一次函数知识点总结以及一些有难度的习题.docx

4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边;留意不能写成2y=3-3或yW=3x-3的形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，假如没指明说明自变量的取值范围是随意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零：(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5)实际问题中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之有意义。例题：写出下列函数中自变量X的取值范围y=曰.y=凶.y=曰.y=三三.3、函数的图像一般来说，对于一个函数，假如把自变量及函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)；第九讲：一次函数学问点总结【基本要点】1、变量：在一个改变过程中可以取不同数值的量。常量：在一个改变过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式口中，口表示速度，m表示时间，d表示在时间m内所走的路程,则变量是,常量是一。在圆的周长公式C=2r,变量是，常量是.2、函数：一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量X和y,并且对于X的每一个确定的值，y都有唯一确定的值及其对应，那么我们就把X称为自变量，把y称为因变量，y是X的函数。注：这是课本对于函数的定义，在理解及实际运用中我们要留意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的：如：y=xz中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数；而y=0(>0)却是函数，因为括号中标明白自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变及后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不肯定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示X就说明y是自变量，X是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随意说一个解析式是不是函数，J:Y=x3,只能说y是X的函数，就不能说X是y的函数；（5） 倾斜度：Ikl越大，越接近y轴；Ikl越小，越接近X轴例题：1、正比例函数,当In时，y随X的增大而增大.2、若WJ是正比例函数，则b的值是（）A.OB.1C.gD.g3、函数y=（kT）x,y随X增大而减小，则k的范围是（）A.LdB.LdC.L三JD.UJ4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元及买鲜鸡蛋个数X（个）之间的函数关系式是平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是30,则y及X的函数关系式是8、一次函数及性质一般地,形如y=kx+b（k,b是常数,k0）,那么y叫做X的一次函数.当b=0时，y=kx÷b即y=kx,所以说正比例函数是一种特别的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）k不为零X指数为1b取随意实数其次步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（依据横坐标由小到大的依次把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表示方法列表法：一目了然，运用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量及函数之间的对应规律。解析式法：简洁明白，能够精确地反映整个改变过程中自变量及函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k是常数，kWO）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零X指数为1b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随X的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随X增大y反而减小.（1） 解析式：y=kx（k是常数，k0）（2） 必过点：（0,0）、（1,k）（3） 走向：k>0时，图像经过一、三象限：k<0时，图像经过二、四象限（4） 增减性：k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小；将直线y=-5向上平3、将直线y=3x向下平移5个单位，得到直线移5个单位，得到直线4、若直线和直线目的交点坐标为（回），则.5、已知函数y=3x+L当自变量增加m时，相应的函数值增加（）A.3m+lB.3mC.mD.3m19、一次函数y=kx+b的图象的画法.依据几何学问：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般状况下：是先选取它及两坐标轴的交点：（O,b）,（-g,0）.即横坐标或纵坐标为0的点.例题：1、已知点Pl（XLy1）、P2（x2,y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且yl>y2,则xl及x2的大小关系是（）A.xl>x2B.xl<x2C.xl=x2一次函数y=kx+b的图象是经过（O,b）和（-弓，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移Ibl个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（ksb是常数，k）（2）必过点：（0,b）和（-0,0）（3）走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过其次、四象限b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限叵直线经过第一、二、三象限×直线经过第一、三、四象限叵直线经过第一、二、四象限叵直线经过其次、三、四象限（4）增减性：k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小.（5）倾斜度：越大，图象越接近于y轴；Ikl越小，图象越接近于X轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.例题：1、若关于X的函数L三是一次函数，则In=2、函数y=ax+b及y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）的图象相同.（2）二元一次方程组Prl的解可以看作是两个一次函数尸叵I和y=IXI的图象交点.【考点指要】一次函数常及反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类探讨、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为便利大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式及性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期娴熟地驾驭，这样可以化繁为简！这里要强调的是以下这些公式不要随意外传！切记！1、一次函数解析式的几种类型ax+by+c=O一般式y=kx+b斜截式（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）y-日二k（x-回）点斜式（k为直线斜率，（3,日）为该直线所过的一个点）叵=叵两点式（3,回）及（回,回）为直线上的两点）叵=0截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）2、求函数图像的k值：区I（可，回）及（回，回）为直线上的两点）3、求随意线段的长:（回，日）及（回，回）为直角坐标系D.无法确定解：依据题意，知k=3>0,且yl>y2.依据一次函数的性质“当k>0时，y随X的增大而增大”，得xl>x2.故选A。2、若ITlV0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3、一次函数y=kx+b满意kb>O,且y随X的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>O,知k、b同号。因为y随X的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过其次、三、四象限，不经过第一象限。故选A.10、正比例函数及一次函数图象之间的关系一次函数y=kx÷b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移个单位长度而得到（当b0时，向上平移：当b<0时，向下平移）.11、-元一次方程及一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a,b为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它及X轴的交点的横坐标的值.12、一次函数及一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.13、一次函数及二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象及一次函数y=区变式练习1：求满意下列条件的函数解析式：及直线三平行且经过点（1，T）的直线的解析式；例题2：已知直线日经过叵且及坐标轴所围成的三角形的面积为3，求该直线的表达式。4、求随意两点所连线段的中点坐标：（叵J,叵）5若两条直线y=k3x+b3及y=kilx+bl相互平行，那么Id=kB,b3b36、若两条直线y=k3x+b1及y=k目x+b目相互垂直,那么kXkj=T7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n;向下平移n个单位变成y=kx+b-n8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b；将y=kx+b向右平移n个单位后变成y=k（-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则）9、若y=kjx+b3及y=k目x+b目关于X轴对称,那么kq+k=0>b3+b0=010、若y=k3x+b3及y=k目x+b目关于y轴对称,那么k+k曰=。、bj=b311、同理，y=k3x及y=k1x关于平行、垂直、平移、对称也满意以上性质12、y=kx+b及坐标轴围成的三角形面积为国13、y=kx（k是常数，k0）必过点：（0,0）、（1,k）14>y=kx+b必过点：（0,b）和（-可，0）【例题讲解】例题1：若目是E的一次函数，图像过点（一3,2）,且及直线Nl交于n轴上一点，求此函数的解析式。A.rB.三11C.三D.r3.已知一次函数Fl的图象及回轴交于(0,3),且目随日值的增大而增大,则u的值为()A.2B.-4C.-2或-4D.2或-44,将直线日向右平移2个单位所得的直线的解析式是()oA>y=2x÷2y=2-2C、y=2(-2)Dy=2(x+2)5,把直线三向下平移两个单位，再向右平移3个单位后所得直线的解析式是。6,若函数mI及X轴交于点A,直线上有一点M,若aAOM的面积为8,则点M的坐标7,已知直线三的图像经过点(2,0),(4,3),(a,6),求的值。8,已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)(1)求此一次函数表达式；(2)求此一次函数及X轴、y轴的交点坐标：(3)求此一次函数的图象及两坐标轴所围成的三角形的面积。9,已知一次函数y=kx+b的图象经过点(T,-5),且及正比例函数y=X的图象相交于像,a),求a的值(2)k,b的值变式练习2：一次函数LJ及正比例函数山的图象都经过点（2,-1）,（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象及目轴围成的三角形的面积。【巩固练习】1,一次函数y=-2x+4的图象及X轴交点坐标是，及y轴交点坐标是2,如图，一次函数图象经过点回，且及正比例函数日的图象交于点可，/则该一次函数的表达式为（3）这两个函数图象及X轴所围成的三角形面积.10,已知一次函数y=kx+b的图象及X轴交于点A（-6,0）,及y轴交于点B,若aAOB的面积是12,且y随X的增大而减小，求这个一次函数的关系式。一次函数提高练习1、已知回是整数，且一次函数的图象不过其次象限，则回为2、若直线和直线口的交点坐标为叵！，则03、在同始终角坐标系内，直线E三l及直线1K1都经过点.4、当回满意时，一次函数一的图象及回轴交于负半轴.5、函数目，假如S，那么目的取值范围是6、一个长山，宽山的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加a,宽增加回，则目及目的函数关系是.自变量的取值范围是.且目是4的函数.7、如图5是函数目的一部分图像，（1）自变量目的取值范围是；（2）当回取时，回的最小值为；（3）在（1）中日的取值范围内，回随日的增大而8、已知函数y=（k-l）x+k2-l,当k时，它是一次函数，当k=时，它是正比例函数.9、已知一次函数三的图象经过点三,且它及习轴的交点和直线叵及目轴的交点关于日轴对称，那么这个一次函数的解析式为10、一次函数Nl的图象过点口和叵J两点，且山，则回，目的取值范围是11、一次函数1T的图象如图可，则冈及回的大小关系是，当日时，是正比例函数.12、目为时，直线L×J及直线WJ的交点在g轴上.13、已知直线三及直线三的交点在第三象限内，则回的取值范围是14要使y=Gn-2）xnT+n是关于X的一次函数,n,m应满意，.选择题A.B00 3D.2、直线E×3经过一、二、四象限，则直线曰的图象只能是图4中的（3、4、5、6、9、已知一次函数三目，则山的面积为（Nl的图像都经过目，且及耳轴分别交于点B,若直线口及在山冈冈直线E×的交点在日轴上，那么目等于（）日如图5,则下列条件正确的是（直线L三经过点日，A.不通过（）A.4B.510、已知直线C.D.7及H轴的交点在H轴的正半轴，下列结论：,其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.D.4个11、已知A.第一象限B.其次象限A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限7、已知关于回的一次函数上的函数值总是正数，则回的取值范围是（A.山B.山C.IK1D.都不对8、如图6,两直线三J和NJ在同一坐标系内图象的位置可能是（）,那么Nl的图象肯定不经过（）C.第三象限D.第四象限12、如图7,A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A站22千米处.设甲从P处动身回小时,距A站可千米，则JJ及g之间的关系可用图象表示为1yt*)42,718J(T*)y（F米）.V(T*)2418（三）OB.图7D.问他一共卖了多少吨菠萝？解答题1、已知一次函数一求：（1）回为何值时，日随回的增大而减小；（2）日分别为何值时，函数的图象及回轴的交点在日轴的下方？（3）叵分别为何值时，函数的图象经过原点？（4）当时，设此一次函数及回轴交于A,及回轴交于B,试求区I面积。2、（05年中山）某自来水公司为激励居民节约用水，实行按月用水量收费方法，若某户居民应交水费S（元）及用水量3（吨）的函数关系如图所示。（D写出日及回的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？39.1业”法展电信事业，便利用户，电信公司对移动电话实行不同的收费方式，其中，27彼身的“便民卡”及“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间EI（min）Av（元）的关系如图所示：O152031（1）分别求出通话费日（便民卡）、S（如意卡）及通话时间4之间的函数关系式；（2）请帮用户计算，在一个月内运用哪一种卡便宜？> （TG）40308（30,15）4E）0 10 20 30 40%（miri） .（如意卡）6、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习O 10 20 30 40%(min)(便民卡)但甲商店的实惠条件是：购买10本以上，从第11本起先按标价的70%卖;实惠条件是：从第1本起先就按标价的85%卖.明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲、乙两个商店y（元）关于购买本数X（木）（x>10）的关系式。（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？5、气温随着高度的增加而下降，下降的规律是从地面到高空IIkm处，每上升1km,气温下降6C.高于IIknl时，气温儿乎不再改变，设地面的气温为38,高空中Xknl的气温为y.（1）当OWXWII时，求y及X之间的关系式？（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。（3）求在离地面13km的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16时，问在离地面多高的地方？7、如图8,在直标系内，一次函数的图象分别及回轴、目轴和直线山相交于回、回、回三点，直线山及四轴交于点D,四边形OBCD（0是坐标原点）的面积是10,若点A的横坐标是国，求这个一次函数解析式.10、某市电力公司为了激励居民用电，采纳分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.(1)设用电习度时，应交电费目元，当目WlOO和目100时，分别写出目关于目的函数关系式.(2)小王家第一季度交纳电费状况如下：月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度共用电多少度？8、一次函数Nl,当山时，函数图象有何特征？请通过不同的取值得出结论？9、某油库有一大型储油罐，在起先的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管及出油管的流量分别保持不变.（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）及进出油的时间1（分）的函数关系式.（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.12、汽车从A站经B站后匀速开往C站，已知离开B站9分时，汽车离A站10千米,又行驶一刻钟，离A站20千米.（1）写出汽车及B站距离可及B站开出时间的关系:（2）假如汽车再行驶30分，离A站多少千米？13、甲乙两个仓库要向A、B两地运输水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A,B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运输1千米所需人民币）路程/千米运费（元/吨、千米）甲库乙库甲库乙库11、某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度.本年度安排将电价调至0.55-0.75元之间，经测算，若电价调至3元，则本年度新增用电量回（亿度）及（®0.4）（元）成反比例，又当回=例65时,3=0.8.（1）求目及m之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=用电量X（实际电价一成本价）A地20151212B地2520108（1）设甲库运往A地水泥n吨，求总运费JJ（元）关于回（吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）.（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？