则需满足条件:7和;对定义域内的任意X都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数危)的所有周期中存在一个,那么这个.就叫做段)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=於)(X七R)的个周期,则"T(7Z,且和)也是函数/(X)的周期,即於+Q=於).常用结论1 .函数奇偶性的五个重要结论如果个奇函数兀V)在X=O处有定义,即/(O)有意义,那么i定有型)=0.(2)如果函数兀V)是偶函数,那么x)=(W).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇土奇=奇,偶土偶=偶,奇X奇=偶,偶X偶=偶,奇X偶=奇.(5)只有/x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.2 .周期性的三个常用结论对凡0定义域内任一自变量的值力为非零常数)：若/(x+)=(x),则T-2a若J(xU)=土卷则T=2c(3)若y(x+Q)Mx-b),则T=a+h.3 .对称性的四个常用结论若函数y=(x+)是偶函数,即Aa-X)可(+x),则函数y=(x)的图象关于直线xa对根若对于R上的任意X都有H2"-)=()或/(-x)=%+x),则y=(x)的图象关于直线x=对称.(3)若函数y=_/0+)是奇函数,即H-X+8)+於+3=0,则函数y=(x)的图象关于点g,0)中心对称；(4)若丁习对任意的R,都有人"-x)=(力+x),则函数y=(x)的图象关于直线X=手对称;都有(-x)=(x),即<x)+Ar)=A则函数)，守5)的图象关于点<T)中心对称.(5)已知函数兀0图象的对称轴为X=WI,若AX)在区间(加,+8)上单调递增,则当X-M>X2-M时J(XI)习(X2)；若/(%)在区间(州,+8)上单调递减,则当IM制>2-M时J(Xl)勺(X2).考点自诊1 .判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“X”.(1)函数y=x2在区间(0,+8)内是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y=(x-2)是偶函数,则函数y=(x)的图象关于直线x=2对称.()(4)如果函数/W,g(x)是定义域相同的偶函数,那么Fa)=U)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=(x)是定义在R上的偶函数,若/尤)在(。,0)上单调递减,则火X)在(0,+8)上单调递增.()(6)若T为产加)的一个周期,则仃5Z)是函数於)的周期.()2 .已知於)是定义在R上的奇函数,当QO时於)=Hnx+若氏e)=4,则旭)+川)=()A.-lB.0C.-2D.13 .(2019全国2,文6)设Kt)为奇函数,且当x0时於)二口1,则当XVO时於)=()AepB.ej+1C.-er-lD.-er+l4.(2020全国2,文10)设函数段)=P*,则火幻()A.是奇函数,且在(0,+8)单调递增B.是奇函数,且在(0,+8)单调递减C.是偶函数,且在(0,+8)单调递增D.是偶函数,且在(0,+8)单调递减25.(2020江苏,7)已知yx)是奇函数,当x0时lU)=婚,则1-8)的值是.关键能力学案突破考函数奇偶性点的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1次T)Klga+E);CS、f2÷2÷Ia>°)，(2)J(x)=2W+2x-l(x<0);阿=j嘉逗!判断函数的奇偶性要注意什么？解题心得判断函数的奇偶性要注意两点：(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式(x)t-x)=O(奇函数)或以)(-x)=O(偶函数)是否成立.对点训练1(1)(2020河南实脸中学4月模拟,3)设函数Ar),g(x)的定义域都为R,且Ar)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()AAx)g(x)是偶函数B.U)卜g(x)是奇函数C-X)g(训是奇函数DMX)g(x)是奇函数在下列函数中,与函数y=2泰的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=erC.y=x1B.y=ln(x+x2 ÷ 1)D.y=tan x考函数奇偶性 的应用点【例2】设段)-x2=g(x)R若函数(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为()A.g(x)=x3B.g(x)=CosXC.g(x)=l+xD.,g(x)=xer(2)已知函数y=J(x+)-2是奇函数,g(x)=等，且KX)与g(x)的图象的交点为X-I(XI田),(MJ2)，(&，%)，则X+X2+,+X6+)'1+)2+%=.(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知,/W是定义在2。16上的偶函数,且在280上单调递增,则AX-I)Wy(2x)的解集为()A.-l,B.-lgC.-l,lD.，愎圄函数的奇偶性有哪几个方面的应用？解题心得L函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于凡r)的方程,从而可得儿6的解析式.对点训练2(1)已知/)是定义在R上的奇函数,若x>0时lW=xlnx,则x<0时曲)=()A,xlnXB.xln(-x)C.-xlnXD.-xln(-x)(2)已知函数Tu)=-岛(a£R)为奇函数,则U)=()A-B-C-D-03332(3)(2020湖南师大附中一模,理13)己知函数yW=ov-log2(2x+l)+cosx(R)为偶函数,则K考点函数的周期性的应用¢'13(1)(2018全国2,理11)已知/W是定义域为(-8,+8)的奇函数,满足川田二川+外，若M)=2,则,/(l)+A2)+(3)+/(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数M4则K5+log26)的值为.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数Kr)定义域为R且满足/(-X)=处)<x)=(2f),若式1)=4,则/(6)t(7)=()A.-8B.-4C.0D.4(2)(2020陕西二模,文6)设函数/U)是定义在R上的周期为2的奇函数,当OvXVl时j=4,则/(-，+42019)=()A.-2B.2C.4D.6考点函数的对称性例4已知函数兀V)(XWR)满足(-x)=2W,若函数y=号与y=(x)的图象的交点为m(xJl)G2J2),(Jm),则(Xi+jr)=()Z=IA.0BtmC.2mDAin逗I你知道的函数的对称性的结论有哪些？解题心得函数对称性的判断与应用(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.(2)轴对称的等价描述:/(4-x)=(+x)<=MX)的图象关于直线x=a轴对称(当。=0时,恰好就是偶函数);/(x)=S+x)<=(x)的图象关于直线X=竽轴对称;U+)是偶函数,则J(x+a)力(-x+),进而可得到人幻的图象关于直线x=a轴对称.(3)中心对称的等价描述:f)=(+x)uU)的图象关于点(,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);/加x)=()+x)u(x)的图象关于点(竽,0)中心对称;领什。)是奇函数,则J(x+a)=-J-x+a)M而可得到/(x)的图象关于点3,0)中心对称.对点训练4已知定义在R上的奇函数府)满足AjI)=2,且在区间0,2上单调递增.若方程火X)=?(心0)在区间-8,8上有四个不同的根XlU2“3网则Xi+x2+x3+x4=.善"函数性质的综点合应用例5(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数兀0在R上是增函数,g(x)=犷.若=g(log24.1)力=g(-202),c=gE),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数於)的图象为-1,1上连续不断的曲线,且20。M=-Jr%W在0,1上单调递减若/(log?/<，(log式m+2)成立,则实数m的取值范围为()A.(-l,2)B.,2cl1,2)D.(0,2)(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数段)为奇函数,且当xO时危)=e'-cosx,则不等式2x-l)+(x-2)>0的解集为()A.(-8,l)B.(-8,JC.(g,+8)D.(l,+)愎圄解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些？解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数Kr)对WR,同时满足当+b=0时有<A")tS)=0;当a+b>0时有«。)47(6)>0,则称/(1)为C函数.下列函数:/(x)=x-sinxef,x=0,y(x)=ex-e-r,(g)/(x)=er+e-A；(3Mx)=1Tn是。函数的为()-5A.B.C.D.(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数段)是偶函数(x+l)为奇函数,并且当x1,2时(x)=-M2,则下列选项正确的是()A(x)在(-3,-2)上为减函数,且Kr)>0BJ(X)在(-3,-2)上为减函数,且於)<0CJ(X)在(3-2)上为增函数,且J(x)>OD"r)在(-3,-2)上为增函数,且Ar)<0要点归纳小结1 .正确理解在函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点：(1)“定义域关于原点对称”是“函数人¥)为奇的数或偶函数”的必要不充分条件;(2"(-x)=次X)或/(-x)Mx)是定义域上的恒等式.2 .在函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价彩式:斤X)=±(x)u(-x)zf7(x)=0o翳=±1(/(x)0).3 .函数的寺偶性、对称性、周期性,知二断一.挣别注意“奇函数若在X=O处有定义,则一定有<0)=0;偶函数一定有贝IXl)MX)”在解题中的应用.4 .求函数周期的方法Q-若函数满足+)迎),由函数周期推的足刈包7是函数的一个周期I若函数满足/(x+。)=Mr)g>0),则2/(x+20)+)w=/仇也)习俗),所以2a是函数的一个周期若函数满足>0),则+-I2)=仅MMb而显并),所以为是函数的一个周期若函数满足/件分=扁(Q>0)，同理可得2是函数的一个周期易错5混因国1 .判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2 .函数/)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个X,都有/(-X)=次r),而不能说存在孙健代Xo)=(xo).同样偶函数也是如此.2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1.(-)=v)y轴代X)=W原点2./(x+7)=/(X)(2)最小的正数最小的正数考点自诊1 .(1)×(2)x(3)×(4)(5)(6)×2 .C由题意,/(-e)=(e)=-24=4,可得。=-2.所以当QO时=-2hu-2,所以火1)=-2.又因为旭)=0,所以的)tU)=-2.故选C.3 .D=/a)是奇函数,火=(x).当x<0时,-¥>0<田=/-1=次¥),即.")=-©-*+1.故选D.4 .A由题意可知小幻的定义域为(-8,0)U(O,+00),关于原点对称.y(x)=x3-=GX)£息=G3-劫=u),”)为奇函数.易知於)才-志在区间(0,+8)内单调递增.故选A.5 .-4本题考查奇函数的定义和性质.一Mx)是奇函数,2y(-8)=(8)=-83=-4.关键能力.学案突破例1解(1),J不>20,.函数火X)的定义域为R,关于原点对称.又fi-x)=(-x)lg(-x+J(-x)2+1)=-xlg(x2+l-x)=xlg(x2÷1+x)寸力，即-)=),./Cr)是偶函数.(2)由题意知函数的定义域为xx0,关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时人X)=-X2+Zr+L(-X)=2-2x-1=(x);当x<0时,-x>0,此时/(x)=x2+2-1(-x)=-2-2x+1=(x).故对于(-8,0)U(0,+8),均有代x)=W,即函数/W是奇函数.(4-°,“Jl%+33,.-2Wr2,且0.函数的定义域关于原点对称.0=A/x+3-3_ y/4-X2又代力£pL第，)=,即函数.是奇函数.对点训练I(I)C(2)B(I):Z(X)是奇函数,g(x)是偶函数，(-)=W,g(-X)=g()Z(-x)gGx)=Wga),故函数ywg(x)是奇函数,故A错误；1/(-刈g(-)=lW卜g(),故函数I/W卜g()是偶函数,故B错误；<-)lg(l=Wlg()l,故函数Wlg()l是奇函数,故C正确；/(g(-x)=(x)g(矶故函数(x)g(x)为偶函数,故D错误.故选C.(2)由题意次-工)二2，'"-=5对？"=(x),所以7U)为R上的奇函数.因为2x'1和都为R上的增函数,所以危)=2匹/为R上的增函数.对于AJ=3不是奇函数,排除A;对于B,由如X)=In(-x+J(%)2+l)=ln与=n(x+)2+1)=(X),所以/()为奇函数,由Nx+x2÷l复合函数的单调性知y=ln(x+?E)为增函数,故B正确;对于CJ=X2不是奇函数,排除C;对于Dj=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.例2(1)B(2)18(3)B因为y=f+g(x),且函数人x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=V2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B(2)因为函数y=fix+1)-2为奇函数,所以函数7U)的图象关于点(1,2)对称,g(x)="?=X-I=+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,则X-I(即+X2+祀)+S+"+%)=2x3+4×3=18.故答案为18.(3)火K)是定义在26,1S上的偶函数,2b+Id=O,b=-.在-2,0上单调递增，.”)在0,2上单调递减.由於-l)WQx)可得IX-Ii22x,即(X-I)224x2,且-2x-l2,-2W2rW2,求得-IWXq故选B.对点训练2(1)B(2)B(3)1(1)设XVO,则*>0,所以4-x)=Rn(-x).又因为火X)是定义在R上的奇函数，所以斤x)=w,所以yw=xln(-x).故选B.(2)由题意得y(0)=0,.*.6Z-=0,；4=1.经检验,当a=时,函数人工)是奇函数.所以,A1)=1»IY=：.故选B.(3次r)为偶函数,则人可,即k>g2(2"+l)+cos(K)=aHog2(2*+l)+cosx,变形可得2or=log2(2"+l)log2(2-x+l)=%,解得a=j.例3(1)C12(l)7(-x)=(2+x)=(x),(x+4)M(x+2)+2=(x+2)=Av).U)的周期为4.7(x)为奇函数,(0)=0.2)l+l)14)0)=0(3)-l)=(l)=-2t(4)=(0).l)+(2)+3)÷4)=0.U)t(2)+火50)=/(49)+火50)9)+火2)=2.(2)由题意当x>4时,函数段)守31),所以“r)在(4,+8)上的周期为1.因为2<log26<3,所以5+log26(7,8),l+log26(3,4),所以5+log26)=艮l+log26)=21+l°26=2×6=12.对点训练3(1)B(2)A(1)由4-x)=(x),得为奇函数,所以0)=0.由於)M2-x)=(x-2),则於-2)=O4)=(x),所以人幻的周期为4<6)+火7)=A2)t(-l)=(0)(l)=0-4=-4.故选B.(2)因为外)的周期为2,所以/(-?可(?次2019)却).因为7U)为奇函数,所以/,)=/?=2/(-1)二次1).又因为代1)寸1),所以/H)yi)=故)(-?t«2019)=2.故选A.例4B由1-)=2(x)得/(-x)+(x)=2,即函数7U)的图象关于点(0,1)中心对称.又y=1+的图象也关于点(0/)中心对称,，为+m+w=0j+y2+=w,*(Xi+yi)=n.1=1对点训练4-8；/(x)是奇函数,(x-4)=(x)可化为j()=-Jx-4)=J(4-x即./(x)的图象关于直线x=2对称,且y(0)=0.由yu-4)=(x)可知函数周期为8.不妨设XIVX243<x*,则Xi+X2=2×(-6)=-123+x4=2×2=4,x+x2+x3+x4=-8.例5(1)C(2)C(3)D(1)因为奇函数/W在R上是增函数,所以当x>0时t>0.对任意的工心£(0,+8)且汨<心,有0<危1)勺伏2),故g(Xl)<g(X2),所以g(x)在(0,+8)上单调递增.因为g(-x)=-M(-x)=M(x),所以g(x)为偶函数.又因为k>g24.1(2,3),2°2(l,2),所以K202<log24.1<,fQb=g(-202)=g(2°2),所以b<<c,故选C.由2019AR=201；的，得201j2019a,=1,即2019ff°°=1,即fi,x)M-x)=。，故函数./W为奇函数,则火x)在-1,1上单调递减.POgPn>ZogMTn+2),24-1Iogim1,-1log(m+2)1,4711>0,<m+2>0,解得故选C.当xO时/(x)=ev+sinx>0,则火X)在0,+oo)上单调递增TW为奇函数,则小:)在区间(-8,0上也单调递增,故人r)为R上的增函数.由/(2x-l)+WX-2)>0,可得人2x-l)>(x-2),即|右-1)»2-幻,又因为火X)在R上为增函数,所以2x-l>2-x,解得x>l,故选D.对点训练5(1)A(2)C当a+b=0时有&)"勿二0,即贝七尸二服),则於)为R上的奇函数;当a+b>O时有y)+b)>O,即当。>6时有7()>(b)=(-b),可得.Ax)为R上的增函数.则函数"r)为R上的奇函数,且为增函数.由W=x-si11,定义域为Rt(-x)=*sin(-X)=-X+si=(x),即有火x)为奇函数；又/(x)=l-CoSX20,可得人¥)为R上的增函数,故是。函数.=ex-e*,定义域为RG)=e-W=,即有段)为奇函数，又/(x)=e'+er>0,可得«Y)为R上的增函数,故是Q函数./(x)=ev+e*,定义域为R,A-x)=er+eX=O),可得40为偶函数,故不是。函数./=1fn定义域为R,当中。时<-),=,可得y为奇函数，又"r)在G%0),(0,+8)上单调递增,但在R上不为增函数,比如代I)Ml),故不是。函数.故选A.(2)根据题意,函数段+1)为奇函数,则有火x+l)=(-x+l),即“r+2)=(.又由./W为偶函数,则A-X)=y(x),贝IJ有段+2)=U),即有.”+4)x).当xl,2时次X)=I-M2=x-l,若x(-3,-2),则x+4(l,2),贝IJy(x+4)=(x+4)-l=x+3,则当x(-3,-2)时,有“r)=x+3,则/)为增函数且火v)X-3)=0.故"r)在G3,-2)上为增函数,且.>0.故选C.